2022-2023学年北京市海淀区清华附中八年级（下）期末数学试卷（含答案解析）

2022-2023学年北京市海淀区清华附中八年级（下）期末数学试卷

1.下列方程中，属于一元二次方程的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.将抛物线向下平移2个单位，所得抛物线的表达式为(    )

A.  B.  C.  D.

3.用配方法解方程时，原方程变形正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.抛物线的顶点坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

5.某商店购进一种商品，单价为30元．试销中发现这种商品每天的销售量件与每件的销售价元满足关系：若商店在试销期间每天销售这种商品获得200元的利润，根据题意，下面所列方程正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

6.已知抛物线，，，是抛物线上三点，则，，由小到大依序排列是(    )

A.  B.  C.  D.

7.已知关于x的方程有两个不相等实数根，则m可以取以下哪个数值(    )

A. 3 B. 2 C. 1 D. 0

8.已知二次函数的图象如图所示，当时，x的取值范围是(    )

A.
B.
C.
D. 或

9.已知抛物线与y轴的交点在原点下方，则整数m的值可以是______ 写出一个符合条件的值即可

10.若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则______ .

11.二次函数的图象经过点，则代数式的值为______ .

12.关于x的一元二次方程有一根为0，则______ .

13.抛物线在x轴上截得的线段的长度是______.

14.已知m是方程的一个实数根，则的值是______ .

15.若某等腰三角形的底和腰的长分别是一元二次方程的两根，则这个等腰三角形的周长是______ .

16.已知抛物线上部分点的横坐标x和纵坐标y的几组数据如下：

点，是抛物线上不同的两点，则______ .

17.用适当的方法解方程：
；
；
；
 

18.已知抛物线过点和，求该抛物线的解析式.

19.用一面足够长的墙为一边，其余各边用总长42米的围栏建成如图所示的生态园，中间用围栏隔开，由于场地限制，垂直于墙的一边长不超过7米围栏宽忽略不计，若生态园的面积为144平方米，求生态园垂直于墙的边长.

20.已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示：

这个二次函数的解析式是______ ；
在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；
当时，y的取值范围为______ .

21.排球场的长度为18m，球网在场地中央且高度为，排球出手后的运动路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，排球运动过程中的竖直高度单位：与水平距离单位：近似满足函数关系
某运动员第一次发球时，测得水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：

①根据上述数据，求抛物线解析式；
②判断该运动员第一次发球能否过网______ 填“能”或“不能”
该运动员第二次发球时，排球运动过程中的竖直高度单位：与水平距离单位：近似满足函数关系，请问该运动员此次发球是否出界，并说明理由.
 

22.如图，抛物线经过点，，，直线经过点B，C，部分图象如图所示，则：
该抛物线的对称轴为直线______ ；
关于x的一元二次方程的解为______ ；
关于x的一元二次方程的解为______ ；
若关于x的一元二次方程无实数根，则k的取值范围是______ .

23.已知关于x的一元二次方程
求证：方程总有两个实数根；
若m为整数，当此方程有两个互不相等的正整数根时，求m的值.

24.在平面直角坐标系xOy中，抛物线
求抛物线的顶点坐标；
若抛物线与x轴的交点为A、点A在点B的左侧，且，
①求抛物线的解析式；
②已知点P坐标为，点Q在抛物线的对称轴上，将抛物线在第二象限内的部分记为图象G，如果直线PQ与图象G只有一个公共点，请结合图象，直接写出点Q的纵坐标t的取值范围是______ .

25.在正方形ABCD中，点E为边CD上一点不与点C、D重合，于点F，于点
如图1，求证：；
如图2，若F为BG中点，连接DF，用等式表示线段AD，DF之间的数量关系，并证明；
若，，直接写出线段DF的长是______ .

 

26.在平面直角坐标系中，已知点，m，n满足，则OP的长为______ .

27.关于x的方程无实数根，则二次函数的图象的顶点在第______ 象限.

28.已知抛物线的顶点在坐标轴上，则______ .

29.如图，已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④；⑤
其中正确的是______填序号

30.对于线段AB外一点M，给出如下定义：若点M满足，则称M为线段AB的垂点，特别地，对于垂点M，若或时，称M为线段AB的等垂点，在平面直角坐标系xOy中，已知点，
如图1，在点，，，中，线段AB的垂点是______ ；
已知点，
①如图2，当时，若直线上存在线段PQ的等垂点，求b的值；
②如图3，若边上包含顶点存在线段PQ的垂点，直接写出t的取值范围是______ .

