初中数学人教版九年级上册22.1.4 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质导学案及答案

这是一份初中数学人教版九年级上册22.1.4 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质导学案及答案，文件包含第06讲二次函数yax2+bx+c的图象和性质知识解读+真题演练+课后巩固原卷版docx、第06讲二次函数yax2+bx+c的图象和性质知识解读+真题演练+课后巩固解析版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共44页， 欢迎下载使用。

第06讲 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质

1.会用配方法将二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c化成顶点式y=a(x-h)2+k，从而确定顶点坐标、对称轴.
2.掌握二次函数y=a(x-h)2+k (a ≠0)的图象的性质并会应用.
3.会利用二次函数的对称性画出二次函数的图象.
4. 掌握二次函数字母系数与图象的关系.

知识点1 二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）与y=a（x-h)²+k之间的相互关系

1. 顶点式化成一般式
2. 从函数解析式我们可以直接得到抛物线的顶点(h，k)，所以我们称为顶点式，将顶点式去括号，合并同类项就可化成一般式．
3. 一般式化成顶点式

．
对照，可知，．
∴ 抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是．
知识点2 二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）图象的画法
1.一般方法：列表、描点、连线；
2.简易画法：五点定形法.
其步骤为：
(1)先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴．
(2)求抛物线与坐标轴的交点，当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A、B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C关于对称轴的对称点D，将A、B、C、D及M这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来．
注意：当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D，由C、M、D三点可粗略地画出二次函数图象的草图；如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A、B，然后顺次用平滑曲线连结五点，画出二次函数的图象，

知识点3 二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图像和性质
函数
二次函数（a、b、c为常数，a≠0）
图象




开口方向
向上
向下
对称轴
直线
直线
顶点坐标


增减性
在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增
在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减
最大(小)值
抛物线有最低点，当时，y有最小值，
抛物线有最高点，当时，y有最大值，

知识点4 二次函数图象和性质
a、b、c及b2-4ac的符号之间的关系
项目
字母
字母的符号
图象的特征
a
a＞0
开口向上
a＜0
开口向下
b
ab＞0(a，b同号)
对称轴在y轴左侧
ab＜0(a，b异号)
对称轴在y轴右侧
c
c=0
图象过原点
c＞0
与y轴正半轴相交
c＜0
与y轴负半轴相交
b2-4ac
b2-4ac=0
与x轴有唯一交点
b2-4ac＞0
与x轴有两个交点
b2-4ac＜0
与x轴没有交点


