山东省聊城市东阿县姜楼中学2023-2024学年九年级上学期月考数学试卷（9月份）

2023-2024学年山东省聊城市东阿县姜楼中学九年级（上）月考数学试卷（9月份）

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.下列形状分别为正方形、矩形、正三角形、圆的边框，其中不一定是相似图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.如图，矩形的对称轴分别交于点，交于点若矩形与矩形相似，则：的值为(    )

A.
B.
C.
D.

3.如图，在三角形纸片中，，，沿虚线剪下的涂色部分的三角形与相似的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.已知，，，，，在线段上有一点，使得和相似，则满足条件的点的有个．(    )

A.  B.  C.  D. 无数

5.下列条件中，不能判断与相似的是(    )

A. ， B. 且
C.  D. 且

6.如图，在内有边长分别为，，的三个正方形，则，，满足的关系式是(    )

A.
B.
C.
D.

7.如图，在平面直角坐标系中，已知点、，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点的对应点的坐标是(    )

 

A.  B.
C. 或 D. 或

8.如图，在网格小正方形的边长均为中，则的值是(    )

A.
B.
C.
D.

9.在中，若，则的度数是(    )

A.  B.  C.  D.

10.如图，点为边上的任意一点，作于点，于点，下列用线段比表示的值，错误的是(    )

A.
B.
C.
D.

11.如图，在中，，，，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

12.如图大坝的演断面，斜坡的坡比：，背水坡的坡比：，若的长度为米，则斜坡的长度为(    )

 

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

13.如图，把一张矩形纸片平均分成个矩形，若每个小矩形都与原矩形相似，则原矩形纸片的宽与长之比为______．

14.若∽，且，，则          ．

15.如图，已知中，为边上一点，为边上一点，，，，当的长度为______时，和相似．

16.如图，，请补充一个条件：______，使∽．

17.在四边形中，，，则 ______ ．

18.如图，在平面直角坐标系中，等腰直角是等腰直角以原点为位似中心的位似图形，且位似比为：，点，，在，则点坐标为______ ．

19.如图，点是矩形中边上一点，沿折叠为，点落在上．若，则 的值为______．

20.如图，从楼顶处看楼下荷塘处的俯角为，看楼下荷塘处的俯角为，已知楼高为米，则荷塘的宽为______ 米结果保留根号．

三、解答题（本大题共5小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

21.本小题分

如图，是的边上的点，已知，，，求证：∽．

22.本小题分
如图，在中，是边上的中线，且，，与相交于点，与相交于点．
求证：∽；
过点作于点，求：的值；
若，，求的长．

23.本小题分

如图，小明用自制的直角三角形纸板测量水平地面上树的高度，已知两直角边：：，他调整自己的姿势和三角形纸板的位置，使斜边保持水平，并且边与点在同一直线上，垂直于地面，测得，边离地面的距离为，求树高．

24.本小题分
在一次数学课外实践活动中，小明所在的学习小组从综合楼顶部处测得办公楼底部处的俯角是，从综合楼底部处测得办公楼顶部处的仰角恰好是，综合楼高米请你帮小明求出办公楼的高度结果精确到，参考数据，，

25.本小题分
月份，长江重庆段开始进入枯水期，有些航道狭窄的水域通航压力开始慢慢增加．为及时掌握辖区通航环境实时情况，严防船舶搁浅、触礁等险情事故发生，沿江海事执法人员持续开展巡航检查，确保近七百公里的长江干线通航安全．如图，巡航船在一段自西向东的航道上的处发现，航标在处的北偏东方向米处，以航标为圆心，米长为半径的圆形区域内有浅滩，会使过往船舶有危险．
由于水位下降，巡航船还发现在处北偏西方向米的处，露出一片礁石，求、两地的距离；精确到米
为保证航道畅通，航道维护项目部会组织挖泥船对该条航道被浅滩影响的航段进行保航施工．请判断该条航道是否被这片浅滩区域影响？如果有被影响，请求出被影响的航道长度为多少米？如果没有被影响，请说明理由．
参考数据：，

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、两图形形状相同，是相似图形，不符合题意；
B、两图形形状不同，不是相似图形，符合题意；
C、两图形形状相同，是相似图形，不符合题意；
D、两图形形状相同，是相似图形，不符合题意；
故选：．
根据相似图形的定义，形状相同，可得出答案．
本题主要考查相似图形的定义，掌握相似图形形状相同是解题的关键．

