第四章数列单元测试人教A版(2019)高中数学选择性必修第二册

这是一份第四章数列单元测试人教A版(2019)高中数学选择性必修第二册，共20页。
 第四章 数列 第四章 数列（单元测试）姓名:_______   班级：_______  分数：________一、单选题1．设为等比数列的前项和，且，则等于（    ）A． B． C．5 D．112．若数列满足，则（    ）A． B． C． D．3．已知数列满足，，则（    ）A． B． C． D．4．已知数列，，则下列说法正确的是（    ）A．此数列没有最大项 B．此数列的最大项是C．此数列没有最小项 D．此数列的最小项是5．设等差数列的前n项和为，若，，则（    ）A．28 B．32 C．16 D．246．已知正项等比数列的前项和为，若，，成等差数列，则的最小值为(    )A． B． C． D．7．已知数列的首项是，前项和为，且，设，若存在常数，使不等式恒成立，则的取值范围为（    ）A． B． C． D．8．已知数列满足，，记数列的前n项和为，若对于任意，不等式恒成立，则实数k的取值范围为（    ）A． B． C． D．二、多选题9．已知数列是等差数列，数列是等比数列，则下列说法正确的是（    ）A．若p，q为实数，则是等比数列B．若数列的前项和为，则，，成等差数列C．若数列的公比，则数列是递增数列D．若数列的公差，则数列是递减数列10．已知数列，则前六项适合的通项公式为（    ）A． B．C． D．11．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，….设第层有个球，从上往下层球的总数为，则（    ）A． B．C．， D．12．在数列中，，，则以下结论正确的为（    ）．A．数列为等差数列B．C．当取最大值时，n的值为51D．当数列的前n项和取得最大值时，n的值为49或51三、填空题13．九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜．用表示解下个圆环所需的最少移动次数．若，且则解下6个圆环所需的最少移动次数为_________．14．已知数列{bn}的前n项和Sn＝2n2﹣n，设数列{}的前n项和为Kn，则K20的值为 __．15．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共7升，下面4节的容积共17升，则第5节的容积为__升．16．已知集合，，将中的所有元素按从小到大的顺序排列构成一个数列，设数列的前项和为，则使得成立的最小的的值为_____________.四、解答题17．已知为等差数列，为等比数列，的前项和，，．(1)求数列，的通项公式；(2)记，求数列的前项和．18．已知正项数列的前项和为，且，(且).(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和.19．等差数列的首项为，公差，前n项和为．（1）若，求的值；（2）若对任意正整数n均成立，求的取值范围．20．已知数列的前n项和满足，设.（1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；（2）按以下规律构造数列，具体方法如下：，，，…，，求数列的通项公式.21．数列满足，已知．（1）求，；（2）若，则是否存在实数t，使为等差数列？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．22．已知等差数列和等比数列的各项均为整数，它们的前项和分别为，且，.（1）求数列，的通项公式；（2）求；（3）是否存在正整数，使得恰好是数列或中的项？若存在，求出所有满足条件的的值；若不存在，说明理由.（2022·全国·高考真题（理））23．嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列：，，，…，依此类推，其中．则（    ）A． B． C． D．（2022·全国·新高考1卷）24．记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．(1)求的通项公式；(2)证明：．（2021·全国·新高考1卷）25．已知数列满足，（1）记，写出，，并求数列的通项公式；（2）求的前20项和.
