专题21. 椭圆焦点三角形十大应用（备战2024高考数学-大一轮36个核心专题）

专题21.椭圆的焦点三角形初探

一．学习目标：掌握椭圆的焦点三角形及常见结论.

二．概念梳理:

焦点三角形主要结论：椭圆定义可知：中，

（1）. .

（2）. 焦点三角形的周长为

（3）..

（4）. 焦点三角形的面积为：.

①设、是椭圆的左、右焦点，P是椭圆C上的一个动点，则当P为短轴端点时，最大.

②．S＝|PF1||PF2|sin θ＝c|y0|，当|y0|＝b，即点P为短轴端点时，S取得最大值，最大值为bc；

（5）. 假设焦点的内切圆半径为，则.

（6）.焦半径公式:设是椭圆上一点，那么，，进一步，有

推导：根据两点间距离公式:，由于代入两点间距离公式可得，整理化简即可得. 同理可证得.

（7）.设是椭圆上一点，那么，由于,故我们有

（8）若约定椭圆，分别为左、右焦点；顶点在第一象限；，则对于椭圆，离心率

（9） 若，对椭圆有，若，对于椭圆，有， 若，对椭圆，有.

（10） 对椭圆焦点三角形的内心的轨迹方程为.

三．典例分析

例1．已知，是椭圆的两个焦点，P为椭圆C上一点，且，若的面积为，则（    ）

A．9 B．3 C．4 D．8

解析：由焦点三角形面积公式得，故选：B

例2．已知椭圆，其左､右焦点分别为，，离心率为，点P为该椭圆上一点，且满足，若的内切圆的面积为，则该椭圆的方程为（    ）

A． B． C． D．

解析：所以，

而，所以可得，解得，，由，得，所以该椭圆的方程为．故选：A．

例3．已知是椭圆E的两个焦点，P是E上的一点，若，且，则E的离心率为（    ）

A． B． C． D．

解析：又，所以，即，故E的离心率为.

故选：C.

例4.椭圆的左、右焦点分别为、，P为椭圆C上不与A、B重合的动点，则的最小值为______.

解析：如图，由题意，，设，，由椭圆定义，，在中，由余弦定理，

，

当且仅当时取等号，此时P为椭圆的短轴端点，所以的最小值为.

                例4图                             例5图

例5.椭圆的左、右焦点分别为、，若椭圆C上存在点P，使，则椭圆C的离心率的取值范围是______.

解析：椭圆C上存在点P，使等价于最大张角大于等于60°，如图，

，即，又，所以.

例6.已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点.若，，则C的方程为

A． B． C． D．

解：如图所示：

设，由，代入焦半径公式到可得：.再由

.结合（1），（2）式可得，，故

，，这样在三角形与三角形中分别使用余弦定理可得:.

小结：通过坐标表示出焦半径的关系，进而解出椭圆上点的坐标是解题的关键.

例7.设为椭圆的两个焦点，为上一点且在第一象限.若为等腰三角形，则的坐标为___________.

解：由已知可得，

．∴．由焦半径公式可知

设，由焦半径公式可知

再代入椭圆方程可解得的坐标为．

例8．已知椭圆：的左、右焦点分别是，，是椭圆上的动点，和分别是的内心和重心，若与轴平行，则椭圆的离心率为(    )

A． B． C． D．

解析：∵是的中点，G是的重心，∴三点共线，延长交轴于点，则由平行于轴知，，则,设内切圆半径为r，则，

∴椭圆的离心率为．故选：A﹒

四．习题演练

1．设椭圆的左右焦点分别为，，点P在椭圆上，且满足，则的值是（    ）

A．14 B．17 C．20 D．23

解析：由前述结论可知，选D.

2．已知点、为椭圆的左、右焦点，若点为椭圆上一动点，则使得的点的个数为（    ）

A． B． C． D．不能确定

选B.

3．设椭圆的左、右焦点分别为,是上的点,,,则的离心率为  (      )

A.            B.            C.            D.

解析：，选D

4．设为椭圆上一点，两焦点分别为，，如果，，则椭圆的离心率为（    ）

A． B． C． D．

解析：由于.故即.

故选：A.

4. 已知为椭圆的焦点，为上一点且,求此椭圆离心率的取值范围.

解析：由椭圆的定义，得，平方得①.

由，②，是锐角，由余弦定理得③，③得 ④由②④，得，

是锐角， ，即且

.由②③可知 ⑤由①⑤可得 ，

，，即，.则椭圆离心率的取值范围是.

5．椭圆的两焦点是、，为椭圆上与、不共线的任意一点，为的内心，延长交线段于点，则的值等于（     ）

A． B． C． D．

【详解】连接.在△MF1I中,F1I是∠MF1N的角平分线,根据三角形内角平分线性质定理,，

同理可得,故有，

根据等比定理.

故选：B

6．已知分别为双曲线的左､右焦点，点在双曲线上，为的内心，点满足，若且，记的外接圆半径为，则的值为（    ）

A． B． C． D．1

【详解】设，

由题意得，

因为点满足，

所以点G是的重心，则，

又因为，

所以轴，

则的纵坐标是，

所以，

设，则，

所以，

即，

则，

由余弦定理得，

即，

解得或，

所以，

则，

解得，

故选：A