2.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，
矩形的对称轴分别交于点，交于点，
，
矩形与矩形相似，
，
，
，
，
，
：，
故选：．
根据相似多边形的对应边成比例进行计算即可解答．
本题考查了矩形的性质，相似多边形的性质，轴对称的性质，熟练掌握相似多边形的对应边成比例是解题的关键．

3.【答案】 

【解析】【分析】
此题主要考查了相似三角形的判定，正确利用相似三角形两边比值相等且夹角相等的两三角形相似是解题关键．
根据相似三角形的判定分别进行判断即可得出答案即可．
【解答】
解：在三角形纸片中，，，．
A、，对应边，，
故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与不相似，故此选项错误；
B、，对应边，即：，，
故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与相似，故此选项正确；
C、，对应边，，
故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与不相似，故此选项错误；
D、，
，，
故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与不相似，故此选项错误．
故选：．

4.【答案】 

【解析】解：，，，
设，则．
，，
，
当或时，
和相似，
当时，
则，
解得，
当时，
则，
解得，，
或，
满足条件的点的有个．
故选：．
分两种情况讨论，当或时，和相似，列出等式求解即可．
本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．

5.【答案】 

【解析】解：、，，可以得出∽，故此选项不合题意；
B、且，不是两边成比例且夹角相等，故此选项符合题意；
C、，可以得出∽，故此选项不合题意；
D、且，可以得出∽，故此选项不合题意；
故选：．
直接根据三角形相似的判定方法对每一选项进行判断即可得出答案．
此题主要考查了相似三角形的判定，关键是掌握三角形相似的判定方法：平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．

6.【答案】 

【解析】解：
，；
又，，；
，；
∽，
，
，
．
故选A．
因为内有边长分别为、、的三个正方形，所以图中三角形都相似，且与、、关系密切的是和，只要它们相似即可得出所求的结论．
本题考查相似三角形的判定与性质，以及正方形的性质．

7.【答案】 

【解析】解：点，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，
点的对应点的坐标是或，
即或．
故选：．
根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或解答．
本题考查的是位似变换的概念和性质．

8.【答案】 

【解析】解：作交延长线于，如图所示：
在中，，，，
，
．
故选：．
作交延长线于，解，先由勾股定理得出，再根据三角函数定义即可得出答案．
本题考查了解直角三角形、勾股定理以及三角函数定义；熟练掌握勾股定理和三角函数定义是解题的关键．

9.【答案】 

【解析】解：，
，，
，，
，，
，
故选：．
根据绝对值、偶次方的非负性分别求出、，再根据三角形内角和定理计算即可．
本题考查的是特殊角的三角函数值、三角形内角和定理、非负数的性质，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．

10.【答案】 

【解析】解：于点，于点，
，
，，
，
，
，
故选：．
证明，推出，可得，由此即可判断．
本题考查解直角三角形，解题的关键是证明．

11.【答案】 

【解析】解：过点作，垂足为，

在中，，
，，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
根据，想到构造直角三角形，所以过点作，垂足为，可得，因为，所以得出，从而求出，可得，再根据，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．

12.【答案】 

【解析】解：分别过、作，，

四边形为矩形，
斜坡的坡比：，即，不妨设，则，
在中根据勾股定理：，，
解得或不合题意，舍去，
又背水坡的坡比：，
，
在中根据勾股定理得：，
故选：．
分别过、作，，四边形为矩形，根据斜坡的坡比为：，结合勾股定理求出的长度，可得、的长度，再根据勾股定理求得答案．
本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题、等腰直角三角形的性质以及勾股定理等知识；熟练掌握坡比的定义，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．

13.【答案】： 

【解析】解：设原矩形的长为，宽为，
小矩形的长为，宽为，
小矩形与原矩形相似，
，
：：．
故答案为：：．
设原矩形的长为，宽为，根据相似多边形对应边的比相等，即可求得原矩形纸片的长与宽之比．
本题考查了相似多边形的性质，解题的关键是掌握相似多边形的性质并灵活运用．相似多边形的性质为：对应角相等；对应边的比相等．

14.【答案】 

【解析】解：∽，
，又，，
．
故答案为：．
根据∽，得到，代入已知数据计算即可．
本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应边的比相等并找准对应边是解题的关键．