【题型1：二次函数的y=ax2+bx+c顶点、对称轴与最值问题】
【典例1】（2022秋•郊区期末）抛物线y＝﹣4x2+3的开口方向和顶点坐标分别是（　　）
A．向上，（﹣4，3） B．向下，（﹣4，3）
C．向下，（0，3） D．向上，（0，3）
【答案】C
【解答】解：抛物线y＝﹣4x2+3的开口向下，顶点坐标是（0，3）．
故选：C
【变式1-1】（2022秋•镇海区期末）抛物线y＝﹣3x2+6x﹣1的对称轴是（　　）
A．直线x＝2 B．直线x＝1 C．直线x＝﹣2 D．直线x＝﹣1
【答案】B
【解答】解：∵y＝﹣3x2+6x﹣1，
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1，
故选：B．
【变式1-2】（2022秋•厦门期末）点A（0，5），B（4，5）是抛物线y＝ax2+bx+c上的两点，则该抛物线的顶点可能是（　　）
A．（2，5） B．（2，4） C．（5，2） D．（4，2）
【答案】B
【解答】解：∵点A（0，5），B（4，5）的纵坐标相等，
∴点A（0，5），B（4，5）关于对称轴对称，
∴对称轴为直线x＝＝2，
即直线x＝2，
∵抛物线的顶点在对称轴上，
∴顶点的纵坐标不等于5．
故选：B．
【题型2: 二次函数y=ax2+bx+c图像变换问题】
【典例2】（2023•纳溪区模拟）把函数y＝x2﹣2x+3的图象向左平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为（　　）
A．y＝x2+2B．y＝（x﹣1）2+1C．y＝（x﹣2）2+2D．y＝（x﹣1）2﹣3
【答案】A
【解答】解：∵y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，
∴把函数y＝x2﹣2x+3的图象向左平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为：y＝（x﹣1+1）2+2，即y＝x2+2．
故选：A．
【变式2-1】（2023•纳溪区模拟）把函数y＝x2﹣2x+3的图象向左平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为（　　）
A．y＝x2+2 B．y＝（x﹣1）2+1 C．y＝（x﹣2）2+2 D．y＝（x﹣1）2﹣3
【答案】A
【解答】解：∵y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，
∴把函数y＝x2﹣2x+3的图象向左平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为：y＝（x﹣1+1）2+2，即y＝x2+2．
故选：A．
【变式2-2】（2022•泸州）抛物线y＝﹣x2+x+1经平移后，不可能得到的抛物线是（　　）
A．y＝﹣x2+x B．y＝﹣x2﹣4
C．y＝﹣x2+2021x﹣2022 D．y＝﹣x2+x+1
【答案】D
【解答】解：∵将抛物线y＝﹣x2+x+1经过平移后开口方向不变，开口大小也不变，
∴抛物线y＝﹣x2+x+1经过平移后不可能得到的抛物线是y＝﹣x2+x+1．
故选：D．
【变式2-3】（2023•神木市一模）把抛物线y＝x2+bx+c向右平移4个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线y＝x2﹣4x+3，则b、c的值分别为 （　　）
A．b＝﹣12，c＝32B．b＝4，c＝﹣3 C．b＝0，c＝6 D．b＝4，c＝6
【答案】D
【解答】解：将抛物线y＝x2﹣4x+3化成顶点式为y＝（x﹣2）2﹣1，
将抛物线y＝x2﹣4x+3向左平移4个单位，再向上平移3个单位得新抛物线解析式为y＝（x﹣2+4）2﹣1+3，
即y＝x2+4x+6，
即抛物线y＝x2+bx+c的解析式为y＝x2+4x+6，
∴b＝4，c＝6，
故选：D．
【题型3： 二次函数y=ax2+bx+c的性质】
【典例3】（2023•成都模拟）下列关于抛物线y＝x2+4x﹣5的说法正确的是（　　）
①开口方向向上；
②对称轴是直线x＝﹣4；
③当x＜﹣2时，y随x的增大而减小；
④当x＜﹣5或x＞1时，y＞0．
A．①③ B．①④ C．①③④ D．①②③④
【答案】C
【解答】解：∵y＝x2+4x﹣5＝（x+2）2﹣9，a＝1＞0，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣2，当x＜﹣2时，y随x的增大而减小；
故①正确，②错误，③正确；
令y＝0，即x2+4x﹣5＝0，
解得：x1＝1，x2＝﹣5，
∴抛物线开口向上，与x轴交于（1，0），（﹣5，0），
∴当x＜﹣5或x＞1时，y＞0，
故④正确，
综上所述，正确的有：①③④，
故选：C．
【变式3-1】（2022秋•绵阳期末）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）中，y与x的部分对应值如表：
x
…
1
3
4
6
…
y
…
8
18
20
18
…
下列结论中，正确的是（　　）
A．抛物线开口向上
B．对称轴是直线x＝4
C．当x＞4时，y随x的增大而减小
D．当x＜4.5时，y随x的增大而增大
【答案】D
【解答】解：由图可知，x＝3和x＝6时对应的函数值相等，
∴抛物线的对称轴为直线，此时抛物线有最大值，
∴抛物线开口向下，故选项A、B错误，
∴当x＜4.5时，y随x的增大而增大；当x＞4.5时，y随x的增大而减小，
故选项C错误，选项D正确，
故选：D．
【变式3-2】（2022秋•金水区期末）关于二次函数y＝x2+4x﹣1，下列说法不正确的是（　　）
A．图象与y轴的交点坐标为（0，﹣1）
B．图象的对称轴在y轴的左侧
C．图象的顶点坐标为（﹣2，﹣5）
D．当x＜2时，y的值随x值的增大而减小
【答案】D
【解答】解：∵y＝x2+4x﹣1＝（x+2）2﹣5，
∴当x＝0时，y＝﹣1，
故选项A正确；
该函数的对称轴是直线x＝﹣2，
故B选项正确；
函数的顶点坐标为（﹣2，﹣5），
故C选项正确；
当﹣2＜x＜2时，y随x的增大而增大，当x＜﹣2时，y随x的增大而减小，
故选项D错误．
故选：D．
【变式3-3】（2023•秦都区校级模拟）已知抛物线y＝ax2+bx+c上的部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表：
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
3

