专题10. 已知极值点（极值个数）求参数的通性通法（备战2024高考数学-大一轮36个核心专题）

专题10.已知极值点（极值个数）求参数的通性通法

一.基本原理

题型1：已知极值点求参数的值.

1.已知函数有极值点，求参数的值或范围,一般有两种情况：

（1）由可以解出参数的值，这类题较为简单，只需由求出参数的值，再代回去研究的单调性，确认在处取得极值即可.

（2）由不能解出参数的值，这类题一般需要对参数进行分类讨论，研究函数的单调性，当的表达式较为复杂时，可能需要用到二阶导数，甚至三阶导数.

当我们知道函数的具体极值点是极大值还是极小值求参数时，也可以利用下面高观点方法，当然，这个方法仅供有兴趣的同学了解，并非通法，它在解决一些问题时要方便一些.

2.极值第二充分条件：若，且，则若，则在处取得极大值；若，则在处取得极小值.

证明：将函数在处二阶泰勒展开可得：

由于在存在极值，故且对求导数可得

由代入上式可知：

显然，若，则时，时，故为的极大值点，证毕.

注：此证明方法仅供需要弄清结论原理的读者使用，若不需，则可直接记住结论内容就行.

3.极值第二充分条件：

若在处具有直到阶的连续导数，且，但，则：当为偶数时，为函数的极值，当为奇数时，不是函数的极值.

题型2：已知极值个数求参数的范围

这类问题的形式就是已知存在几个极值点，求参数的取值范围. 这类问题实质是考察导函数的变号零点个数，注意：是“变号”零点.通常情况下，这类问题可通过求导后讨论导函数的零点个数来完成，首选分离参数的方法解决，若不行，再将导函数作为一个新的函数来讨论其零点个数.

二．典例分析

题型1.已知极值点求参数的值

例1．若函数在处有极值10，则（    ）

A．6 B． C．或15 D．6或

解析： ，，又 时 有极值10

，解得 或 ，当 时，，此时 在 处无极值，不符合题意

经检验， 时满足题意，，故选：B

例2.（2021年乙卷第10题）

1．设，若为函数的极大值点，则（    ）

A． B． C． D．

解析：分析1：分类讨论

若，则为单调函数，无极值点，不符合题意，故.

依题意，为函数的极大值点，

当时，由，，画出的图象如下图所示：

由图可知，，故.

当时，由时，，画出的图象如下图所示：

由图可知，，故.综上所述，成立.故选：D

点评：按照传统的解法，此题应该先求一阶导数，再分析在处何时出现左负右正，引入分类讨论，而对于多数中等水平学生而言，分类讨论是他们痛处，所以我们有必要思考如何避免上述做法.

分析2：第二充分条件

依题，再次求导

由于为极大值点，故，代入上式可得：，故选D.

点评：二阶导方法显然更加具有实用性，不用分类讨论，步骤也很明确，考试必备的好帮手.

小结：已知为函数的极大值或极小值，求参数问题.

第一步：求二阶导数；

第二步：若，则在处取得极大值；

若，则在处取得极小值.

例3.已知函数，其中.

（1）若，求在处的切线方程；

（2）若是的极大值，求a的取值范围.

解析：（1）若，则，所以，故，又，所以在处的切线方程.

（2）解法1：由题意，，，，所以，

若，则，，所以不是的极值，不合题意；

若，则，，所以是的极大值，满足题意；

若，则，，所以是的极小值，不合题意；

综上所述，a的取值范围是.

解法2：由题意，，

①当时，，所以在上单调递增，

又，所以，，

从而在上单调递减，在上单调递增，故是的极小值，不合题意；

②当时，，

所以在上单调递增，在上单调递减，且，

若，则，可知当时，，当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增，故是的极小值，不合题意；

若，则，恒成立，从而在上单调递减，故无极值，不合题意；

若，则，可知当时，，当时，，

所以在上单调递增，在上单调递减，故是的极大值，满足题意；综上所述，a的取值范围是.