答案和解析

1.【答案】C 

【解析】解：方程是分式方程，选项A不符合题意；
B.方程是二元二次方程，选项B不符合题意；
C.方程是一元二次方程，选项C符合题意；
D.方程是一元一次方程，选项D不符合题意．
故选：
利用一元二次方程的定义，逐一分析四个选项中的方程即可．
本题考查了一元二次方程的定义，牢记“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程”是解题的关键．

2.【答案】B 

【解析】解：将抛物线向下平移2个单位，则所得抛物线的表达式为，
故选：
根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解．
本题主要考查的是二次函数图象与几何变换，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．

3.【答案】C 

【解析】解：，
即，
移项得：，
配方得：，
即，
故选：
利用配方法解方程即可．
本题考查配方法解一元二次方程，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．

4.【答案】B 

【解析】解：的顶点坐标为，
故选：
由抛物线的性质，求解即可．
此题考查了抛物线的性质，解题的关键是熟练掌握抛物线的有关性质．

5.【答案】A 

【解析】解：每件商品的利润为元，可售出件，
根据每天的利润为200元可列的方程为，
故选
一天的利润售价-进价销售量，把相关数值代入即可．
考查列一元二次方程；得到一天的利润的等量关系是解决本题的关键．

6.【答案】D 

【解析】解：二次函数，中
抛物线开口向上，对称轴为，
，中横坐标均大于2，
它们在对称轴的右侧
中横坐标小于2，
它在对称轴的左侧，它关于的对称点为，
A点的对称点是
，
时，抛物线开口向上，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，

故选：
先求出二次函数的图象的对称轴，然后判断出，，在抛物线上的位置，再求解．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，本题的关键是找到A点的对称点；掌握二次函数的图象性质．

7.【答案】D 

【解析】解：，
要使方程有两不相等实数根，则有，
；
可以取0，
故选：
方程有两个不相等的实数根，则有，据此即可得到关于m的不等式，解不等式即可得到m的取值范围．
本题主要考查了一元二次方程的相关知识，解题的关键是明确一元二次方程的根与判别式之间的关系．

8.【答案】A 

【解析】解：由图象可知，
当时，x的取值范围是，
故选：
根据抛物线与x轴的交点和图象，可以写出当时，x的取值范围．
本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

9.【答案】答案不唯一 

【解析】解：物线与y轴的交点在原点下方，
，
的值可以是：答案不唯一
故答案为：答案不唯一
根据抛物线与y轴的交点在原点下方可知：，由此填写即可．
本题主要考查了二次函数与系数的关系，熟练掌握知识点是解决本题的关键．

10.【答案】9 

【解析】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
，
即，
解得：，
故答案为：
根据根的判别式列得方程，解方程即可．
本题考查一元二次方程根的判别式，结合已知条件列得关于k的方程是解题的关键．

11.【答案】7 

【解析】解：代入点得，
解得：
故答案为：
代入点的坐标以后即可得出结论．
本题考查图象与点的关联，能够熟练把点代入解析式是解题关键．

12.【答案】3 

【解析】解：关于x的一元二次方程有一根为0，
，，
解得：，
故答案为：
将代入中求得m的值，然后根据一元二次方程的定义确定符合题意的m的值即可．
本题考查一元二次方程的解及其定义，特别注意二次项系数不能为

13.【答案】2 

【解析】解：设抛物线与x轴的交点为：，，
，，
，
抛物线在x轴上截得的线段的长度是
故答案为：
先设出抛物线与x轴的交点，再根据根与系数的关系求出及的值，再由完全平方公式求解即可．
本题考查的是抛物线与x轴的交点问题，能由根与系数的关系得到及的值是解答此题的关键．

14.【答案】2026 

【解析】解：是方程的一个根，
，
解得，，
，
故答案是：
把代入已知方程可以求得，所以将其整体代入所求的代数式并求值即可．
本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．

15.【答案】10 

【解析】解：方程分解得：，
可得或，
解得：或，
若2为腰，三角形三边为2，2，4，不能构成三角形，舍去；
若2为底，三角形三边为2，4，4，周长为，
故答案为：
方程利用因式分解法求出解得到x的值，确定出等腰三角形三边，求出周长即可．
此题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．