﹣1
m
3
…
以下结论错误的是（　　）
A．抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（1，﹣1）
B．当x＞1时，y随x增大而增大
C．方程ax2+bx+c＝0的根为0和2
D．当y＞0时，x的取值范围是0＜x＜2
【答案】D
【解答】解：将（﹣1，3），（3，3），（1，﹣1）代入y＝ax2+bx+c得：，
解得：，
∴y＝x2﹣2x，
A．∵a＝1，
∴抛物线开口向上，顶点（1，﹣1），
故A正确，不符合题意；
B．∵图象对称轴为直线x＝1，且开口向上，
∴x＞1时，y随x增大而增大，
故B正确，不符合题意；
C．∵y＝x2﹣2x＝x（x﹣2），
∴当x＝0或x＝2时y＝0，
故C正确，不符合题意；
D．∵抛物线开口向上，与x轴交点坐标为（0，0），（2，0），
∴x＜0或x＞2时，y＞0，
故D错误，符合题意；
故选：D．
【题型4:二次函数y=ax2+bx+c的y值大小比较】
【典例4】（2023•汉中二模）二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）的图象经过A（﹣4，y1），B（﹣2，y2），C（3，y3），D（5，y4）四个点，y2＜0，y4＞0，则下列结论正确的是（　　）
A．y3y4＞0 B．y2y3＜0 C．y1y2＜0 D．y1y3＞0
【答案】C
【解答】解：∵二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）的对称轴为直线x＝﹣＝1，且开口向上，
∴点B（﹣2，y2）与点（4，y2）关于对称轴对称，点D（5，y4）与点（﹣3，y4）关于对称轴对称，
∵y2＜0，y4＞0，
∵A（﹣4，y1）在点（﹣3，y4）左侧，
∴y1＞0，
∵C（3，y3）在点（4，y2）的左侧，
∴y3＜0，
∴y3y4＜0，故A错误；
y2y3＞0，故B错误；
y1y2＜0，故C正确；
y1y3＜0，故D错误．
故选：C．
【变式4-1】（2023•宜州区二模）P1（﹣2，y1），P2（﹣1，y2），P3（3，y3）均在二次函数y＝x2+2x﹣3的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＞y3＞y2 B．y1＝y2＞y1 C．y3＞y1＞y2 D．y1＞y2＞y3
【答案】C
【解答】解：∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣1，
∵a＝1＞0，
∴x＜﹣1时，y随x的增大而减小，
∵P3（3，y3）的对称点为（﹣5，y3），且﹣5＜﹣2＜﹣1，
∴y3＞y1＞y2．
故选：C．
【变式4-2】（2023•邯郸模拟）已知点A（n﹣2，y1），B（n，y2）在二次函数的y＝﹣x2+2x+3图象上，若y1＜y2，则n的取值范围为（　　）
A．n≤1 B．n＜2 C．1＜n＜2 D．n＞2
【答案】B
【解答】解：∵点A（n﹣2，y1），B（n，y2）在二次函数的y＝﹣x2+2x+3图象上，且y1＜y2，
∴﹣n2+2n+3＞﹣（n﹣2）2+2（n﹣2）+3，
化简整理得，4n﹣8＜0，
∴n＜2，
∴n的取值范围是n＜2，
故选：B．
【变式4-3】（2023•洞头区二模）已知（﹣1，y1），（2，y2），（4，y3）是抛物线y＝﹣x2+4x+c上的点，则（　　）
A．y3＜y2＜y1 B．y3＜y1＜y2 C．y2＜y3＜y1 D．y1＜y3＜y2
【答案】D
【解答】解：∵抛物线y＝﹣x2﹣4x+a，
∴图象开口向下，对称轴是直线x＝＝2，
当x＞2时，y随x的增大而减小，
∵（﹣1，y1），（2，y2），（4，y3）是抛物线y＝﹣x2﹣4x+a上的点，
∴点（﹣1，y1）关于对称轴x＝2的对称点是（5，y4），
∴y1＝y4，
∵2＜4＜5，
∴y2＞y3＞y4，
即y2＞y3＞y1，
故选：D．
【变式4-4】（2023•南岗区模拟）已知（﹣3，y1），（﹣2，y2）是抛物线y＝﹣x2﹣4x+1上的点，则（　　）
A．y2＜y1 B．y1＜y2 C．y1＝y2 D．y1≤y2
【答案】B
【解答】解：∵抛物线y＝﹣x2﹣4x+1，
∴图象开口向下，对称轴是直线x＝﹣＝﹣2，当x＜﹣2时，y随x的增大而增大，
∵（﹣3，y1），（﹣2，y2）是抛物线y＝﹣x2﹣4x+1上的点，﹣3＜﹣2，
∴y1＜y2，
故选：B．
【题型5:二次函数y=ax2+bx+c的最值问题探究】
【典例5】（2022秋•江门校级期末）已知二次函数y＝mx2﹣2mx+2（m≠0）在﹣2≤x≤2时有最小值﹣2，则m＝（　　）
A．﹣4或﹣ B．4或﹣ C．﹣4或 D．4或
【答案】B
【解答】解：∵二次函数解析式为y＝mx2﹣2mx+2（m≠0），
∴二次函数对称轴为直线，
当m＞0时，
∵在﹣2≤x≤2时有最小值﹣2，
∴当x＝1时，y＝m﹣2m+2＝﹣2，
∴m＝4；
当m＜0时，
∵在﹣2≤x≤2时有最小值﹣2，
∴当x＝﹣2时，y＝4m+4m+2＝﹣2，
∴m＝﹣；
综上所述，m＝4或m＝﹣，
故选：B．
【变式5-1】（2023•山丹县模拟）二次函数y＝2x2﹣8x﹣2的最小值是（　　）
A．﹣2 B．﹣10 C．﹣6 D．6
【答案】B
【解答】解：∵二次函数y＝2x2﹣8x﹣2可化为y＝2（x﹣2）2﹣10，
∴二次函数y＝2x2﹣8x﹣2的最小值是﹣10；
故选：B．
【变式5-2】（2022秋•江阳区期末）若函数y＝x2﹣2x+1在a≤x≤a+2上的最小值为4，则实数a的值为（　　）
A．﹣3或3 B．﹣1或1 C．0或2 D．2或4
【答案】A
【解答】解：∵函数y＝x2﹣2x+1在a≤x≤a+2上的最小值为4，
∴令y＝4，
解得：x＝﹣1或x＝3，
∵1＞0，
∴函数图象开口向上，
∴a+2＝﹣1或a＝3，
∴a＝﹣3或a＝3．
故选：A．
【变式5-3】（2022秋•盐山县校级期末）当y＝x2﹣6x﹣3的值最小时，x的取值是（　　）
A．0 B．﹣3 C．3 D．﹣9
【答案】C
【解答】解：∵y＝x2﹣6x﹣3＝（x﹣3）2﹣12，
∴该抛物线的顶点坐标是（3，﹣12）且抛物线开口向上，
∴当x＝3时，该函数取最小值．
故选：C．
【变式5-4】（2022秋•和平区校级期末）已知二次函数y＝x2﹣2x+2在m≤x≤m+1时有最小值m，则整数m的值是（　　）
A．1 B．2 C．1或2 D．±1或2
【答案】C
【解答】解：∵y＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，函数最小值为1，
当m+1＜1，即m＜0时，x＝m+1时y取最小值，
∴m＝（m+1﹣1）2+1，即m2﹣m+1＝0（无解），
当m≥1时，x＝m时y取最小值，
∵m＝（m﹣1）2+1，
解得m＝1或2，
∴整数m的值为1或2，
故选：C
【题型6: 二次函数y=ax2+bx+c的图像问题】
【典例6】（2023•兴庆区校级二模）若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则一次函数y＝bx﹣a在坐标系内的大致图象为（　　）

