专题6. 深度盘点全国卷中构造函数比较大小的四种类型（备战2024高考数学-大一轮36个核心专题）

专题6.构造函数比较大小的四种类型

1.构造相同函数，比较不同函数值

2.构造不同函数，比较相同函数值

这类问题虽然可能几个数的形式不一致，但它们的特别是不同的函数取了相同的函数值，所以实质在比较不同函数差值或者商的性质，当然，这种问题下，如果自变量取值靠近基本初等函数的麦克劳林级数展开点，利用泰勒展开来近似估计绝对是一个很好的方法!

3.构造不同函数，比较不同函数值

这个时候，不等式放缩就是首选之道了！下面的这些不等式放缩需要你的注意.

4.先同构，再构造，再比较

当题干呈现一个较复杂的等式或者不等式关系，并没有前几类那么明显的数字时，往往可能现需要同构（变形）出一个函数之后再来比较大小.

例1．已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ）

A． B．

C． D．

解析：方法1. ，，

由，，可得，

又为上增函数，则，即，故选：B

方法2.设，则，当时，，所以在上递增，在上递减.

由于，，故选.

例2．若，则（       ）

A． B．

C． D．

解析：设，则，当时，，所以在上递增，在上递减，因为，所以，，

因为，所以；故.故选：A.

注：在这里，我们需要特别注意函数在相关比较大小问题中的出镜率，以及结合对数性质，所出现的型等等，比如可以看下例.

例3．设，，，则（       ）

A． B． C． D．

解析：设，，所以在上单调递增，在上单调递减.

而，，，因为，所以．故选：A．

二．构造不同函数，比较相同函数值

这类问题虽然可能几个数的形式不一致，但它们的特别是不同的函数取了相同的函数值，所以实质在比较不同函数差值或者商的性质，当然，这种问题下，如果自变量取值靠近基本初等函数的麦克劳林级数展开点，利用泰勒展开来近似估计绝对是一个很好的方法!

例4．（2022新高考1卷）设，则（    ）

A． B． C． D．

解析：方法1.构造函数，作差（商）比较大小，即讨论差（商）函数的性质.

令，，，

为了方便比较，做如下处理：，；，所以，所以，所以

，，

令，所以，所以，所以，

所以，所以．

方法2.构造函数，利用泰勒展开直接估值.

构造函数.则可以看到：

，由于较小，所以对上述三个函数在处进行二阶泰勒展开：；

；

.

在处，显然，故.

例5．设，，，，则（       ）

A． B． C． D．

解析：

方法1.（构造函数，泰勒展开估计）设，，，，注意到题干实质在比较：

，且考虑到接近于0，故对上述函数在进行泰勒展开

即：，代入到上式，显然易得：，故选：B

方法2.（构造函数，作差比大小）

易得.

设，则令有，故在上单调递增.

①因为，即，故，即，故，即.

②设，则，设，则.

设，则，故为增函数，故，即.

故，当时， 为增函数，故，故当时为增函数，故，故.

③设，，易得当时，故，即.

综上

三．构造不同函数，比较不同函数值

这个时候，不等式放缩就是首选之道了！下面的这些不等式放缩需要你的注意.

1.切线不等式：

高中几个重要的函数都具有凸凹性，这样我们便可通过切线来构造不等式，具体的原理请见《高观点：函数凸凹性》，这里只列举一些重要的切线不等式：

1.1  ；            1.2 ；    

将这两个切线不等式进行合适的取值与加减项，又可得到更多的不等式：

①

②；

③；

2. 高次不等式放缩

2.1 ；            2.2 ；

2.3 ；         2.4 .

3.分式不等式放缩

3.1              3.2   

例6．已知，，，则，，的大小关系为（       ）

A． B． C． D．

解：设，，令，解得.，，单调递减，，，单调递增.所以，即，当且仅当时取等号.所以.又，故，所以；设，，令，解得.

，，单调递增，，，单调递减.

所以，即，当且仅当时取等号.所以，故，又，所以，故.

故选：B.

例7.设，（e是自然对数的底数），则（    ）

A． B．

C． D．

解析：由于，故

所以对也用帕德逼近

，故.

四．先同构，再构造，再比较

当题干呈现一个较复杂的等式或者不等式关系，并没有前几类那么明显的数字时，往往可能现需要同构（变形）出一个函数之后再来比较大小.

例8. 已知且且且，则（    ）

A.  B.  C.  D.

解析：因为，故，同理，令，则，当时，，当时，，

故在为减函数，在为增函数，因为，故，即，而，故，同理，，，因为，故，所以.

故选：D．

例9.已知e为自然对数的底数，a，b均为大于1的实数，若，则（       ）

A． B． C． D．

解析：由，可得，即，

设，可得，因为，可得，又因为，所以，即，

所以，当时，，可得函数在为单调递增函数，所以，即. 故选B.