专题24.抛物线的焦半径与焦点弦（备战2024高考数学-大一轮36个核心专题）

专题24.抛物线的焦半径与焦点弦

抛物线的焦点弦是抛物线中的高频考点，特别是对于考生而言，本节的结论既要注意把握推导过程，更应该注意对结论的熟悉程度，因为很多涉及到焦点弦的题目都会以选填的形式出现，如此，你便可以用相关结论快速做到，避免小题大做！

一．重要结论

抛物线的焦点弦具有丰富的性质，它是对抛物线定义的进一步考察，也是抛物线这节中最重要的考点之一，下面罗列出常见的抛物线焦点弦性质:

假设抛物线方程为.过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，其坐标分别为
.

性质1.,.

证明：性质1的证明很简单，由抛物线的定义即可证得.如上图，过向准线引垂线，垂足分别为.由定义可知：.代入坐标即可证得相关结论.

性质2.抛物线 的焦点为F，是过的直线与抛物线的两个交点，求证：.

证明：，则的方程为，整理可得：

，即可得的方程为：.最后，由于直线过焦点，代入焦点坐标可得.再代入抛物线方程.

一般地，如果直线恒过定点与抛物线交于两点，那么

.

于是，若恒过定点.

性质3.已知倾斜角为直线的经过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，则

（1）.

（2）.

证明：设准线交轴于点，过点作轴于，作于，由抛物线定义可知：．其中，.

所以，，故．

同理，所以．

性质4.抛物线的通径

(1).通径长为.

(2).焦点弦中，通径最短.

(3).通径越长，抛物线开口越大.

由性质3易得，略.

性质5.已知直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，若弦中点的坐标为，则.

证明：设坐标为，由抛物线定义：，

故.

性质6.以焦点弦为直径的圆与准线相切.

证明：设焦点弦的中点为，则到准线的距离为，由性质5可证得.

性质7.如图，过抛物线的焦点的直线与抛物线相交于两点，自向准线作垂线，垂足分别为，则

（1）；

（2）记的面积分别为,,，.

二．典例分析

例1.已知为抛物线的焦点，过作两条互相垂直的直线，直线与交于两点，直线与交于两点，则的最小值为(       )

A．16       B．14    C．12      D．10

解析：法1:设,,直线方程为

取方程,得 ∴

同理直线与抛物线的交点满足

由抛物线定义可知

当且仅当(或)时,取得等号．

法2:设的倾斜角为,则直线的倾斜角为，根据焦点弦长公式有:

．

故选A．

法3:设点,则

设直线的方程为

联立直线与抛物线方程消去可得

所以,所以

同理 ，所以(当且仅当时等号成立)

法4：可设直线，由抛物线焦点弦的性质3可得：

，故，当且仅当时取到最小值，故选A.

上述例2，在知晓背景的情况下解答是很容易的，这再次说明记住一些重要的二级结论可以优化运算，提升解题速度. 下例中，我们将看到有关面积的定值问题，从而为前面的重要结论做一个补充.

例2．（2022新高考2卷）已知为坐标原点，过抛物线的焦点的

直线与交于，两 点，点在第一象限，点，若，则直线

的斜率为

A．直线AB的斜率为2                     B．

C．  D．

解析：选项A：设中点为，则所以所以故

选项B：所以所以

选项C：

选项D：由选项A,B知所以所以为钝角；

又所以为钝角；

所以.故选ACD.

例3.抛物线的焦点为，，是抛物线上两动点，若，则的最大值为

A． B． C． D．

解析：.

在中,由余弦定理得：

，

又.

所以的最大值为. 本题选择A选项.

例4．（2022·广东·一模）已知抛物线的焦点为F，抛物线C上存在n个点，，，（且）满足，则下列结论中正确的是（    ）

A．时，

B．时，的最小值为9

C．时，

D．时，的最小值为8

解析：当时，，此时不妨取 过焦点垂直于x轴，

不妨取 ，则，故A错误；

当时，，

此时不妨设 在抛物线上逆时针排列，设,

 ，

，

令 ，则，令 ，则，当时， ，递增，当时， ， 递减，故 ，故当 ，即 时，取到最小值9，故B正确；

当时，，

此时不妨设 在抛物线上逆时针排列，设,

，

即，

故，，

所以，故C正确；

由C的分析可知：，

当 时，取到最小值16，即最小值为16，故D错误；故选：BC

例5.设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，．

（1）求的方程；

（2）求过点，且与的准线相切的圆的方程．

解析：（1）设直线的方程为，且坐标为，联立方程可得：

得．，故．

所以．由题设知，解得：

解得：，故的方程为.

（2）由（1）可得中点坐标为，所以的垂直平分线方程为，设所求圆的圆心坐标为，则

解得或

因此所求圆的方程为或．

注：此题以焦点弦性质6为背景展开.

例6．已知抛物线C：，过点且斜率为k的直线与抛物线C相交于P，Q两点.

（1）设点B在x轴上，分别记直线PB，QB的斜率为.若，求点B的坐标；

（2）过抛物线C的焦点F作直线PQ的平行线与抛物线C相交于M，N两点，求的值.

解析：由题意，直线的方程为，其中.

设， 联立，消去得.

.，，即.，即.

，，∴点的坐标为.

（2）由题意，直线的方程为，其中，为倾斜角，则，

设. 联立，消去得.

.

.

例7．已知抛物线的焦点为为上一点，的最小值为1.

（1）求抛物线的标准方程；

（）过焦点作互相垂直的两条直线与抛物线相交于两点，与抛物线相交于两点.若分别是线段的中点，求的最小值.

解析：（1）抛物线的标准方程为.

（2）由（1）得，点，显然直线，的斜率都存在且不为0，设直线斜率为，则的斜率为，直线的方程为，由消去并整理得，

，设，，则，所以线段中点，

，同理，所以，

令，当且仅当，即时等号成立.

所以，且，所以，当且仅当时取等号，

所以的最小值为16.

例8．已知抛物线C：，F为抛物线C的焦点，是抛物线C上点，且；

（1）求抛物线C的方程；

（2）过平面上一动点作抛物线C的两条切线PA，PB（其中A，B为切点），求的最大值.

解析：（1）抛物线的方程为；

（2）抛物线的方程为，即，设，，则切线PA，PB的斜率分别为，.所以切线PA：，

∴，又，，

同理可得切线PB的方程为，因为切线PA，PB均过点，所以，，所以直线AB的方程为.

联立方程，消去x整理得，

∴，∴.

∴，由抛物线定义可知，，

所以

∵，

∴，令

∴原式，即最大值.