A． B．
C． D．
【答案】A
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象开口向上，对称轴在y轴右边，与y轴的交点在y轴正半轴，
∴a＞0，﹣＞0，c＞0，
∴b＜0，﹣a＜0，
∴一次函数y＝bx﹣a的图象经过第二、三、四象限，
故选：A．
【变式6-1】（2023•绥化模拟）函数y＝ax2+bx+1和y＝ax﹣b（a是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：A、由抛物线可知，a＞0，b＜0，由直线可知，a＜0，b＜0，故不一致，不合题意；
B、由抛物线可知，a＞0，b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，故不一致，不合题意；
C、由抛物线可知，a＞0，b＞0，由直线可知，a＞0，b＞0，故一致，符合题意；
D、由抛物线可知，a＜0，b＞0，由直线可知，a＞0，b＞0，故不一致，不合题意．
故选：C．
【变式6-2】（2023•新都区模拟）如图，在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y＝acx+b的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：A、由抛物线可知，a＞0，b＜0，c＜0，则ac＜0，由直线可知，ac＞0，b＞0，故本选项不合题意；
B、由抛物线可知，a＞0，b＞0，c＞0，则ac＞0，由直线可知，ac＞0，b＞0，故本选项符合题意；
C、由抛物线可知，a＜0，b＞0，c＞0，则ac＜0，由直线可知，ac＜0，b＜0，故本选项不合题意；
D、由抛物线可知，a＜0，b＜0，c＞0，则ac＜0，由直线可知，ac＞0，b＞0，故本选项不合题意．
故选：B．
【变式6-3】（2023•拱墅区模拟）二次函数y＝ax2﹣2x+1和一次函数y＝ax﹣a（a是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：A：根据图象可得二次函数开口向上，则a＞0，此时一次函数y＝ax﹣a的图象经过一三四象限，而图中是经过一次函数图象是经过一二四象限，故选项A不符合题意；
B：根据图象可得二次函数开口向上，则a＞0，对称轴x＝＝＞0，对称轴在y轴的右边，图象符合要求，此时此时一次函数y＝ax﹣a的图象经过一三四现象，图中所给符合要求，故选项B符合题意；
C：根据图象可得二次函数开口向上，则a＞0，对称轴x＝＝＞0，对称轴在y轴的右边，而图中所给对称轴在y轴左边，故选项C不符合题意；
D：根据图象可得二次函数开口向下，则a＜0，当a＜0时，一次函数y＝ax﹣a的图象经过一二四象限，图中所给是经过一三四象限，故选项D不符合题意；
故选：B．
【题型7: 二次函数y=ax2+bx+c中a,b,c系数间的关系】
【典例7】（2023•梅州一模）如图是二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，有如下结论：
①abc＞0：②a+b+c＜0：③4a+b＜0；④4a＞c．
其中正确的结论有（　　）个．

