专题34.随机游走与马尔科夫过程（备战2024高考数学-大一轮36个核心专题）

专题34.随机游走与马尔科夫过程

一．基本原理

1.转移概率：对于有限状态集合，定义：为从状态到状态的转移概率.

2.马尔可夫链：若，即未来状态只受当前状态的影响，与之前的无关.

3.一维随机游走模型.

设数轴上一个点，它的位置只能位于整点处，在时刻时，位于点，下一个时刻，它将以概率或者（）向左或者向右平移一个单位. 若记状态表示：在时刻该点位于位置，那么由全概率公式可得：

另一方面，由于，代入上式可得：

.

进一步，我们假设在与处各有一个吸收壁，当点到达吸收壁时被吸收，不再游走.于是，.随机游走模型是一个典型的马尔科夫过程.

进一步，若点在某个位置后有三种情况：向左平移一个单位，其概率为，原地不动，其概率为，向右平移一个单位，其概率为，那么根据全概率公式可得：

二．典例分析.

例1.为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X．

（1）求的分布列；

（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则，，，其中，，．假设，．

（i）证明：为等比数列；

（ii）求，并根据的值解释这种试验方案的合理性．

解析：（1）由题意可知所有可能的取值为：，，

；；

则的分布列如下：

（2），

，，

（i）

即

整理可得： 

是以为首项，为公比的等比数列

（ii）由（i）知：

，，……，

作和可得：

表示最终认为甲药更有效的.由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种实验方案合理.

注：1.虽然此时学生未学过全概率公式，但命题人也直接把给出，并没有让考生推导这个递推关系，实际上，由前面的基本原理，我们可以看到，这就是一维随机游走模型.

习题1．足球是一项大众喜爱的运动.2022卡塔尔世界杯揭幕战将在2022年11月21日打响，决赛定于12月18日晚进行，全程为期28天.

校足球队中的甲、乙、丙、丁四名球员将进行传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能的将球传给另外三个人中的任何一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到．记开始传球的人为第1次触球者，第次触球者是甲的概率记为，即．

（1）求（直接写出结果即可）；

（2）证明：数列为等比数列，并判断第19次与第20次触球者是甲的概率的大小．

解析：（1）由题意得：第二次触球者为乙，丙，丁中的一个，第二次触球者传给包括甲的三人中的一人，故传给甲的概率为，故．

（2）第次触球者是甲的概率记为，则当时，第次触球者是甲的概率为，

第次触球者不是甲的概率为，则，

从而，又，是以为首项，公比为的等比数列．

则，∴，，

，故第19次触球者是甲的概率大