初中数学人教版九年级上册21.1 一元二次方程复习练习题

这是一份初中数学人教版九年级上册21.1 一元二次方程复习练习题，共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第21章一元二次方程培优卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．2023年12月29日，贵阳轨道交通2号线实现试运行，从白云区到观山湖区轨道公司共设计了132种往返车票，则这段线路有多少个站点？设这段线路有x个站点，根据题意，下面列出的方程正确的是（   ）
A． B．
C． D．
2．三角形的两边长分别为4和5，第三边长是方程的解，则这个三角形的周长是（     ）
A．10 B．12 C．13 D．10或13
3．已知方程x2-x+2m=0有两个实数根，则的化简结果是（  ）
A．m-1 B．m+1 C．1-m D．±（m-1）
4．一件商品的原价是100元，经过两次提价后的价格为121元，如果每次提价的百分率都是x，根据题意，下面列出的方程正确的是（     ）
A．100(1+x)=121 B．100(1-x)=121 C．100(1+x)2=121 D．100(1-x)2=121
5．下列方程中，没有实数根的是（   ）
A．x2-x-1=0 B．x2+1=0 C．-x2+x+2=0 D．x2=-3x
6．方程x2-9x+18=0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（ ）
A．12 B．15 C．12或15 D．17或11
7．已知关于的方程 有且仅有两个不相等的实根，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C．或a>0 D．或a>0
8．设α、β是方程 的两个实数根，则 的值为（ ）
A．－2014 B．2014 C．2013 D．－2013
9．如图，在平行四边形中，于且是一元二次方程的根，则平行四边形的周长为（  ）

A． B． C． D．或
10．设x1，x2是方程x2+3x-3=0的两个实数根，则x12+x22的值为（　　）
A．3 B．9 C． D．15

二、填空题
11．一元二次方程x2+3x+1＝0的两根分别为x1、x2，则x1+x2+x1x2＝ ．
12．若一个三角形的两边长分别为2和3，第三边长是方程的一个根，则这个三角形的周长是 .
13．关于x的方程有实数根，则a的取值范围为 ．
14．已知a，b，c是△ABC的三边长，若方程有两个相等的实数根，则△ABC是 三角形．
15．若关于x的方程x2-x+sinα=0有两个相等的实数根，则锐角α的度数为 ．
16．若关于x的一元二次方程（m+3）x2+5x+m2+2m-3=0有一个根为0，则m= ，另一根为 ．
17．对于一切不小于2的自然数n，关于x的一元二次方程x2﹣（n+2）x﹣2n2=0的两个根记作an，bn（n≥2），= ．
18．二次函数图象轴上方的部分沿轴翻折到轴下方，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象轴下方的部分组成一个“”形状的新图象，若直线与该新图象有两个公共点，则的取值范围为 ．

三、解答题
19．选用适当的方法，解下列方程：
(1)
(2)(2x+3) 2=4 (2x+3) ．
20．x2﹣2x﹣15=0．（公式法）
21．解关于y的方程：by2﹣1＝y2+2．
22．定义新运算，对干任意实数．都有．例如：．若的值小于．请判断方程：的根的情况．
23．已知关于x的方程x2－(2k－1)x＋k2－2k＋2＝0有两个不相等的实数根．
(1)求实数k的取值范围．
(2)设方程的两个实数根分别为x1，x2，是否存在这样的实数k，使得|x1|－|x2|＝成立？若存在，求出这样的k值；若不存在，请说明理由．
24．关于x的方程（m2-8m+19）x2-2mx-13=0是否一定是一元二次方程？请证明你的结论．
25．如图1，在△ABC的外接圆⊙O中，AB=5是⊙O的直径，CD⊥AB， 垂足为D，且CD=2，E为弧AB 的中点．连接CE交AB于点P ，其中AD>BD ．

（1）连接OE ，求证：OE⊥AB；
（2）若线段AD与BD的长分别是关于x的方程x2－（m+2）x+n－1=0的两个根，求m，n的值；
（3）如图2，过P点作直线l分别交射线CA，CB（点C除外）于点M，N， 则 的值是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