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解答】解：∵抛物线开口向上，与y轴交于正半轴，
∴a＞0，c＞0，
∵抛物线对称轴为x＝﹣＞0，
∴b＜0，
∴abc＜0，
∴①错误；
∵当x＝1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，
∴②正确；
∵抛物线对称轴为x＝﹣＜2，a＞0，
∵b＞﹣4a，
∴4a+b＞0，
∴③错误；
∵抛物线对称轴为x＝﹣＜2，a＞0，
∴b＞﹣4a，
∵a+b+c＜0，
∴a﹣4a+c＜0，
∴﹣3a+c＜0，
∴3a＞c，
∵a＞0，
∴4a＞c，
∴④正确．
故选：B．
【变式7-2】（2023•广东模拟）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有如下结论：①abc＜0；②2a﹣b+c≤0；③3b﹣2c＜0；④对任意实数m，都有2am2+2bm﹣b≥0．其中正确的有（　　）

A．①② B．②③ C．②④ D．③④
【答案】D
【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线对称轴为直线x＝1，
∴﹣＝1，
∴b＝﹣2a＜0，
∵抛物线与y轴交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＞0，故①错误；
∵x＝﹣1时，y＞0，
∴a﹣b+c＞0，
∵a＞0，
∴2a﹣b+c＞0，故②错误；
∵b＝﹣2a，
∴a＝﹣，
由图象可得x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝﹣b+c＞0，
∴3b﹣2c＜0，故③正确；
由x＝1时函数取最小值可得am2+bm+c≥a+b+c，
∴am2+bm≥a+b，
∵a＝﹣，
∴am2+bm≥，
∴2am2+2bm﹣b≥0，故④正确．
故选：D．
【变式7-3】（2023•雁塔区校级三模）如图，直线x＝1是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的对称轴，则下列结论：①abc＞0；②b+2a＝0；③3a+c＞0；④4a+2b+c＞0，正确的是（　　）

A．②③ B．②④ C．②③④ D．①②④
【答案】B
【解答】解：①∵开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴在y轴右侧，
∴﹣＞0，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c＞0，
∴abc＜0，故结论错误；
②∵对称轴为直线x＝1，
∴﹣＝1．
∴2a+b＝0．
故结论正确；
③∵2a+b＝0，
∴b＝﹣2a，
∵当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，
∴a﹣（﹣2a）+c＝3a+c＜0，故结论不正确；
④当x＝2时，4a+2b+c＞0，故结论正确；
综上所述，正确的结论是②④．
故选：B．
【变式7-4】（2023•滕州市校级模拟）在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；②a﹣b＝0；③9a+3b+c＞0；④b2＞4ac；⑤a+c＜b．其中正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵图象开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a＞0，
∵图象与y轴的交点在x轴的上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，
∴①说法错误，
∵﹣＝1，
∴2a＝﹣b，
∴a﹣b＝3a＜0，
∴②说法错误，
由图象可知点（﹣1，0）的对称点为（3，0），
∵当x＝﹣1时，y＜0，
∴当x＝3时，y＜0，
∴9a+3b+c＜0，
∴③说法错误，
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
∴b2＞4ac，
∴④说法正确；
当x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，
∴a+c＜b，
∴⑤说法正确，
∴正确的为④⑤，
故选：B．

1．（2021•兰州）二次函数y＝x2+4x+1的图象的对称轴是（　　）
A．x＝2 B．x＝4 C．x＝﹣2 D．x＝﹣4
【答案】C
【解答】解：∵二次函数y＝x2+4x+1，
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣2．
故选：C．
2．（2021•河池）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列说法中，错误的是（　　）

