华师大版九年级上册23.4 中位线评课课件ppt

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三角形的中位线三角形的重心
1. 三角形的中位线的定义连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.数学表达式：如图23.4-1，∵ AD=BD，AE=EC，∴ DE 是△ ABC 的中位线.
特别提醒：1. 一个三角形有三条中位线；2. 三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形，三个面积相等的平行四边形；3. 三角形的中位线与三角形的中线的区别：三角形的中线是连结一顶点和它的对边中点的线段，而三角形的中位线则是连结两边中点的线段；4. 三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分.
2. 三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.数学表达式：如图23.4-1，∵ AD=BD，AE=EC，∴ DE ∥ BC，且DE= BC.
3. 三角形的中位线的应用(1)三角形的中位线定理反映了三角形的中位线与第三边的双重关系：一是位置关系，可以用来证两直线平行；二是数量关系，可以用来证线段的倍分关系.
(2)中位线具有平移角、倍分转化线段的功能，因此当遇到中点或中线时，应考虑构造中位线，即我们常说的“遇到中点想中位线”；相应地，若知道了三角形的中位线，则三角形两边的中点即可找到.
如图23.4-2，已知E 为平行四边形ABCD 中DC 边延长线上一点，且CE=DC，连结AE，分别交BC，BD 于点F，G，连结AC 交BD 于点O，连结OF.求证：AB=2OF.
解题秘方：紧扣“三角形中位线定理”的数量关系，将证明线段的倍数关系转化为证明OF 是△ ABC 的中位线.
证明：如图23.4-2，连结BE.∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD.
∵E为平行四边形ABCD中DC边延长线上一点，且CE=DC，∴AB∥CE，AB=CE，∴四边形ABEC是平行四边形，∴点F是BC的中点.又∵点O是AC的中点，∴OF是△ABC的中位线，∴AB=2OF.
1-1. 如图，M 是△ ABC的边BC 的中点，AN 平分∠ BAC，BN ⊥ AN 于点N， 延长BN 交AC 于点D， 连结MN. 已知AB=10，BC=15，MN=3.(1)求证：BN=DN；(2)求△ ABC 的周长.
(1)证明：∵AN平分∠BAD，∴∠1＝∠2.∵BN⊥AN，∴∠ANB＝∠AND＝90°.又∵AN＝AN，∴△ABN≌△ADN(ASA)．∴BN＝DN.
(2)解：∵△ABN≌△ADN，∴AD＝AB＝10.∵DN＝BN，点M是BC的中点，∴MN是△BDC的中位线．∴CD＝2MN＝6.∴△ABC的周长为AB＋BC＋CD＋AD＝10＋15＋6＋10＝41.
如图23.4-3，在△ABC中，BC>AC，点D在BC上，且DC=AC，∠ACB的平分线CE交AD于E，点F是AB的中点，连结EF，求证：EF∥BC.
解题秘方：紧扣“三角形中位线定理”的位置关系，将证明线段的位置关系转化为证明三角形的中位线问题来解决.
证明：∵CE平分∠ACB，DC=AC，∴CE是△ACD的中线，∴点E是AD的中点.∵点F是AB的中点，∴ EF 是△ ABD 的中位线，∴EF∥BD，即EF∥BC.
2-1. 如图， 在ABCD中，AE=BF，AF，BE 相交于点G，CE，DF 相交于点H.求证：GH ∥ BC 且GH= BC.
中考·咸宁]如图23.4-4，在△ABC中，中线BE，CD相交于点O，连结DE，下列结论：① ② ③ ④ 其中正确的有( )A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
解题秘方：紧扣中位线平行于第三边，则截得的三角形与原三角形相似解决问题.
解：由中线BE，CD知，DE为△ABC的中位线，∴DE= BC，DE∥BC. ∴ ，①正确；由DE∥BC可得△DOE∽△COB，∴②错误；由DE∥BC可得△ADE∽△ABC，∴由△DOE∽△COB可得 ∴ ③正确；④ 正确.
3-1. [中考·营口] 如图，DE 是△ ABC 的中位线，F 为DE 的中点，连结AF 并延长交BC 于点G， 若S △ EFG=1， 则S△ ABC=________ .
1. 三角形的重心：三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的重心.
特别提醒：●三角形的重心到顶点的距离等于它到对边中点距离的2 倍.●三角形的重心是三角形中每条中线的一个三等分点.
2. 三角形重心的性质定理：三角形的重心与一边中点的连线的长是对应中线长的注意：连结三角形顶点和重心的直线必然平分这个顶点的对边.
如图，延长△ ABC 的边BC 到点D，使CD=BC，取AB 的中点F，连结FD 交AC 于点E，求 的值.
解题秘方：已知条件中给出的中点，可以构造三角形的重心，紧扣重心的性质解题.
解：如图，连结AD.∵ CD=BC，∴点C 为BD 的中点.∵ 点F 为AB 的中点，AC 和DF 交于点E，∴ 点E 为△ ABD 的重心，∴
4-1. 如图，点D 在△ ABC的边BC 上，已知点E，F分别为△ ABD 和△ ADC的重心， 如果BC=12，那么两个重心之间的距离EF 的长为_______ .
如图，在△ ABC 中，G 为重心，连结AG 并延长，交边BC 于点D，若△ ABC 的面积为6 cm2，则△ BGD 的面积为________ .
解题秘方：紧扣重心将中线分成的两条线段的比得到面积之间的比解决问题.
解：由点G 为△ ABC 的重心可知，AD 为BC 边上的中线，且DG= AD，
5-1. 如图，在菱形ABCD中，E 为AB 的中点，连结DE 交对角线AC 于点F，若菱形ABCD 的周长为40 cm，AC=16 cm，求△ ADF 与菱形ABCD 的面积比.
解：如图，连结BD，交于AC于点O.∵四边形ABCD是菱形，∴O是AC，BD的中点，且AC⊥BD.