参考答案：
1．B
【分析】利用列方程解应用题，仔细阅读试题，找出等量关系为：站点数×每站票数（比站点数少1）=总票数，列方程即可．
【详解】设这段线路有x个站点，每个站点售其它各站一张往返车票，共有(x-1)张票，
根据题意，列方程得．
故选择：B．
【点睛】本题考查列方程解应用题，掌握列方程解应用题的方法，抓住等量关系站点数×每站票数（比站点数少1）=总票数是解决问题的关键．
2．C
【详解】由方程，
可得x-4=0，x-1=0，
解得x1=4，x2=1，
然后根据三角形的三边关系定理得，第三边是4，
因此三角形的周长为4+4+5=13．
3．C
【分析】关于x的方程x2-x+2m=0有两个实数根，即判别式△=b2-4ac≥0．即可得到关于m的不等式，从而求得m的范围，代入即可得到结果．
【详解】解：∵x2-x+2m=0有两个实数根，
∴△=b2-4ac=8－8m≥0
∴m≤1，
∴=|m-1|=1-m，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式的化简，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根（3）△＜0⇔方程没有实数根．
4．C
【详解】由题意，可列方程为：100(1+x)2=121，
故答案为：C
5．B
【分析】分别计算每个方程根的判别式的值，从而得出答案．
【详解】A、因为△=（-1)2-4×1×（-1)=5＞0，则此方程有两个不相等的实数根，所以A选项不符合题意；
B、因为△=02-4×1×1=-4＜0，则此方程没有实数根，所以B选项符合题意；
C、因为△=12-4×（-1)×2=9＞0，则此方程有两个不相等的实数根，所以C选项不符合题意；
D、方程变形为x2+3x=0，因为△=32-4×1×0=9＞0，则此方程有两个不相等的实数根，所以D选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查根的判别式，一元二次方程的根与△有如下关系：①当△时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△时，方程有两个相等的两个实数根；③当△时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．
6．B
【分析】先利用因式分解的方程求出一元二次方程的两个根，然后分别讨论两个根为底边时能否构成三角形，最后求解即可.
【详解】解：∵x2-9x+18=0，
∴（x-3）（x-6）=0
解得：x1=6，x2=3
∵当底为6，腰为3时，由于3+3=6，不符合三角形三边关系
∴等腰三角形的腰为6，底为3
∴周长为6+6+3=15
故选B．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程和构成三角形的条件，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
7．C
【详解】解：原方程变形为，这是一个以为未知数的一元二次方程．
当|x-3|0．
综合上面两种情况，a的取值范围是a>0或者a=-2．
8．D
【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到x2+x+2012=0，即α2+α=-2012，则α2+2α+可化为α2+α+α+β=-2012+α+β，然后利用根与系数的关系得到α+β=-1，再利用整体代入的方法计算即可．
【详解】∵α是方程x2+x+2012=0的根，
∴α2+α+2012=0，即α2+α=-2012，
∴α2+2α+β=α2+α+α+β=-2012+α+β，
∵α，β是方程x2+x+2012=0的两个实数根，
∴α+β=-1，
∴α2+2α+β=-2012-1=-2013．
故选D．
【点睛】考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=．
9．A
【分析】先解一元二次方程求出a的值，从而可得，再利用勾股定理可得，然后根据平行四边形的周长公式即可得．
【详解】，
，
解得或，
是一元二次方程的根，且，
，
，
，
，
，
则平行四边形的周长为，
故选：A．
【点睛】本题考查了解一元二次方程、勾股定理、平行四边形的性质等知识点，正确解方程是解题关键．
10．D
【分析】利用根与系数的关系求出两根之积与两根之和，将所求式子利用完全平方公式变形后，代入即可求出值．
【详解】∵x1，x2是一元二次方程x2+3x-3=0的两个实数根，
∴x1+x2=-3，x1x2=-3，
则x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=9+6=15．
故答案为D．
【点睛】本题考查的知识点是一元二次方程根与系数的关系，解题关键是熟记一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），当b2-4ac≥0时，方程有解，设两根分别为x1，x2，则有．
11．-2
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系： 代入计算即可．
【详解】解：根据根据一元二次方程根与系数的关系代入：
∴
故答案为：-2．
【点睛】本题考查根据一元二次方程根与系数的关系，掌握相关公式是解题关键．
12．
【分析】解方程，求出第三边的长度，即可求出三角形的周长.
【详解】,

或
解得：（舍去），
第三边的长为：，
三角形的周长为：
故答案为
【点睛】考查一元二次方程的解法-因式分解法，三角形的周长，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键.
13．
【分析】由于方程有实数根，则根的判别式△，由此建立关于a的不等式，解不等式即可求出a的取值范围．
【详解】∵方程有两个不相等的实数根，
∴△=b2−4ac=
=，
∴.
故填空答案：.
【点睛】本题考查根的判别式，解题的关键是掌握根的判别式.
14．直角
【分析】根据方程有两个相等实数根，即可得到Δ=b2－4ac=0即（2b）2－4（a－c）（a+c）=0，然后利用勾股定理的逆定理判定即可.
【详解】解：∵方程有两个相等的实数根，
∴Δ=b2－4ac=0，
∴（2b）2－4（a－c）（a+c）=0，整理可得a2=b2+c2，
所以△ABC是直角三角形.
故答案为：直角
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和勾股定理的逆定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
15．30°/30度
【详解】解：∵关于x的方程有两个相等的实数根，
∴
解得：  
∴锐角α的度数为30°．
故答案为∶30°
16． 1
【分析】先把代入方程求出的值，再把的值代入方程求解即可．
【详解】把代入方程得：，
解得：或-3
∵，
∴
当时，原方程为：，
解得：，，
方程的另一根为．
故m的值是1，方程的另一根是．
故答案为：1，．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根和因式分解法解一元二次方程，注意．
17．
【分析】由根与系数的关系得an+bn=n+2，an•bn=-2n2，所以（an-2）（bn-2）=anbn-2（an+bn）+4=-2n2-2（n+2）+4=-2n（n+1），则，然后代入即可求解．
【详解】解：由根与系数的关系得an+bn=n+2，an•bn=-2n2，
所以（an-2）（bn-2）=anbn-2（an+bn）+4=-2n2-2（n+2）+4=-2n（n+1），
则

=
=
=
故答案为：
【点睛】本题考查了根与系数的关系，难度较大，关键是根据根与系数的关系求出一般形式再进行代入求值．
18．或
【分析】画出图象求出直线经过点A和原点时的b的值，结合图象可以确定b的范围，再求出直线与翻折后的抛物线只有一个交点时的b的值，可以利用方程组只有一组解△=0解决问题，由此再确定b的取值范围．
【详解】解：如图，

当直线经过点A(−2，0)时，b=1，
当直线经过点O(0，0)时，b=0，
∴0