A．对称轴是直线x＝ B．当﹣1＜x＜2时，y＜0
C．a+c＝b D．a+b＞﹣c
【答案】D
【解答】解：A、对称轴是直线x＝＝，故选项A不符合题意；
B、由函数图象知，当﹣1＜x＜2时，函数图象在x轴的下方，
∴当﹣1＜x＜2时，y＜0，故选项B不符合题意；
C、由图可知：当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝0，
∴a+c＝b，故选项C不符合题意；
D、由图可知：当x＝1时，y＝a+b+c＜0，
∴a+b＜﹣c，故选项D符合题意；
故选：D．
3．（2022•六盘水）如图是二次函数y＝x2+bx+c的图象，该函数的最小值是 　﹣4　．

【答案】﹣4．
【解答】解：由函数图象可得：﹣＝﹣＝﹣1，
解得：b＝2，
∵图象经过（﹣3，0）点，
∴0＝（﹣3）2﹣3×2+c，
解得：c＝﹣3，
故二次函数解析式为：y＝x2+2x﹣3，
则二次函数的最小值为：＝＝﹣4．
故答案为：﹣4．
4．（2022•盐城）若点P（m，n）在二次函数y＝x2+2x+2的图象上，且点P到y轴的距离小于2，则n的取值范围是 　1≤n＜10　．
【答案】1≤n＜10．
【解答】解：∵y＝x2+2x+2＝（x+1）2+1，
∴二次函数y＝x2+2x+2的图象开口向上，顶点为（﹣1，1），对称轴是直线x＝﹣1，
∵P（m，n）到y轴的距离小于2，
∴﹣2＜m＜2，
而﹣1﹣（﹣2）＜2﹣（﹣1），
当m＝2，n＝（2+1）2+1＝10，
当m＝﹣1时，n＝1，
∴n的取值范围是1≤n＜10，
故答案为：1≤n＜10．
5．（2022•长春）已知二次函数y＝﹣x2﹣2x+3，当a≤x≤时，函数值y的最小值为1，则a的值为 　﹣1﹣　．
【答案】﹣1﹣．
【解答】解：∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴图象开口向下，顶点坐标为（﹣1，4），
根据题意，当a≤x≤时，函数值y的最小值为1，
当y＝1时，﹣（x+1）2+4＝1，
∴x＝﹣1±，
∵﹣1+＞，
∴﹣1﹣≤x≤时，函数值y的最小值为1，
∴a＝﹣1﹣．
故答案为：﹣1﹣．
5．（2022•北京）在平面直角坐标系xOy中，点（1，m），（3，n）在抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上，设抛物线的对称轴为直线x＝t．
（1）当c＝2，m＝n时，求抛物线与y轴交点的坐标及t的值；
（2）点（x0，m）（x0≠1）在抛物线上．若m＜n＜c，求t的取值范围及x0的取值范围．
【答案】（1）t＝2；抛物线与y轴交点的坐标为（0，2）．
（2）＜t＜2；x0的取值范围2＜x0＜3．
【解答】解：（1）法一、将点（1，m），（3，n）代入抛物线解析式，
∴，
∵m＝n，
∴a+b+c＝9a+3b+c，整理得，b＝﹣4a，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣＝2；
∴t＝2，
∵c＝2，
∴抛物线与y轴交点的坐标为（0，2）．
法二、当m＝n时，点A（1，m），B（3，n）的纵坐标相等，
由抛物线的对称性可得，抛物线的对称轴为x＝，
∴t＝2，
∵c＝2，
∴抛物线与y轴交点的坐标为（0，2）．
（2）∵m＜n＜c，
∴a+b+c＜9a+3b+c＜c，
解得﹣4a＜b＜﹣3a，
∴3a＜﹣b＜4a，
∴＜﹣＜，即＜t＜2．
由题意可知，点（x0，m）与点（1，m）关于x＝t对称；
∴t＝；
当t＝时，x0＝2；
当t＝2时，x0＝3．
∴x0的取值范围2＜x0＜3．
综上，t的取值范围为：＜t＜2；x0的取值范围2＜x0＜3．
6．（2022•绍兴）已知函数y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（0，﹣3），（﹣6，﹣3）．
（1）求b，c的值．
（2）当﹣4≤x≤0时，求y的最大值．
（3）当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，求m的值．
【答案】（1）b＝﹣6，c＝﹣3；
（2）6；
（3）m＝﹣2或．
【解答】解：（1）把（0，﹣3），（﹣6，﹣3）代入y＝﹣x2+bx+c，
得b＝﹣6，c＝﹣3．
（2）∵y＝﹣x2﹣6x﹣3＝﹣（x+3）2+6，
又∵﹣4≤x≤0，
∴当x＝﹣3时，y有最大值为6．
（3）①当﹣3＜m≤0时，
当x＝0时，y有最小值为﹣3，
当x＝m时，y有最大值为﹣m2﹣6m﹣3，
∴﹣m2﹣6m﹣3+（﹣3）＝2，
∴m＝﹣2或m＝﹣4（舍去）．
②当m≤﹣3时，
当x＝﹣3时y有最大值为6，
∵y的最大值与最小值之和为2，
∴y最小值为﹣4，
∴﹣（m+3）2+6＝﹣4，
∴m＝或m＝（舍去）．
综上所述，m＝﹣2或．

