专题26.蝴蝶定理及应用（备战2024高考数学-大一轮36个核心专题）

专题26.蝴蝶定理背景下的解析几何与应用

1.蝴蝶定理：是二次曲线Ω的一条弦，是的中点，过作Ω的两条弦和，其中位于的同一侧，直线和分别交于点，则有.

2.斜率形式

结论1:分别为椭圆的左、右顶点，为轴上一定点，过直线交椭圆于两点，连接，那么.

证明：过作轴，交椭圆于交于由椭圆对称性可知：

：进而据蝴蝶定理可知：，于是可得：

.

结论2[1]：设抛物线的弦过定点，过点作非水平线交于两点，若直线与轴交于定点，直线的斜率存在且非零，则

3坎迪定理

如图，过圆的弦上任意一点引任意两条弦和，连接交于和，则.

坎迪定理的推广

设是二次曲线的任意一条弦，为上任意一点，过作任意两条弦和，连接、交直线于和.

（1）若位于两侧，则；

（2）若位于同一侧，，则.

二．典例分析

例1.已知A、B分别为椭圆E：（a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点，，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．

（1）求E的方程；

（2）证明：直线CD过定点.

解析：依上述蝴蝶定理的内容：由于

过作轴，交与点，交椭圆于.显然为椭圆弦的中点，由蝴蝶定理：，，

例2．在平面直角坐标系中，已知圆，点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线与半径相交于点，设点的轨迹为曲线。

（1）求曲线的方程；

（2）若，设过点的直线与曲线分别交于点，其中，求证：直线必过轴上的一定点。(其坐标与无关)

解析：（1）曲线的方程为：。

（2）点的坐标为直线方程为：，即，

直线方程为：，即, 分别与椭圆联立方程组，同时考虑到，解得：.

当时，直线方程为：

令，解得：. 此时必过点；

当时，直线方程为：，与轴交点为.综上所述，直线必过轴上的一定点.

注：依题，我们可以得到                

例3．已知椭圆的离心率为，半焦距为，且，经过椭圆的左焦点，斜率为的直线与椭圆交于，两点，为坐标原点．

（1）求椭圆的标准方程．

（2）设，延长，分别与椭圆交于，两点，直线的斜率为，求证：为定值．

解析：（1）由题意，得解得，∴，故椭圆的方程为．

（2）设，，由已知，直线的方程为，即．由消去并整理，得．

则，∵，∴，

∴．∴，同理．

，

∵，，

∴，∴为定值．

注：可以看到，椭圆中的蝴蝶构型在证明过程中会出现非对称韦达结构.

例4.设椭圆的左、右顶点为, 过右焦点作非水平直线与椭圆交于两点, 记直线的斜率分别为, 试证:  为定值, 并求此定值(用的函数表示).

证明：设，代入椭圆方程得

，

设 , 则，.

两式相除得,     .

由题意知,     . 

从而 .                   

.               

因为，所以 .

四．逆向思考：斜率之商为定值，是否恒过定点？

前面我们围绕抛物线与椭圆中的“蝴蝶定理”，着力在证明斜率之商为定值！那么倘若，已知斜率之积为定值，又会出现什么样的情形呢？

此时我们主要注意，在二次曲线中，斜率乘积为定值的模型是很重要的一类，而斜率之商在一定条件下可以转化为斜率之积，于是我们可以看到，在一些问题中，斜率之商为定值是可以得到一类定点问题！

练习.（2022甲卷） 设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，．

（1）求C的方程；

（2）设直线与C的另一个交点分别为A，B，记直线的倾斜角分别为．当取得最大值时，求直线AB的方程．

解析：（1）抛物线的准线为，当与x轴垂直时，点M的横坐标为p，

此时，所以，所以抛物线C的方程为.

（2）设，直线，

由可得，，

，，

，代入抛物线方程可得，

，所以，同理可得，所以又因为直线MN、AB的倾斜角分别为，

所以，若要使最大，则，

设，则，

当且仅当即时，等号成立，所以当最大时，，设直线，代入抛物线方程可得，

，所以，所以直线.