16.【答案】4 

【解析】解：观察表格中的x、y的值，可知、是对称点，
抛物线的对称轴是直线，
点，是抛物线上不同的两点，
，
，
故答案为：
根据表格中的点的坐标特点先确定对称轴，由抛物线的对称性即可求解；
本题考查了二次函数图象上的点的坐标特征、二次函数的性质，解决本题的关键是观察表格数据确定抛物线的对称轴．

17.【答案】解：，
，
，；
，
，
则，即，
，
，；
，
，
或，
解得，；
，
，
则或，
解得， 

【解析】利用直接开平方法求解即可；
将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得；
利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可；
利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可．
本题考查了解一元二次方程，根据题目的特点选择适当的解法，熟练地掌握解一元二次方程的各种方法是解题的关键．

18.【答案】解：抛物线过点和，
，
解得：，
抛物线的解析式为： 

【解析】将，代入求得b，c的值，得到此函数的解析式．
本题考查了待定系数法求二次函数解析式，得到两个关于b、c的方程是解题的关键，也是本题的难点．

19.【答案】解：设生态园垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为米，
依题意，得
解得，
由于，所以不合题意，舍去．
所以符合题意．
答：生态园垂直于墙的边长为6米． 

【解析】设生态园垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为米，根据矩形的面积公式列出方程并解答．
本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系，列出方程并解答．

20.【答案】 

【解析】解：由题意可得二次函数的顶点坐标为，
设二次函数的解析式为：，
把点代入，得，
故抛物线解析式为，即；
如图所示：
，
当时，，
当时，，
又对称轴为，
当时，y的取值范围是
利用表中数据和抛物线的对称性可得到二次函数的顶点坐标为，则可设顶点式，然后把点代入求出a即可；
利用描点法画二次函数图象；
根据、时的函数值即可写出y的取值范围．
本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的图象与性质．

21.【答案】能 

【解析】解：①由表中数据可得顶点，
设，
把代入得，
解得：，
所求函数关系为；
②能．
当时，，
该运动员第一次发球能过网，
故答案为：能；
判断：没有出界．
第二次发球：，
令，则，
，解得舍，，
，
该运动员此次发球没有出界．
①由表格中数据得出顶点坐标，设出函数解析式的顶点式，再把代入解析式求出a即可；
②当时求出y的值与比较即可；
令中的，解方程求出x的值与18比较即可．
本题考查二次函数的应用，关键是求出函数解析式．

22.【答案】，， 

【解析】解：抛物线经过点，，
该抛物线的对称轴为直线，
故答案为：；
由知：该抛物线的对称轴为直线，
抛物线经过点，
该抛物线过点，
一元二次方程的解为，，
故答案为：，；
抛物线经过点，，直线经过点B，C，
一元二次方程的解为，，
故答案为：，；
设该抛物线的解析式为，
该抛物线经过点，
，
解得，
，
该抛物线的最大值为4，
一元二次方程无实数根，则k的取值范围是，
故答案为：
根据抛物线经过点，，可以求得该抛物线的对称轴；
根据中的结果和二次函数具有对称性，可以求得抛物线与x轴的另一个交点，从而可以写出一元二次方程的解；
根据抛物线与直线的交点，可以写出一元二次方程的解；
根据中求出的抛物线与x轴的交点和经过点，可以求得该抛物线的解析式，然后化为顶点式，即可得到该抛物线的最大值，从而可以写出一元二次方程无实数根，此时k的取值范围．
本题考查二次函数的性质、二次函数图象与x轴的交点坐标、二次函数图象上点的坐标特点、一次函数图象上点的坐标特点，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

23.【答案】证明：


，
，
，
方程总有两个实数根；
解：，
，
，
为整数，且原方程有两个互不相等的正整数根，

答：m的值为 

【解析】根据方程的系数，结合根的判别式，可得出，进而可证出方程总有两个实数根；
利用因式分解法，可求出方程的两个实数根，结合m为整数且原方程有两个互不相等的正整数根，即可得出m的值．
本题考查了根的判别式以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：牢记“当时，方程有两个实数根”；利用因式分解法，求出方程的两个实数根．

