专题28.解决数列放缩问题的六大技巧（备战2024高考数学-大一轮36个核心专题）

专题28.解决数列放缩问题的六大技巧

本篇主要目标是聚焦于数列放缩，常见的方法有六种，具体我将在文中以实例详细说明.

类型1.利用单调性放缩

例1．已知数列满足，

（1）设，证明：是等比数列，并求的通项公式；

（2）证明：．

解析：（1）∵，则，即，又∵，所以是首项为，公比为3的等比数列，∴，故的通项公式为.

（2）由（1）知，即是首项为，公比为的等比数列，

∴，又∵数列单调递增，

∴，故.

类型2. 先求和再放缩

先求和再放松实质上是一类很常见的题目，这类放缩实质在考察数列求和，放缩的结果也很松，下面通过两个例子简单说明即可，分别是利用裂项相消求和与错位相减求和后放缩.

例2.记为数列的前项和，已知，是公差为的等差数列．

（1）求得通项公式；

（2）证明：．

解析：（1），所以，所以是首项为，公差为的等差数列，

所以，所以．当时，，所以，即（）；

累积法可得：（），又满足该式，所以得通项公式为．

（2）

．

注：，则：.可以看到，裂项后一定可以得到一个估计.

例3．已知等比数列为递增数列，且．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，数列的前n项和为，证明：．

解析：（1）由题意，，解得或，因为等比数列为递增数列，所以，所以.

（2）由（1）知数列的前n项和为：

①，②，两式相减可得：，

所以，又因为，所以，所以.

类型3.先放缩通项再求和

这一类是数列放缩问题的常考类型，相较于类型2而言，这一部分对放缩对象的处理需要一定的技巧，因而对很多学生来说具有挑战性，是数列放缩中的难点. 此节中，我将分为如下几个点展开：第一，将通项放缩为可裂项的结构，然后裂项求和；第二，将通项放缩为等比结构（等差比结构）然后错位相减求和，总之，处理的基本原则就是将不可求和放缩成可求和再求和放缩. 当然，下面的这些常见的裂项公式与放缩公式需要注意.

1．常见的裂项公式：

例如：或者等

2.一个重要的指数恒等式：

次方差公式

这样的话，可得：，就放缩出一个等比数列.

3.糖水不等式：设，则.

下面来看上面这些基本的放缩结构的应用.

例4.设数列的前项和为.已知,,.

（1）求的值；

（2）求数列的通项公式；

（3）证明:对一切正整数,有.

解析：（2）当时,,

两式相减得

整理得,即,又

故数列是首项为,公差为的等差数列,所以,所以

.

（3）当时,；当时,；

当时,,此时

，综上,对一切正整数,有

下面我们再看将通项放缩成等比（等差比数列）再求和完成放缩证明.

例5.已知数列满足=1，.

（1）证明是等比数列，并求的通项公式；

（2）证明：.

解析：（1）证明：由得，又，所以是首项为，公比为3的等比数列，，因此的通项公式为

（2）由（1）知，因为当时，，所以

于是.

所以.

注：此处便是利用了重要的恒等式：次方差公式：

当然，利用糖水不等式亦可放缩：，请学生自行尝试.

类型4. 基于递推结构的放缩

1.型：取倒数加配方法.

例6．已知数列满足.记数列的前n项和为，则（    ）

A． B． C． D．

解析：由

，即根据累加法可得，，当且仅当时取等号，.

一方面：. 另一方面，由累乘法可得，当且仅当时取等号，由裂项求和法得：所以

，即．故选：A．

2.二次递推型：.

，然后裂项即可完成放缩

例7.已知数列满足=且=-（）

（1）证明：1（）；

（2）设数列的项和为,证明（）.

分析：，累加，则可证得.

解析：（1）由题意得，即，故.

由得，由得

，即.

（2）由题意得,所以 ①,由和得

所以，因此②

由①②得：.

类型5. 数列中的恒成立

例8．已知数列中，，满足.

（1）求数列的通项公式；

（2）设为数列的前项和，若不等式对任意正整数恒成立，求实数的取值范围.

解析：(1)，

所以是以为首项，公比为的等比数列，

所以，所以.

(2) ，

若对于恒成立，即，

可得即对于任意正整数恒成立，

所以，令，则，

所以，可得，所以，

所以的取值范围为.

类型6. 利用导数产生数列放缩

1.由不等式可得：.

例9.已知函数．

（1）若，求的值；

（2）设为整数，且对于任意正整数，，求的最小值．

解析：（2）由（1）知当时，，令得，从而.

故,而，所以的最小值为3．

2,.两个正数和的对数平均定义：对数平均与算术平均、几何平均的大小关系：

（此式记为对数平均不等式，取等条件：当且仅当时，等号成立.

进一步，在不等式左端结合均值不等式可得：

当时，即.

令，则，所以①.

若再利用

，接下来

令，，可得，

②.

例10．已知函数.

（1）若时，，求的最小值；

（2）设数列的通项，证明：.

解析：（1）综上可知，的最小值时.

（2）由上述不等式①，所以，

，

…，.将以上各不等式左右两边相加得：

，

即，

故，即.

例12．已知函数．

（1）当时，讨论的单调性；

（2）当时，，求的取值范围；

（3）设，证明：．

（3）证明：由上述不等式②，，进一步求和可得：

，

即．