专题27.递推公式求通项的十大模型（备战2024高考数学-大一轮36个核心专题）

专题27.递推公式求通项的十种类型

类型1.等差数列：相邻两项递推形式：为常数，）或者相邻三项递推形式：.这种递推形式下，直接用等差数列的通项公式：即可解决！

例1.已知数列的前项和为，满足，，则（    ）

A． B． C． D．

解析：∵，－ = 1，∴是以1为首项，以1为公差的等差数列，

∴，即，∴（）.当时，也适合上式，.故选：A.

注1：在等差数列中，有一类比较特殊的递推类型，即，它可以得到两个子数列分别是公差为的等差数列.

例2．已知数列的前n项和为，且，，则数列的前2021项的和为(    )

A． B． C． D．

解析：∵，，∴，解得．

，∴，两式相减，得，数列的奇数项与偶数项均为公差为4的等差数列，当为偶数时，．

当为奇数时，为偶数，∴根据上式和(*)知，数列的通项公式是，易知是以2为首项，2为公差的等差数列，

故，，设的前n项和为，

则．故选：A．

例3．数列中，．求的通项公式；

解析：（1）由①②，②-①，

∴的奇数项与偶数项各自成等差数列，由，∴，

∴，∴，n为奇数，，∴，n为偶数．∴.

类型2.等比数列：相邻两项递推：或.

或者相邻三项递推：.

注2：在等比数列应用中，有一类比较特殊的递推类型，即，我们可以对其赋值得到一个等比数列.

例4．数列中，，对任意有，若，则（    ）

A． B． C． D．

解析：由任意都有，所以令，则，且，所以是一个等比数列，且公比为，则

所以，故选：D.

例5．已知数列满足且，．求通项；

解析：当为奇数时，由知数列是公差为2的等差数列，

，∴，为奇数；当为偶数时，由知数列是公比为2的等比数列，，∴，为偶数∴.

类型3.累加型

例6．若数列满足，．求的通项公式.

解析：因为，，所以，故.

类型4.()累乘型.

例7．数列及其前n项和为满足：，当时，，则（    ）

A． B． C． D．

解析：当时，，即，所以

累乘得：，又，所以

所以

则

. 故选：C.

类型5.型（待定系数法）

一般形式：为常数，，可以构造一个等比数列，只要在每一项同加上一个常数即可，且常数，，令，则为等比数列，求出，再还原到，.

例8．在数列中，，．求的通项公式.

解析：依题意，数列中，，，所以，所以数列是首项为，公比为的等比数列.

例9.已知数列满足，证明是等比数列，并求的通项公式.

解析：显性构造：，，.

类型6.型

例10．已知数列的首项，且满足．求数列的通项公式；

解析：∵，∴，∴，又∵，故是以2为首项，2为公比的等比数列．，则．

类型7.型.

方法1.数学归纳法.

方法2.，令，则，用累加法即可解决！

例11.设数列满足，.

（1）计算，，猜想的通项公式并加以证明；

（2）求数列的前n项和.

解析：方法1：归纳法.

（1） 猜想 得，

，…….因为，所以

方法2：构造法.

由可得：，累加可得：.

（2）由（1）得，所以

.  ①

.②

得，

类型8.型

例12．已知数列满足，，求数列的通项公式.

解析：因为，所以，即，又，所以，所以数列为首项为1，公差为1的等差数列，所以，故，所以数列的通项公式为.

类型9.已知与关系，求.

解题步骤：

第1步：当代入求出；

第2步：当，由写出；

第3步：（）；

第4步：将代入中进行验证，如果通过通项求出的跟实际的相等，则为整个数列的通项，若不相等，则数列写成分段形式，                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                     

在本考点应用过程中，具体又可分为三个角度，第一，消留，第二个角度，消留，

第三个角度，级数形式的前n项和，下面我们具体分析.

例13．已知数列的前项和为，，. 证明：数列是等差数列.

证明：∵，∴，易知，∴，

∴数列是公差为2的等差数列.

例14．设数列的前项和为，且满足，. 求.

解析：因为,所以，

则，，即为首项为，公差为的等差数列，

则，故.

例15．已知数列满足．求数列的通项公式.

解析：，①当时，．当时，，②由①-②，得，

因为符合上式，所以．

例16.（2022新高考1卷）记为数列的前项和，已知，是公差为的等差数列．求得通项公式.

解析：，所以，所以是首项为，公差为的等差数列，所以，所以．当时，，

所以，即（）；累积法可得：（），又满足该式，所以得通项公式为．

类型9：已知前项积求.

例17. 记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．

（1）证明：数列是等差数列;

（2）求的通项公式．

解析：由已知得,且，,取,由得,

由于为数列的前n项积，所以,

所以，所以,由于，所以，即,其中，所以数列以为首项，以为公差等差数列.

（2）由（1）可得，数列是以为首项，以为公差的等差数列，

,,当n=1时，,

当n≥2时,,显然对于n=1不成立,

∴.

类型10.特征方程法（强基层次）：型.

求解方程：，根据方程根的情况，可分为：

（1）若特征方程有两个相等的根，则

（2）若特征方程有两个不等的根，则

例18．已知数列满足，，.求数列的通项公式；

解析：，变形为：，，∴数列是等比数列，首项为6，公比为3.∴，变形为：，，∴，∴

例19.已知数列满足，求数列的通项．

解析：其特征方程为，解得，令，

由，得，     ．

例20.已知数列满足，求数列的通项．

解析：其特征方程为，化简得，解得，令 由得，可得，数列是以为首项，以为公比的等比数列，，．