2024届人教A版高考数学一轮复习第2章函数第3节函数的奇偶性与周期性课件

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考试要求：1．了解函数的奇偶性的概念及几何意义．2．结合三角函数，了解函数的周期性、对称性及其几何意义．
必备知识·回顾教材重“四基”
一、教材概念·结论·性质重现1．函数的奇偶性的定义
2．函数图象的对称性(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称．
3．函数的周期性(1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝_______，那么函数f(x)就叫做周期函数．非零常数__就叫做这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个_____的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期(若不加特别说明，T一般都是指最小正周期)．
4．对称性与周期的关系(1)若函数f(x)的图象关于直线x＝a和直线x＝b对称，则函数f(x)必为周期函数，2|a－b|是它的一个周期．(2)若函数f(x)的图象关于点(a，0)和点(b，0)对称，则函数f(x)必为周期函数，2|a－b|是它的一个周期．(3)若函数f(x)的图象关于点(a，0)和直线x＝b对称，则函数f(x)必为周期函数，4|a－b|是它的一个周期．
周期函数定义的实质存在一个非零常数T，使f(x＋T)＝f(x)为恒等式，即自变量x每增加一个T后，函数值就会重复出现一次．
二、基本技能·思想·活动经验1．判断下列说法的正误，对的画“√”，错的画“×”．(1)若函数f(x)为奇函数，则一定有f(0)＝0.(　　)(2)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称．(　　)(3)如果函数f(x)，g(x)是定义域相同的偶函数，那么F(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数．(　　)(4)若T为y＝f(x)的一个周期，则nT(n∈Z)是函数f(x)的周期．(　　)
5．(多选题)已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是(　　)A．y＝f(|x|)B．y＝f(－x)C．y＝xf(x)D．y＝f(x)＋xBD　解析：由奇函数的定义f(－x)＝－f(x)验证．对于选项A，f(|－x|)＝f(|x|)，为偶函数；对于选项B，f(－(－x))＝f(x)＝－f(－x)，为奇函数；对于选项C，－xf(－x)＝－x·[－f(x)]＝xf(x)，为偶函数；对于选项D，f(－x)＋(－x)＝－[f(x)＋x]，为奇函数．故选BD.
关键能力·研析考点强“四翼”
考点1　函数的奇偶性——基础性
考点2　函数的周期性——综合性
考点3　函数性质的综合应用——应用性
1．(多选题)若函数f(x)(x∈R)是奇函数，函数g(x)(x∈R)是偶函数，则下列结论中正确的是(　　)A．函数f(g(x))是偶函数B．函数g(f(x))是偶函数C．函数f(x)·g(x)是奇函数D．函数f(x)＋g(x)是奇函数
ABC　解析：对于选项A，f(g(x))是偶函数，A正确；对于选项B，g(f(x))是偶函数，B正确；对于选项C，设h(x)＝f(x)g(x)，h(－x)＝f(－x)g(－x)＝－f(x)·g(x)＝－h(x)是奇函数；对于选项D，f(x)＋g(x)不一定具备奇偶性．故选ABC.
2．设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝ex－1，则当xaD．a>c>bD　解析：因为偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)的周期为2.所以a＝f(－2.8)＝f(－0.8)，b＝f(－1.6)＝f(0.4)＝f(－0.4)，c＝f(0.5)＝f(－0.5)．因为－0.8b.故选D.
1．解决这类问题一定要充分利用数形结合思想，使问题变得直观、形象，进而顺利求解．2．在解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一个区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题．
1．已知函数f(x)的图象关于原点对称，且周期为4.若f(－2)＝2，则f(2 022)＝(　　)A．2B．0C．－2D．－4C　解析：因为函数f(x)的图象关于原点对称，且周期为4，所以f(x)为奇函数，所以f(2 022)＝f(505×4＋2)＝f(2)＝－f(－2)＝－2.故选C.
2．定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋3)＝f(x)．若f(2)>1，f(7)＝a，则实数a的取值范围为(　　)A．(－∞，－3)B．(3，＋∞)C．(－∞，－1)D．(1，＋∞)D　解析：因为f(x＋3)＝f(x)，所以f(x)是定义在R上的以3为周期的函数，所以f(7)＝f(7－9)＝f(－2)．又因为函数f(x)是偶函数，所以f(－2)＝f(2)，所以f(7)＝f(2)>1，所以a>1，即a∈(1，＋∞)．故选D.
3．已知奇函数f(x)的图象关于直线x＝3对称，当x∈[0，3]时，f(x)＝－x，则f(－16)＝_________．2　解析：根据题意，函数f(x)的图象关于直线x＝3对称，则有f(x)＝f(6－x)．又函数f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x)，所以f(x)＝－f(6－x)＝f(x－12)．所以f(x)的最小正周期是12.故f(－16)＝f(－4)＝－f(4)＝－f(2)＝－(－2)＝2.