题型2.已知极值点个数求参数的范围

基本步骤：第1步求导，第2步令导函数为零后分离参数，第3步做出不含参数函数的图象后讨论合适出现满足题意的变号零点个数，即为参数范围.

例4．已知函数有极值，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

解析：，

∵，∴当时，恒成立，时，恒成立，当时，有解，且在解的两侧的符号相反，即有极值．

故选：A．

例5．已知函数在其定义域内既有极大值也有极小值，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

解析：因为，所以. 因为函数在其定义域内既有极大值也有极小值，所以只需方程在有两个不相等实根.

即，令，则.在递增，在递减.∴， 故选D.

例6．已知函数有且只有一个极值点，则实数构成的集合是（　　）

A．且 B． C．或 D．

解析：由题意，求得函数的导数，令，即.

则．设，得．

当时，得；当时，得或，

所以函数在区间和上单调递减，在区间上单调递增．

因为函数有且只有一个极值点，

所以直线与函数的图象有一个交点，所以或．

当时恒成立，所以无极值，所以．

故选D．

例7．已知函数在区间上有且只有一个极值点，则实数的取值范围为___________.

解析：由题意，函数，

可得，因为函数在区间上有且只有一个极值点，所以在区间上有且只有一个实数根，即方程在区间上有且只有一个实数根，

因为时方程的根，所以方程在区间上没有实数根，即方程在区间上没有实数根，等价于与的图象在上没有交点，又由，所以在上单调递增，所以，且当时，，所以，即实数的取值范围是.故答案为：

三．习题演练

1．已知函数在区间上有极小值无极大值，则实数的取值范围（　　）

A． B． C． D．

解析：∵函数，∴，∵函数在区间上有极小值无极大值，∴在区间上有1个实根，上有1个根．，解得．故选A．

2．已知函数在处取极小值，且的极大值为4，则（    ）

A．-1 B．2 C．-3 D．4

解析：，所以

因为函数在处取极小值，所以，所以，，，

令，得或，当时，，所以在单调递增，当时，，所以在单调递增，当时，，所以在单调递增，所以在处有极大值为，解得，所以.故选：B

3．若函数在处取得极大值，则实数的取值范围是______．

解析：，

当时，，当时，，当时，，

则在上单调递减，在上单调递增，此时只有极小值，没有极大值，

当时，当或时，，当时，，

在，上单调递增，在上单调递减，

则在处取得极大值，

当时，，当且仅当时取“=”,在R上单调递增，没有极值，

当时，当或时，，当时，，

在，上单调递增，在上单调递减，

所以在处取得极大值，得，综上得，.故答案为：

4．已知函数，若是函数在区间上的唯一极值点，则实数的取值范围是______．

解析：函数，所以，

只需满足在上恒无变号零点即可，由于递增，故只需恒成立即可，综上：，故答案为：.

5. 设，

（1）令，求的单调区间；

（2）已知在处取得极大值.求实数的取值范围.

解法1：分类讨论(2)由(1)知，.若时，，单调递减.

所以当时，，单调递减.当时，，单调递增.所以在处取得极小值，不合题意.

②当时，，由(Ⅰ)知在内单调递增，

可得当时，，，，

所以在内单调递减，在内单调递增，

所以在处取得极小值，不合题意。

③当时，在内单调递增，在内单调递减，

所以当时，，从而单调递减，不合题意。

④当时，，从而当时，，从而单调递曾，当时，，从而单调递减，所以在处取得极大值，符合题意. 综上：

解法2：（极值第二充分条件）（2）由题：

计算得：，，

若，由极值第二充分条件知：是的极小值点，不合题意。

①．若，由极值第二充分条件知：是的极大值点，符合题意，此时.

②.若，由极值第三充分条件知：不是的极值点，不合题意.

综上：