15.【答案】或 

【解析】【分析】
此题主要考查了相似三角形的判定与性质，利用倒推法以及分类讨论是解题的关键分别根据当∽时，当∽时，求出的长即可．
【解答】
解：当∽时，
，
，
解得：，
当∽时，
，
，
解得：，
当的长度为或时，和相似．
故答案为或．

16.【答案】答案不唯一 

【解析】解：
当或或：：或时两三角形相似．
故答案为：答案不唯一．
根据相似三角形的判定方法，已知一组角相等则再添加一组相等的角可该角的两个边对应成比例即可推出两三角形相似．
此题考查了相似三角形的判定：
如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；
如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；
如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．平行于三角形一边的直线截另两边或另两边的延长线所组成的三角形与原三角形相似．

17.【答案】 

【解析】解：过作于，过作交延长线于，如图：

，，，
，
四边形是矩形，，
，
，
，
，
∽，
，
故答案为：．
过作于，过作交延长线于，由四边形是矩形，可得，，进而得出∽，根据相似三角形的性质即可求解．
本题主要考查了相似三角形判定与性质，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．

18.【答案】 

【解析】解：等腰直角是等腰直角以原点为位似中心的位似图形，且位似比为：，
而点，，
，，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，
，
．
故答案为：．
先把点和点的横纵坐标都乘以得到，，则，接着证明，所以，然后把点的横纵坐标都乘以得到点的坐标．
本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或也考查了等腰直角三角形的性质．

19.【答案】 

【解析】【分析】
本题主要考查了矩形的性质以及相似三角形的证明方法，以及直角三角形中角的函数值，找到等角代换是解答此题的关键．
首先证得∽，，设，，，可得出，，，，由∽，可得．
【解答】
解：四边形是矩形，
，
沿折叠为，
，
，
又，
，
∽，
在中，，
设，，，
沿折叠为，
，，，，
∽，
，
，
．
故答案为．

20.【答案】 

【解析】解：由题意可得，，，，
在中，
，
，
在中，
，
，
，
故答案为：
在两个直角三角形中，利用特殊锐角的三角函数可求出答案．
本题考查直角三角形的边角关系，掌握直角三角形的边角公式是正确解答的前提．

21.【答案】证明：，，，
，
，
，
即，
∽． 

【解析】求出，根据求出，再根据相似三角形的判定定理证明即可．
本题考查了相似三角形的判定定理，能熟记相似三角形的判定定理是解此题的关键，有两角对应相等的两三角形相似，有三边对应成比例的两三角形相似，有两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似．

22.【答案】证明：是边上的中点，，
，，
在和中，
≌，
，
，
，
∽；
解：，，
，
，
，
，，
，
，
：；
解：∽，，
，
，
，
又，
，
由知：，
． 

【解析】利用是边上的中点，可以得到，而由可以得到，再利用相似三角形的判定，就可以证明题目结论；
根据相似三角形的性质解答即可；
利用相似三角形的性质就可以求出三角形的面积，然后利用面积公式就求出了的长．
本题主要考查相似三角形的性质与判定，以及三角形的面积．

23.【答案】解：，
∽
，
，
，
． 

【解析】利用直角三角形和直角三角形相似，求得的长后加上小明同学的身高即可求得树高．
本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形的模型．

24.【答案】解：由题意可知米，，
，
．
，
米．
故办公楼的高度约为米． 

【解析】由题意可知米，，因为，可求出，又由，可求出，即得到答案．
本题考查的是解直角三角形的实际应用仰角俯角问题，掌握仰角和俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是本题的解题关键．

25.【答案】解：过点作于点，

由题意得，，米，米，
在中，，，
解得，，
米，
由勾股定理得，米．
、两地的距离约为米．
该条航道会被这片浅滩区域影响，长度为米，理由如下：
过点作航道的垂线，

由题意得，米，，
在中，，
解得，
，
该条航道会被这片浅滩区域影响．
设米，
在中，米，
根据对称性可知，被影响的航道长度为米． 

【解析】过点作于点，由题意可得，在中，由三角函数可求得米，米，则米，再根据勾股定理可得出答案．
过点作航道的垂线，在中，，求出的值，与作比较，可得结论；设米，利用勾股定理求出，再根据对称性可得被影响的航道长度．
本题考查解直角三角形的应用方向角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．