1．（2023•高阳县校级模拟）抛物线y＝x2﹣2x﹣3的顶点为（　　）
A．（1，﹣4） B．（1，4） C．（0，﹣3） D．（2，﹣3）
【答案】A
【解答】解：由题意可得：y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线y＝x2﹣2x﹣3的顶点为：（1，﹣4）．
故选：A．
2．（2022秋•云州区期末）已知点（﹣3，y1），（﹣2，y2），（0，y3）在函数y＝x2+4x+3的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y2＜y3＜y1 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y2＜y3 D．y1＜y3＜y2
【答案】B
【解答】解：y＝x2+4x+3＝（x+2）2﹣1，
a＝1＞0，抛物线的开口向下，对称轴是直线x＝﹣2，在y轴的左侧，y随x的增大而减小增大，在y轴右侧，y随x的增大而增大，
∵点（2，y3）关于对称轴的对称点是（﹣4，y3），
又∵﹣4＜﹣3＜﹣2，
∴y2＜y1＜y3，
故选：B．
3．（2023•拱墅区模拟）将二次函数y＝5x2的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到的函数图象的解析式为（　　）
A．y＝5（x+3）2+2 B．y＝5（x﹣3）2+2
C．y＝5（x+3）2﹣2 D．y＝5（x﹣3）2﹣2
【答案】D
【解答】解：由“左加右减”的原则可知，将二次函数y＝5x2的图象先向右平移3个单位所得函数的解析式为：y＝5（x﹣3）2；
由“上加下减”的原则可知，将二次函数y＝5（x﹣2）2的图象先向下平移2个单位所得函数的解析式为：y＝5（x﹣3）2﹣2．
故选：D．
4．（2023•宛城区校级模拟）将抛物线y＝x2﹣2x+1向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，得到抛物线y＝x2+bx+c，则b，c的值为 （　　）
A．b＝﹣8，c＝18 B．b＝8，c＝14 C．b＝﹣4，c＝6 D．b＝4，c＝6
【答案】D
【解答】解：二次函数y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2的图象向上平移2个单位，再向左平移3个单位，
∴平移后解析式为：y＝（x﹣1+3）2+2＝（x+2）2+2＝x2+4x+6，
则b＝4，c＝6．
故选：D．
5．（2023•碑林区校级模拟）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣2，当y＞1时，则x的取值范围为（　　）
A．﹣1＜x＜3 B．﹣3＜x＜1 C．x＜﹣1或x＞3 D．x＜﹣3或x＞1
【答案】C
【解答】解：根据题意可得：当y＝1时，即x2﹣2x﹣2＝1，
解得：x1＝3，x2＝﹣1，
∵a＝1＞0，图象开口向上，且y＞1，
∴x＜﹣1或x＞3，
故选：C．
6．（2022秋•大连期末）画二次函数y＝ax2+bx+c的图象时，列表如下：
x
…
1
2
3
4
5
…
y
…
0
1
0
﹣3
﹣8
…
关于此函数有下列三个结论：①函数图象开口向上；②当x＞2时，y随x的增大而减小；③当x＝0时，y＝﹣3．其中正确的结论个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解答】解：由表中数据可知，y随x的增大先增大后减小，
∴函数图象开口向下，
故①错误，不符合题意；
∵y＝0时，x＝1或x＝3，
∴函数的对称轴为直线x＝2，
∵开口向下，
∴当x＞2时，y随x的增大而减小，
故②正确，符合题意；
∵对称轴为直线x＝1，当x＝4时y＝﹣3，
∴x＝0时，y＝﹣3，
故③正确，符合题意；
故选：C．
7．（2023•鄞州区校级一模）二次函数y＝x2+bx+1中，当x＞1时，y随x的增大而增大，则一次项系数b满足（　　）
A．b＞﹣2 B．b≥﹣2 C．b＜﹣2 D．b＝﹣2
【答案】B
【解答】解：∵a＝1＞0，
∴二次函数y＝x2+bx+1的图象开口向上，
∵当x＞1时，y随x的增大而增大，
∴﹣≤1，
解得：b≥﹣2，
故选：B．
8．（2022秋•盐湖区期末）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝abx+c的图象大致是（　　）

