专题36.近五年全国卷中的创新题汇编（备战2024高考数学-大一轮36个核心专题）

专题36.全国卷中的创新题与命题背景汇编

1.二进制问题

一．重要结论

1.定义：设整数，则每个正整数可唯一表示为，其中满足，，则称为正整数的进制表示中的数码. 特别地，当时就可得到正整数的二进制表示.

2.二进制的运算性质.

（1）若，则称为正整数的进制表示中的数码和，显然.

证明：由于，则，显然可得

.

（2）二进制的加法运算：“逢二进一”. 待会通过例题予以分析.

（3），其中正整数的二进制展开式中最高次数小于.

证明：由于，则，另一方面，令

，则.

例如：写出的二进制表示.

解析：由于，故.

注：可以看到，一个正整数的二进制表示其实就是以为底的幂级数展开的系数.

二．典例分析.

例.（2021新高考2卷）设正整数，其中，记，则（   ）

A.                    B.

C.             D.

解析：由上述性质（1），A正确.

由于，则

，

故，则B错误.同理可证，C正确.

最后，由于，故，D正确.

2.分支过程与灭绝概率

一．概率母函数[1]

1.设是非负整数值的离散型随机变量，其概率分布列为，则定义幂级数，称为随机变量的概率母函数.

2.主要性质[1]：

（1）随机变量的概率分布由它的母函数唯一确定.即：

（2）.

二．分支过程[1]

设最初有个物种，每隔一单位时间，一个物种可以分裂成个物种，设其对应的概率为.

假设这些物种分裂是相互独立且具有相同的分布，令表示在时刻存在的第个物种在下一时刻（第时刻）分裂成的物种个数，表示时刻中总物种的个数，则

下图说明具体的分裂过程：

三．分支过程的母函数[1]

分支过程任一代的任意一个个体繁衍概率母函数均为：.

四．灭绝概率：分支过程的灭绝概率是方程的最小正根.

注：由四可知，关于该物种分裂的灭绝概率研究等价于去研究方程的最小正根.

五．典例分析

例（2021新高考2卷）一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，．

（1）已知，求；

（2）设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：的一个最小正实根，求证：当时，，当时，；

（3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义．

解析：（1）.

（2）设，因为，故，若，则，故.

，因为，，故有两个不同零点，且，

且时，；时，；

故在，上为增函数，在上为减函数，

若，因为在为增函数且，

而当时，因为在上为减函数，故，

故为的一个最小正实根，

若，因为且在上为减函数，故1为的一个最小正实根，综上，若，则.

若，则，故.

此时，，故有两个不同零点，且，且时，；时，；

故在，上为增函数，在上为减函数，而，故，

又，故在存在一个零点，且.所以为的一个最小正实根，此时，故当时，.

（3）意义：每一个该种微生物繁殖后代的平均数不超过1，则若干代必然灭绝，若繁殖后代的平均数超过1，则若干代后被灭绝的概率小于1.

注1.此题实际就是分支过程的经典应用.

注2.在最多分裂三个的情况下，，若使得，明显让越大，就越大，物种的灭绝概率就会小于1，持续生存下去，这可能就是生二胎，生三胎的一个最直观的解释！

3.数阵问题

一．重要结论

性质1. 显然，第一行一个数，第二行两个数，以此类推，第行有个数，这样的话，前行一共有个数.

性质2.记表示第行的前个数之和，则.

性质3.记表示前行所有数之和，则.

性质4.三角数阵的前项和.设存在整数，使得：，进一步，记，则三角数阵的前项和.

二．典例分析

例.几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件，为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动，这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列，其中第一项是，接下来两项是，再下来三项是，以此类推，求满足如下条件的最小整数，且该数列的前项和为的整数幂.那么该款软件的激活码是（        ）

解析：由题意得，数列如下：

，则该数列的前项和为：，要使，有，此时，所以是第组等比数列的部分和，设，所以，则，此时，

所以对应满足条件的最小整数，故选A.

4．全概率公式与随机游走

1.转移概率：对于有限状态集合，定义：为从状态到状态的转移概率.

2.马尔可夫链：若，即未来状态只受当前状态的影响，与之前的无关.

3.完备事件组：如果样本空间中一组事件组符合下列两个条件：

（1）；

（2）.

则称是的一个完备事件组，也称是的一个分割.

4.全概率公式： 设是一个完备事件组，则有

二．典例分析.

例.为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X．

（1）求的分布列；

（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则，，，其中，，．假设，．

（i）证明：为等比数列；

（ii）求，并根据的值解释这种试验方案的合理性．

解析：（1）由题意可知所有可能的取值为：，，

；；

则的分布列如下：

（2），

，，

（i）

即

整理可得： 

是以为首项，为公比的等比数列

（ii）由（i）知：

，，……，

作和可得：

表示最终认为甲药更有效的.由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种实验方案合理.

5.卡特兰数

卡塔兰数：

例1. 已知，并且满足，，求有序数组的个数.

解：依题，中共有个，个，先不考虑记为（*）式，则共有种，接下来考虑排除法，若不符合（*）式，则一定存在一个的自然数，使得：

，现将全部改变符号，即有：

，对应后则有个，个，反之，对任一个个，个组成的有序数组，其必然存在一个最小的自然数，满足.

作对应，显然，与互为逆映射，从而不满足（*）式的个数，就是由个，个组成的有序数组的个数，从而.

点评：卡塔兰数在组合数学中常出现在各种计数问题中，其前几项为，其满足 或.

例2.定义“规范01数列”如下：共有项，其中项为，项为，且对任意，中0的个数不少于1的个数. 若，则则不同的“规范01数列”共有（  ）

A.18个     B.16个     C.14个    D.12个

解析：显然，此题考查卡特兰数.

6.高斯取整函数

表示实数的整数部分，即是不大于实数的最大整数. ，常称为的“小数部分”或“尾数部分”.

2.高斯函数图像及小数部分图像.

取整函数的图象.                          小数函数：的图象

性质： ①定义域：；                            性质：①定义域：；  

②值域：；                                 ②值域：； 

③图象：台阶型线段.                              ③周期性：.

例2.为等差数列的前项和，且记，其中表示不超过的最大整数，如．

（1）求；（2）求数列的前1 000项和．

解：（1）设的公差为，据已知有，解得．

所以数列的通项公式为．

，，．

（2）因为

所以数列的前项和为．