参考答案：1．A【分析】根据已知求出数列公比即可由等比数列求和公式得出.【详解】，，，则公比，，，.故选：A.2．C【分析】利用前项积与通项的关系可求得结果.【详解】由已知可得.故选：C.3．B【分析】由，利用累加法得出.【详解】由题意可得，所以，，…，，上式累加可得，又，所以.故选：B.4．B【分析】令，则，，然后利用函数的知识可得答案.【详解】令，则，当时，当时，，由双勾函数的知识可得在上单调递增，在上单调递减所以当即时，取得最大值，所以此数列的最大项是，最小项为故选：B．5．B【分析】由等差数列前n项和的性质，可得，，，成等差数列，结合题干数据，可得解【详解】由等差数列前n项和的性质，可得，，，成等差数列，∴，解得.∴ 2，6，10，成等差数列，可得，解得.故选：B6．B【分析】利用等比数列前项和的性质表示出，再表示成同一变量，然后利用基本不等式求出其最小值即可.【详解】因为是正项等比数列，所以，，仍然构成等比数列，所以.又，，成等差数列，所以，，所以.又是正项等比数列，所以，，当且仅当时取等号.故选：B.7．C【分析】首先由数列通项与前项和的关系得到数列的递推关系，再构造等比数列，求数列的通项公式，进一步求出数列的通项公式，从而可求数列通项公式，代入所求式子，分子、分母同除以构造基本不等式即可求出的最大值，从而求出的范围.【详解】由，则当时，得，两式相减得，变形可得：，又，，所以，，∴数列是以为首项、为公比的等比数列，故，所以，所以，当且仅当时等号成立，故.故选：C.【点睛】关键点点睛：构造等比数列求的通项公式，即可得通项公式，再由不等式恒成立，结合基本不等式求的最值，即可求参数范围.8．C【分析】由已知得，根据等比数列的定义得数列是首项为，公比为的等比数列，由此求得，然后利用裂项求和法求得，进而求得的取值范围.【详解】解：依题意，当时，，则，所以数列是首项为，公比为的等比数列，，即，所以，所以，所以的取值范围是.故选：C.9．BD【分析】由等差、等比数列及其前n项和性质直接判断可得.【详解】取，，显然A不正确；由等差数列片段和性质知B正确；取，易知，但为递减数列，故C不正确；若，则由等差数列定义知，故数列是递减数列，D正确.故选：BD.10．AC【解析】对四个选项中的数列通项公式分别取前六项，看是否满足题意，得出答案．【详解】对于选项A，取前六项得：，满足条件；对于选项B，取前六项得：，不满足条件；对于选项C，取前六项得：，满足条件；对于选项D，取前六项得：，不满足条件；故选：AC11．ACD【分析】根据，，的值，可得，利用累加法可得，再计算前项的和可判断A；由递推关系可判断B；由可判断C；利用裂项求和可判断D，进而可得正确选项.【详解】因为，，，……，，以上个式子累加可得：，所以，故选项A正确；由递推关系可知：，故选项B不正确；当，，故选项C正确；因为，所以，故选项D正确；故选：ACD.12．ACD【分析】由已知结合等差中项的定义证明等差数列可判断A；令，求得判断B；由等差数列的性质及等差数列的通项公式求得，利用数列的正负可求得取最大值时n的值判断C；数列的正负，知 ，，，又，可知数列前n项和取得最大值时，n的值判断D.【详解】对于A，由，得，两式作差得，即，所以数列为等差数列，故A正确；对于B，令，知，故B错误；对于C，由等差数列的性质知，即，又，可得公差，所以，知数列的前51项为正，从第52项开始为负，当取最大值时，n的值为51，故C正确；对于D，由数列的前51项为正，从第52项开始为负，又，知，，，所以数列前49项和最大，又，所以数列前51项和最大，当时，，所以当或51时，的前n项和取得最大值，D正确．故选：ACD13．64【分析】根据已知递推公式，利用代入法进行求解即可.【详解】因为，所以，故答案为：6414．【分析】由题意首先求得数列的通项公式，然后裂项求和计算其前20项和即可．【详解】当n＝1时，b1＝S1＝2﹣1＝1，当n≥2时，，且当n＝1时，4n﹣3＝1＝b1，故数列{bn}的通项公式为：bn＝4n﹣3，则，则．故答案为：．15．【分析】设此等差数列为，由题意可得，利用等差数列的通项公式转化为关于和的方程，求得和的值即可求得的值.【详解】设此等差数列为，公差，由题意可得：，即，解得：，所以．故答案为：．16．36【分析】由题可得为数列的项，且利用分组求和可得，通过计算即得.【详解】由题意，对于数列的项，其前面的项1，3，5，…，，共有项，，共有项，所以为数列的项，且.可算得（项），，，因为，，，所以，，，因此所求的最小值为36.故答案为：36.17．(1)，(2) 【分析】（1）由的前项和即可求出等比数列的通项公式，由和即可求出等差数列的通项公式.