A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：由二次函数的图象可得，
∵开口向上，图象与y轴的负半轴相交，
∴a＞0，c＜0，
∵对称轴在y轴的左侧，a＞0，
∴b＞0，
∵a＞0，b＞0，
∴ab＞0，
∴一次函数的图象经过第一、三、四象限，
故选：C．
9．（2022秋•金水区期末）关于二次函数y＝x2+4x﹣1，下列说法不正确的是（　　）
A．图象与y轴的交点坐标为（0，﹣1）
B．图象的对称轴在y轴的左侧
C．图象的顶点坐标为（﹣2，﹣5）
D．当x＜2时，y的值随x值的增大而减小
【答案】D
【解答】解：∵y＝x2+4x﹣1＝（x+2）2﹣5，
∴当x＝0时，y＝﹣1，
故选项A正确；
该函数的对称轴是直线x＝﹣2，
故B选项正确；
函数的顶点坐标为（﹣2，﹣5），
故C选项正确；
当﹣2＜x＜2时，y随x的增大而增大，当x＜﹣2时，y随x的增大而减小，
故选项D错误．
故选：D．
10．（2022秋•盐山县校级期末）当y＝x2﹣6x﹣3的值最小时，x的取值是（　　）
A．0 B．﹣3 C．3 D．﹣9
【答案】C
【解答】解：∵y＝x2﹣6x﹣3＝（x﹣3）2﹣12，
∴该抛物线的顶点坐标是（3，﹣12）且抛物线开口向上，
∴当x＝3时，该函数取最小值．
故选：C．
11．（2022秋•梅里斯区期末）抛物线y＝ax2+bx+c（x≠0）的部分图象如图，则下列说法：①abc＞0；②2a+b＝0；③b2＞4ac；④a+b+c＜﹣3，正确的是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（x≠0）的图象开口向上，
∴a＞0，
∵对称轴，
∴b＝﹣2a，
∴b＜0，
抛物线y＝ax2+bx+c（x≠0）的图象与y轴交于（0，﹣3），
∴c＝﹣3，
∴abc＞0，故①正确；
∵对称轴，
∴b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，故②正确；
∵抛物线y＝ax2+bx+c（x≠0）的图象与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
∴b2＞4ac，故③正确；
∵根据抛物线y＝ax2+bx+c（x≠0）的图象可知，x＝1时，y＜﹣3，
∴a+b+c＜﹣3，故④正确；
故选：D．
12．（2022秋•番禺区校级期中）二次函数y＝﹣x2﹣2x+c2﹣2c在﹣3≤x≤2的范围内有最小值为﹣5，则c的值（　　）
A．3或﹣1 B．﹣1 C．﹣3或1 D．3
【答案】A
【解答】解：∵y＝﹣x2﹣2x+c2﹣2c＝﹣（x+1）2+c2﹣2c+1，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，
∵2﹣（﹣1）＞﹣1﹣（﹣3），
∴在﹣3≤x≤2的范围内，x＝2时，y＝﹣4﹣4+c2﹣2c＝c2﹣2c﹣8＝（c﹣1）2﹣9为函数最小值，
∴（c﹣1）2﹣9＝﹣5，
解得c＝3或c＝﹣1，
故选：A．
13．（2022•兰州）已知二次函数y＝2x2﹣4x+5，当函数值y随x值的增大而增大时，x的取值范围是（　　）
A．x＜1 B．x＞1 C．x＜2 D．x＞2
【答案】B
【解答】解：∵y＝2x2﹣4x+5＝2（x﹣1）2+3，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，
∴x＞1时，y随x增大而增大，
故选：B．
14．（2022•贺州）已知二次函数y＝2x2﹣4x﹣1在0≤x≤a时，y取得的最大值为15，则a的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解答】解：∵二次函数y＝2x2﹣4x﹣1＝2（x﹣1）2﹣3，
∴抛物线的对称轴为x＝1，顶点（1，﹣3），
∴当y＝﹣3时，x＝1，
当y＝15时，2（x﹣1）2﹣3＝15，
解得x＝4或x＝﹣2，
∵当0≤x≤a时，y的最大值为15，
∴a＝4，
故选：D．
15．（2022秋•济南期末）已知二次函数y＝mx2+（m﹣1）x+m﹣1有最小值为0，求m的值．
【答案】m的值为1．
【解答】解：∵y＝mx2+（m﹣1）x+m﹣1有最小值0，
∴＝0，m＞0，
解得：m＝1．