专题8.全国卷中的隐零点问题（备战2024高考数学-大一轮36个核心专题）

专题8.隐零点代换与估计

隐零点问题是函数零点中常见的问题之一，其源于含指对函数的方程无精确解，这样我们只能得到存在性之后去估计大致的范围（数值计算不再考察之列）.高考中曾多次考察隐零点代换与估计，所以本节我们做一个专门的分析与讨论.

一．基本原理

1.解题步骤：第1步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，列出零点方程，并结合的单调性得到零点的范围；

第2步：以零点为分界点，说明导函数的正负，进而得到的最值表达式；

第3步：将零点方程适当变形，整体代入最值式子进行化简：

①要么消除最值式中的指对项

②要么消除其中的参数项；

从而得到最值式的估计.

2.隐零点的同构

实际上，很多隐零点问题产生的原因就是含有指对项，而这类问题由往往具有同构特征，所以下面我们看到的这两个问题，它的隐零点代换则需要同构才能做出，否则，我们可能很难找到隐零点合适的代换化简方向.我们看下面两例：一类同构式在隐零点问题中的应用：原理分析

所以在解决形如，这些常见的代换都是隐零点中常见的操作.

二．典例分析

1.隐零点代换

例1．已知函数.

（1）当时，若曲线在处的切线方程为，证明：；

（2）若，求的取值范围.

解析：（2）记，依题意，恒成立，

求导得，令，

则在上单调递增，又，

则，使得，即成立，

则当单调递减；当单调递增，

，由，得，

于是得，当时，令，

有在上单调递减，而在上单调递增，即有函数在上单调递减，于是得函数在上单调递减，则当时，，不合题意；

当且时，由（1）中知，，有，从而

，由知，因此满足，又在上单调递增，则有，而，所以实数的取值范围是.

例2．已知函数（e是自然对数的底数）．

（1）当时，试判断在上极值点的个数；

（2）当时，求证：对任意，．

解析：（1）在上只有一个极值点，即唯一极小值点；

（2）证明：由，设，则 在上是增函数，当 时，，因为，所以，所以存在 ，使得，当时，，则，即在上单调递减，当时，，则，即在上单调递增，故 是函数的极小值点，也是最小值点，则 ，又因为，所以，即证：对任意，，

即证：对任意，，设，则在上单调递减，因为，所以 ，故，

故对任意，.

例3.已知函数.

（1）设为的导函数，试讨论的单调性；

（2）证明：存在，使得在区间恒成立，且在内有唯一解.

分析：第（1）问常规操作. 此处分析第（2）问. 对于第二问的分析尤为重要，因为这个题目用常规的恒成立与零点处理手法很难奏效，毕竟的结构是很复杂的.

若要在区间恒成立等价于，而同时在内有唯一解，这就表现，这才是这个题目的突破点.

既然要则在区间必然先减后增，于是函数的最小值不在端点处出现而是区间内点，这就意味着最小值处导函数值为零.基于上面的分析，我们便可入手解题.

解析： 由，得．代入解析式，令

,

则，．故存在，使得．

令，．由知，函数在区间上单调递增．所以 ．即 ．

当时，有，．由(1)知，在区间上单调递增，

故当时，，从而；当时，，从而．所以，当时，．

综上所述，存在，使得在区间内恒成立, 且在区间内有唯一解．

点评：通常我们处理隐零点的策略是代换掉指对项，但此解法利用隐零点代换掉参数，从而得到不含参数的表达式来解决，这个思想值得我们学习.

例4.（2020新高考1卷）已知函数．

（1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积；

（2）若，求的取值范围.

解析：（1）切线方程为,故切线与坐标轴交点坐标分别为,所求三角形面积为.

（2）由于,，且. 设,则即在上单调递增，当时，,∴,∴成立.当时， ，,∴存在唯一，使得，且当时，当时，，，因此

, 故恒成立；

当时， ∴不是恒成立.综上所述，实数的取值范围是.

2.隐零点同构

例5.已知函数（，为自然对数的底数），.

（1）若有两个零点，求实数的取值范围；

（2）当时，对任意的恒成立，求实数的取值范围.

解析：（1）有两个零点关于的方程有两个相异实根，由，知

有两个零点有两个相异实根.令，则，

由得：，由得：，在单调递增，在单调递减，，又，当时，，当时，

当时，，有两个零点时，实数的取值范围为；

（2）当时，，原命题等价于对一切恒成立

对一切恒成立.令     

，，令，，则

，在上单增，又，

，使即①，当时，，当时，，即在递减，在递增，

由①知，函数在单调递增，即，，

实数的取值范围为.

注：本题再次涉及隐零点同构，否则的话，很难找到隐零点具体的代换方向！

例6.已知函数.

（1）当，讨论的单调性；

（2）当时，若恒成立，求的取值范围.

解析：（2）由题意，当时，不等式恒成立.

即恒成立，即恒成立.

设.则.

设，则.当时，有.

在上单调递增，且，.函数有唯一的零点，且.当时，，，单调递减；

当时，，，单调递增.即为在定义域内的最小值..，得，.

令，.方程等价于，.

而在上恒大于零，在上单调递增.故等价于，.设函数，.易知单调递增.

又，，是函数的唯一零点. 即，.

故的最小值.实数b的取值范围为.

注：注意，这一步代换！

3.隐零点的估计.

例7.已知函数，且．

（1）求；

（2）证明：存在唯一的极大值点，且．

解析：（1）．

（2）由（1）知，．设，则．当时，；当时，．所以在单调递减，在单调递增．又，，，所以在有唯一零点，在有唯一零点1，且当时，；当时，；当时，．因此，所以是的唯一极大值点．由得，故．

由得，．因为是在的最大值点，由，得．所以．

例8.（1）讨论函数的单调性，并证明当时，；

（2）证明：当 时，函数 有最小值．设的最小值为，求函数的值域．

解析（1）证明：

∵当时， ∴在上单调递增

∴时， ∴

（2），由（1）知，单调递增，对任意的，，，因此，存在唯一，使得，即.

当时，，,单调递减；当时，，,单调递增．因此在处取得最小值，最小值为

．

于是，由，得单调递增．所以，由，得，因为单调递增，对任意的，存在唯一的，

，使得，所以的值域为．综上，当时，有最小值，的值域为．