24.【答案】或 

【解析】解：，
，
，
抛物线的顶点坐标为，
①抛物线的对称轴为，且点A在点B的左侧，
，，
将代入得：，
，
抛物线的解析式为：，
②图象G对应的部分抛物线如图所示：
当过点P的直线与x轴平行时，直线PQ与图象G只有1个交点，此时，
当过点P的直线过时，直线PQ与图象G只有1个交点，
设直线PQ的表达式为：，
将代入得：，
，
，
当时，，
当过点P的直线过时，直线PQ与图象G的交点在x轴上，
此时直线PQ的表达式为：，
当时，，
综上：或
将配方即可；
①由抛物线的对称轴为，且点A在点B的左侧可得，，代入抛物线即可；
②分过点P的直线与x轴平行、过点P的直线过、过点P的直线过三种情况分别求解即可．
本题考查的是抛物线与轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．

25.【答案】 

【解析】证明：四边形ABCD是正方形，
，，
，，
，
，
≌，
；
解：，理由如下：
如图2，过点F作AB，AD的垂线于点H，N，延长AF交BC于点M，

四边形ABCD是正方形，
，
四边形AHFN是矩形，
，，
为BG中点，
，
，，
，
，
，
由知：≌，
，
，
设，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
；
解：线段DF的长是理由如下：
如图3，过点F作AB，AD的垂线于点H，N，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，

线段DF的长是
故答案为：
根据正方形的性质证明≌，即可解决问题；
如图2，过点F作AB，AD的垂线于点H，N，延长AF交BC于点M，根据正方形的性质利用勾股定理解答即可；
结合的方法根据正方形的性质利用勾股定理解答即可．
此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解本题的关键．

26.【答案】1 

【解析】解：设，则由原方程，得，
整理，得，
即，
解得舍去或
，
，
负值不合题意，舍去
故答案为：
，设，则用t代替方程中的，将原方程转化为关于t的新方程，通过解新方程求得t即的值即可．
本题主要考查了换元法，即把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换．

27.【答案】二 

【解析】解：关于x的方程无实数根，
，
故二次函数的图象与x轴没有交点，
二次函数的图象开口向上，对称轴为：直线，
抛物线顶点在第二象限．
故答案为：二．
首先确定抛物线与x轴没有交点，再利用抛物线开口方向以及对称轴位置得出顶点的位置．
此题主要考查了抛物线与x轴的交点，熟练掌握相关性质得出顶点位置是解题关键．

28.【答案】或或0或 

【解析】解：当抛物线的顶点在x轴上时，，
即，
解得或；
当抛物线的顶点在y轴上时，，
解得或
故答案为：或或0或
由于抛物线的顶点在坐标轴上，故应分在x轴上与y轴上两种情况进行讨论．
本题考查的是二次函数的性质，解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．

29.【答案】②③⑤ 

【解析】解：由于抛物线的开口向下，因此，
由于抛物线的对称轴是直线，所以a、b异号，而，所以，
由于抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴，因此，
所以，
因此①不正确；
由图象可知，当时，，即，
因此②正确；
由抛物线的对称性以及图象可知，
当时，，
因此③正确；
因为对称轴为，即，
而当时，，
所以，
即，
因此④不正确；
由于抛物线的顶点坐标为，即时，y的值最大，即最大，
当时，，
即，
因此⑤正确；
综上所述，正确的结论有：②③⑤，
故答案为：②③⑤．
根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标，逐项进行判断即可．
本题考查二次函数的图象和性质，掌握抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标与系数a、b、c的关系是正确判断的前提．

30.【答案】， 

【解析】解：，，
，
，
，
点C不是线段AB的垂点；
，
，
点D是线段AB的垂点；
，
，
点E不是线段AB的垂点；
，
，
点F是线段AB的垂点；
综上所述，点D、F是线段AB的垂点；
故答案为：，；
①当时，点，，

设点M是直线上存在的线段PQ的等垂点，则，
过点M作轴于点G，过点作轴于点H，
，，
，
，，
，
≌，
，，
，
，
，
解得：；
同理可得：，
，
解得：；
的值为或；
②，
线段PQ的垂点一定在直线上，

把代入，得，
当在直线上时，，
解得：，
把代入，得，
当在直线上时，，
解得：，
的取值范围是；
故答案为：
根据新定义“线段AB的垂点”，即可判断得出答案；
①当时，点，，则线段PQ的等垂点为，过点M作轴于点G，过点作轴于点H，可证得≌，进而可得或，代入，即可求得b的值；
②根据新定义“线段AB的垂点”，线段PQ的垂点一定在直线上，分别求得t的最小值和最大值即可得出答案．
本题综合性比较强，考查了学生对平面直角坐标系和点的坐标的理解，要掌握正方形的性质，学会对动点在直线上运动进行几何模型构建，能充分利用数形结合思想解决实际问题．