专题13.立体几何中的向量方法进阶（备战2024高考数学-大一轮36个核心专题）

专题13.立体几何中的向量方法进阶训练

1.直线的方向向量：

点，那么直线的方向向量可为

2.平面的法向量定义：

直线l⊥α，取直线l的方向向量，我们称向量为平面α的法向量．给定一个点A和一个向量，那么过点A，且以向量为法向量的平面完全确定，可以表示为集合.

注：一个平面的法向量不是唯一的，在应用时，可适当取平面的一个法向量．已知一平面内两条相交直线的方向向量，可求出该平面的一个法向量．

3.平面的法向量确定通常有两种方法：

（1）几何体中有具体的直线与平面垂直，只需证明线面垂直，取该垂线的方向向量即得平面的法向量；

（2）几何体中没有具体的直线，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下：

（i）设出平面的法向量为；

（ii）找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标，；

（iii）根据法向量的定义建立关于的方程；

（iv）解方程组，取其中的一个解，即得法向量．由于一个平面的法向量有无数个，故可在代入方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量．

知识点二：用向量方法判定空间中的平行关系

空间中的平行关系主要是指：线线平行、线面平行、面面平行．

（1）线线平行

设直线的方向向量分别是，则要证明，只需证明，即．

（2）线面平行

线面平行的判定方法一般有三种：

①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明，即．

②根据线面平行的判定定理：要证明一条直线和一个平面平行，可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量．

③根据共面向量定理可知，要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可．

（3）面面平行

①由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可．

②若能求出平面，的法向量，则要证明，只需证明．

知识点三、用向量方法判定空间的垂直关系

空间中的垂直关系主要是指：线线垂直、线面垂直、面面垂直．

（1）线线垂直

设直线的方向向量分别为，则要证明，只需证明，即．

（2）线面垂直

①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明．

②根据线面垂直的判定定理转化为直线与平面内的两条相交直线垂直．

（3）面面垂直

①根据面面垂直的判定定理转化为证相应的线面垂直、线线垂直．

②证明两个平面的法向量互相垂直．

知识点四、用向量方法求空间角

（1）求异面直线所成的角

已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为，

则．

注：两异面直线所成的角的范围为．两异面直线所成的角可以通过这两直线的方向向量的夹角来求得，但二者不完全相等，当两方向向量的夹角是钝角时，应取其补角作为两异面直线所成的角．

（2）求直线和平面所成的角

如图，设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，则有．（易错点）

（3）求二面角

如图，若于于，平面交于，则为二面角的平面角，.

若分别为面的法向量，，则二面角的平面角或，即二面角等于它的两个面的法向量的夹角或夹角的补角．

①当法向量与的方向分别指向二面角的内侧与外侧时，二面角的大小等于的夹角的大小．

②当法向量的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角的大小等于的夹角的补角的大小．

知识点五、用向量方法求空间距离

1.求点面距的一般步骤：

①求出该平面的一个法向量；

②找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量；

③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离．

即：点A到平面的距离，是平面的法向量，如下图所示.

2.线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解．

直线与平面之间的距离：，其中，是平面的法向量．

两平行平面之间的距离：，其中，是平面的法向量．

3. 点线距

设直线l的单位方向向量为，，，设，则点P到直线l的距离 .

二．典例突破

1.存在性问题.存在性问题突破的关键就是表示出动点的坐标，一般利用定比分点的形式写出动点坐标，最后把欲求量表示成动点坐标的函数.

例1．如图，在四棱锥中，四边形ABCD为菱形，且，平面ABCD，E为BC的中点，F为棱PC上一点．

（1）求证：平面平面PAD；

（2）若G为PD的中点，，是否存在点F，使得直线EG与平面AEF所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

解析：（1）证明：连接，因为底面为菱形，，

所以是正三角形，是的中点，，又，

平面，平面，又平面，

又平面，所以平面平面．

（2）由（1）知AE，AD，AP两两垂直，以为坐标原点，直线AE，AD，AP分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设，则，，，，，，

所以，，．设平面的法向量，则即令，得平面的一个法向量．

设与平面所成的角为，则

，

解得或，即存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，且或．

例2．如图，四棱柱中，平面平面，底面为菱形，与交于点O，．

（1）求证：平面；

（2）线段上是否存在点F，使得与平面所成角的正弦值是？若存在，求出；若不存在，说明理由．

解析：（1）∵，，∴，又O是中点∴

∵平面平面，平面平面，

平面，∴平面

（2）∵底面是菱形，∴，以O为原点，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．则．

又，所以，∴，设平面的法向量是，∴，令，则，

假设线段上存在点F，且，

∴，∴，

∴，平方整理得：，∴或（舍）.

∴时，即存在点F是中点时，与平面所成角的正弦值是．

二．最值问题

例3. 已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点．

（1）证明：；

（2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小?

解析：（1）因为三棱柱是直三棱柱，所以底面，所以

因为，，所以，又，所以平面．

所以两两垂直．以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图．

所以，．由题设（）．

（1）因为，所以，所以．

（2）设平面的法向量为，因为，

所以，即．令，则

因为平面的法向量为，设平面与平面的二面角的平面角为，则．当时，取最小值为，此时取最大值为．

所以.

三．建系过程较复杂

有一些问题中，建系过程相对较复杂，导致考生无法下手，这也充分表明了几何论证的基础性和重要性，下面通过两个例子予以说明.

例4.如图，直三棱柱的体积为，的面积为．

（1）求到平面的距离；

（2）设为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值．

解析：（1）设到平面的距离为，，

，所以，所以，所以到平面的距离为．

（2）取的中点，连接，因为，所以，因为平面平面，平面平面，所以平面,，则，所以，因为直三棱柱，所以，因为，所以平面，所以，由，所以，以为轴，为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

所以，，，，，

平面BDC的法向量设为，平面BDA的法向量设为，

，，，所以，所以，设，则，所以，所以，设二面角 的平面角为，则，所以二面角的正弦值为．

例5．如图，四棱锥的底面中，为等边三角形，是等腰三角形，且顶角，，平面平面，为中点.

（1）求证：平面；

（2）若，求二面角的余弦值大小.

解析：（1）证明：设中点为，连接、，为等边三角形，

，，，，，即，， ，平面，平面，

平面，为的中位线，，平面，平面，平面，、为平面内二相交直线，

平面平面，平面DMN，平面；

（2）设中点为，连接、，为等边三角形，是等腰三角形，且顶角，，，、、共线，，，，，平面，平面.平面

，平面平面，交线为，平面

平面.设，则，在中，由余弦定理，得：，又，，

，，，为中点，，

建立直角坐标系（如图），则

，，，.，，

设平面的法向量为，则，，取，则，

，平面的法向量为，，

二面角为锐角，二面角的余弦值大小为.