（2）利用错位相减法即可求得数列的前项和.【详解】（1）设的公差为，的公比为，由已知可得，，则，即．∵，∴，又∵，∴，解得，即．（2）由（1）知， 令①，①式两边同乘得：②，错位相减得则．18．(1)(2) 【分析】（1）由及题意可得数列为等差数列，从而求出，从而可求出答案；（2）利用裂项相消法即可求出答案．【详解】（1）∵，∴，又，∴，∴数列是以为首项，1为公差的等差数列，∴，∴，当时，，当时，，满足上式，∴数列的通项公式为；（2）由（1）可知，，，∴当时，．19．（1）；（2）．【分析】（1）根据等差数列的前项和公式，即可求解；（2）代入等差数列的通项和前项和公式，变形为对任意正整数n均成立，再求的取值范围.【详解】（1）由题意知，∴，∴．（2），，由对任意正整数n均成立，得对任意正整数n均成立，即对任意正整数n均成立，当时，上式恒成立；当时，，又当时，取得最小值0，∴．∴的取值范围为．20．（1）证明见解析，；（2）.【分析】（1）由题意，① ，当时，，② ，① -② 得，数列是等差数列即得证，即得数列的通项公式；（2）由题得，再利用等差数列求和得解.【详解】（1）由题意，①令，得，所以.当时，，②① -② 得，所以，即.因为，所以，所以数列是公差为1的等差数列.又，所以.又，所以.（2）由题意，得.又，，，…，是首项为，公差为1的等差数列，且共有项，所以.21．（1）；；（2）存在；．【分析】（1）代入，进入，结合，即得解；（2）利用等差数列定义，要使为等差数列，则为常数，分析即得解【详解】（1）当时，．当时，，∴．∴，解得．（2）当时，．要使为等差数列，则为常数，即，即存在，使为等差数列．22．（1）；（2）；（3）存在，1.【解析】（1）利用基本量法直接计算即可；（2）利用错位相减法计算；（3），令可得，，讨论即可.【详解】（1）设数列的公差为，数列的公比为，因为，所以，即，解得，或（舍去）.所以.（2），，所以，所以.（3）由（1）可得，，所以.因为是数列或中的一项，所以，所以，因为，所以，又，则或.当时，有，即，令.则.当时，；当时，，即.由，知无整数解.当时,有，即存在使得是数列中的第2项，故存在正整数，使得是数列中的项.【点睛】本题考查数列的综合应用，涉及到等差、等比数列的通项，错位相减法求数列的前n项和，数列中的存在性问题，是一道较为综合的题.23．D【分析】根据，再利用数列与的关系判断中各项的大小，即可求解.【详解】[方法一]:常规解法因为，所以，，得到，同理，可得，又因为，故，；以此类推，可得，，故A错误；，故B错误；，得，故C错误；，得，故D正确.[方法二]：特值法不妨设则故D正确. 24．(1)(2)见解析 【分析】（1）利用等差数列的通项公式求得，得到，利用和与项的关系得到当时，,进而得：，利用累乘法求得，检验对于也成立，得到的通项公式；（2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到，进而证得.【详解】（1）∵，∴,∴,又∵是公差为的等差数列，∴,∴,∴当时，，∴,整理得：,即,∴，显然对于也成立，∴的通项公式；（2） ∴ 25．（1）；（2）.【分析】(1)方法一：由题意结合递推关系式确定数列的特征，然后求和其通项公式即可；(2)方法二：分组求和，结合等差数列前项和公式即可求得数列的前20项和.【详解】解：（1）[方法一]【最优解】：显然为偶数，则，所以，即，且，所以是以2为首项，3为公差的等差数列，于是．[方法二]：奇偶分类讨论由题意知，所以．由（为奇数）及（为偶数）可知，数列从第一项起，若为奇数，则其后一项减去该项的差为1，若为偶数，则其后一项减去该项的差为2．所以，则．[方法三]：累加法由题意知数列满足．所以，，则．所以，数列的通项公式．（2）[方法一]：奇偶分类讨论．[方法二]：分组求和由题意知数列满足，所以．所以数列的奇数项是以1为首项，3为公差的等差数列；同理，由知数列的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列．从而数列的前20项和为：．【整体点评】(1)方法一：由题意讨论的性质为最一般的思路和最优的解法；方法二：利用递推关系式分类讨论奇偶两种情况，然后利用递推关系式确定数列的性质；方法三：写出数列的通项公式，然后累加求数列的通项公式，是一种更加灵活的思路.(2)方法一：由通项公式分奇偶的情况求解前项和是一种常规的方法；方法二：分组求和是常见的数列求和的一种方法，结合等差数列前项和公式和分组的方法进行求和是一种不错的选择.