专题29. 新高考数列中的创新类问题（备战2024高考数学-大一轮36个核心专题）

专题29.数列中的计数问题原理与应用

一．基本原理

1.数列中的计数问题的基本形式如下：

记数列落在区间的个数为，讨论数列的性质.

这种问题的关键就是利用数列自变量的计数功能，通过不等式，由于为正整数，从而实现对自变量的计数，当然，这里面需要一丝丝取整背景，需要读者注意.

进一步：目前的题目的计算背景主要分布在去解下面三个不等式：

①．

②．

③．

2.高斯取整函数：

表示实数的整数部分，即是不大于实数的最大整数. ，常称为的“小数部分”或“尾数部分”.

3.高斯函数图像及小数部分图像.

取整函数的图象.                          小数函数：的图象

性质： ①定义域：；                            性质：①定义域：；  

②值域：；                                           ②值域：； 

下面我们通过例子分析.

二．典例分析

例1.在等差数列中，.

（1）求数列的通项公式；

（2）对任意，将数列中落入区间内的项的个数记为，求数列的前项和.

解析：（1）由可得而，则

，，于是，

即.

（2）对任意m∈N﹡，，则，

即，而，故，由题意可知，

于是

，

即.

例2.已知等差数列的前5项和为105，且.

（1）求数列的通项公式；

（2）对任意，将数列中不大于的项的个数记为.求数列的前m项和.

解析：（1）由已知得：解得,所以通项公式为

.

（2）由，得，即.∵，

∴是公比为49的等比数列，∴.

例3．（2020新高考1卷）已知公比大于的等比数列满足．

（1）求的通项公式；

（2）记为在区间中的项的个数，求数列的前项和．

解析：（1）由于数列是公比大于的等比数列，设首项为，公比为，依题意有，解得解得，或(舍)，所以，所以数列的通项公式为.

（2）由题意，，即，当时，．当时，，则

．

例4.（2022新高考1卷）已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且

（1）证明：；

（2）求集合中元素的个数．

解析：（1）设等差数列公差为，由，知，故，由，知，

故；故，整理得，得证．

（2）由（1）知，由知：

即，即，因为，故，解得

故集合中元素的个数为9个．

三．习题演练

1．（2023届温州一模）已知数列是等差数列，，且，，成等比数列．给定，记集合的元素个数为．

（1）求，的值；

（2）求最小自然数n的值，使得．

解析：（1）设数列的公差为，由，，成等比数列，得，

，解得，所以，

时，集合中元素个数为，

时，集合中元素个数为；

（2）由（1）知，

，

时，=2001<2022，时，=4039>2022，

记，显然数列是递增数列，所以所求的最小值是11.

习题2．已知公比大于的等比数列满足．

（1）求的通项公式；

（2）记为在区间中的项的个数，求数列的前项和．

解析：（1）由于数列是公比大于的等比数列，设首项为，公比为，依题意有，解得解得，或(舍)，所以，所以数列的通项公式为.

（2）由题意，，即，当时，．当时，，则

．