专题22.双曲线焦点三角形的十大应用（备战2024高考数学-大一轮36个核心专题）

专题22.双曲线焦点三角形的十大结论

一．基本原理

本节中约定已知双曲线方程为 如图，顶点在第一象限，对于双曲线焦点三角形，有以下结论：

1.如图，、是双曲线的焦点，设P为双曲线上任意一点，记，则的

面积.

证明：由余弦定理可知．

由双曲线定义知||，可得

所以

则．

2.如图，有，

3.离心率.

4.若，则有.

5.若，则有.

6.焦半径公式：如图，对于双曲线，，对双曲线，其焦半径的范围为.

7.双曲线中，焦点三角形的内心的轨迹方程为.

证明：设内切圆与的切点分别为，则由切线长定理可得,因为，，所以，所以点的坐标为，所以点的横坐标为定值a.

8.如图，直线与双曲线交于两点，的左右焦点记为，则为平行四边形.

结论9.已知具有公共焦点的椭圆与双曲线的离心率分别为是它们的一个交点，且，则有.

证明： 依题意，在中，由余弦定理得

，

所以，即.

结论10.如图，过焦点的弦的长为，则的周长为.

二．典例分析

例1．已知为双曲线的两个焦点，在双曲线上，若的面积是1，则的值是__________．

解析：由双曲线焦点三角形面积公式得：，所以，

即． 所以，从而．

例2．已知为双曲线的左、右焦点，点在上，，则（ ）

A．2       B．4            C．6            D．8

解析：由双曲线焦点三角形面积公式得：

所以． 故选B．

例3已知为双曲线的左、右焦点，点在上，若

，则的取值范围是（ ）

A． B． C． D．

解析：由题意知，且，即，所以

，

解得， 故选A．

例4.已知双曲线的左、右焦点分别为、，点P在C上，且，则的面积为________.

解析：由焦点三角形面积公式，.

例5.已知双曲线的左、右焦点分别为、，点P在C上，且，则的面积为________.

解析：记，则，

所以，由知，所以，从而，故.

例6.已知、是双曲线的左、右焦点，P为双曲线C右支上的一点，，则________.

解析：由焦点三角形面积公式，，

又，所以，

故，由双曲线定义，，解得：.

例7.（1）双曲线,过焦点的直线与该双曲线的同一支交于、两点,且，另一焦点为,则的周长为  （   ）
A.          B.        C.            D.

例8．如图所示，已知双曲线：的左焦点为，右焦点为，双曲线的右支上一点，它关于原点的对称点为，满足，且，则双曲线的离心率是__________.

解析：由条件可得，，，则，，，所以在中，，

即，即，则，所以双曲线的离心率为：.

故答案为：.

例9．如图所示,已知双曲线:的右焦点为,双曲线的右支上一点,它关于原点的对称点为,满足,且,则双曲线的离心率是______.

解析：设双曲线的左焦点为,连接,,根据双曲线的对称性可知，四边形为平行四边形，由题意以及双曲线定义，可得,

则,,,所以,

即,即，所以双曲线的离心率为:.故答案为：.

例10．如图，，是双曲线上的两点，是双曲线的右焦点.是以为顶点的等腰直角三角形，延长交双曲线于点.若，两点关于原点对称，则双曲线的离心率为______.

解析：设左焦点为，连接，依题意：是以为顶点的等腰直角三角形，，两点关于原点对称，结合双曲线的对称性可知：四边形是矩形，所以，设，则，

，由，

即，整理得，.故答案为：

例11．已知有相同焦点、的椭圆和双曲线交于点，，椭圆和双曲线的离心率分别是、，那么__________（点为坐标原点）．

解析：设椭圆的长半周长为，双曲线的实半轴长为，它们的半焦距都为，并设，根据椭圆的定义和双曲线的定义可得，

在中，由余弦定理得，

即

在中，由余弦定理得，

即 又由,两式相加，则，又由，所以，所以，即.

例12.  双曲线的左、右焦点分别为、，双曲线上的一点P满足，则点P的坐标为_______.

解析：由题意，，，，，由焦半径公式，，，

因为，所以，解得：或（舍去）

代入双曲线的方程可求得，所以P的坐标为.

例13.已知椭圆，双曲线，，为的焦点，为和的交点，若△的内切圆的圆心的横坐标为1，和的离心率之积为，则实数的值为（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6

解析：不妨设点P在第一象限，设 的内切圆的圆心为，且与，，的切点为，，，可得， ，由双曲线的定义可得 ，即有 ，又 ，可得 ，可得内切圆的圆心的横坐标为，和的离心率之积为，可得 解得，故选：．