专题19.四点共圆及应用（备战2024高考数学-大一轮36个核心专题）

专题19.二次曲线上的四点共圆

一．基本原理

1.方法一：斜率方法

若两条直线与二次曲线

有四个交点，则这四个交点共圆的充要条件是

.

结论1  抛物线的内接四边形同时内接于圆的充要条件是该四边形的两组对边、两条对角线所在的三对直线中有一对直线的倾斜角互补.

结论2  圆锥曲线的内接四边形同时内接于圆的充要条件是该四边形的两组对边、两条对角线所在的三对直线中有一对直线的倾斜角互补.

方法2：曲线系方法

定理2  若两条直线与二次曲线

有四个交点，则这四个交点共圆的充要条件是.

证明：由组成的曲线即

所以经过它与的四个交点的二次曲线一定能表示成以下形式不同时为0)：

①

必要性.若四个交点共圆，则存在使方程①表示圆，所以式①左边的展开式中含项的系数.而(否则③表示曲线，不表示圆)，所以.

充分性.当时，式①左边的展开式中不含的项，选时，再令式①左边的展开式中含项的系数相等，即，得.

此时曲线①即

②

的形式，这种形式表示的曲线有且仅有三种情形：一个圆、一个点、无轨迹.而题中的四个交点都在曲线②上，所以曲线②表示圆.这就证得了四个交点共圆.

方法3.相交弦定理

（2）相交弦定理：

二．典例分析

例1.（2021新高考1卷）在平面直角坐标系中，已知点，且动点满足：，点的轨迹为.

（1）求的方程；

（2）设点在直线上，过的两条直线分别交于两点和两点，且满足

，求直线与直线的斜率之和.

解析：（1）因为，

所以，轨迹是以点，为左右焦点的双曲线的右支，设轨迹的方程为，则，可得，，所以，轨迹的方程为.

（2）方法1. 相交弦定理直接翻译

设，设直线的方程为．

联立，化简得，则

．故．

则．

设的方程为，同理．

因为，所以，化简得，

所以，即．因为，所以．

方法2.（参数方程法）

设．设直线的倾斜角为，则其参数方程为，

联立直线方程与曲线C的方程，

可得，整理得．设，

由根与系数的关系得．设直线的倾斜角为，，同理可得，由，得．因为，所以．由题意分析知．所以，故直线的斜率与直线的斜率之和为0．

（方法3：曲线系）

（2）设，直线的方程为，直线的方程为，

则过四点的二次曲线为：，代入双曲线方程可得：，整理可得：

其中．

由于四点共圆，则项的系数为，即.

例2. 在平面直角坐标系中，双曲线的离心率为，实轴长为4.

（1）求C的方程；

（2）如图，点A为双曲线的下顶点，直线l过点且垂直于y轴（P位于原点与上顶点之间），过P的直线交C于G，H两点，直线AG，AH分别与l交于M，N两点，若O，A，N，M四点共圆，求点P的坐标.

解析：（1）因为实轴长为4，即，，又，所以，，

故C的方程为.

（2）由O，A，N，M四点共圆可知，，

又，即，

故，即，所以,

设，，，

由题意可知，则直线，直线，

因为M在直线l上，所以，代入直线AG方程，可知，

故M坐标为，所以，

又，由，则，

整理可得，当直线GH斜率不存在时，显然不符合题意，

故设直线，代入双曲线方程：中，

可得，所以，，

又

，

所以,

故，即，所以点P坐标为.