2022-2023学年河北省唐山市丰润区八年级（下）期末数学试卷（含答案解析）

2022-2023学年河北省唐山市丰润区八年级（下）期末数学试卷

1.下列运算中，结果正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.若直角三角形的两边长分别是5和12，则它的斜边长是(    )

A. 13 B. 13或 C.  D. 12或13

3.已知一组数据：2，2，3，x，5，5，6的众数是2，则x是(    )

A. 5 B. 4 C. 3 D. 2

4.如图，平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且两条对角线的和为26cm，AB的长为9cm，则的周长为(    )

A. 35cm
B. 22cm
C.
D. 17cm

5.函数的图象不经过(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

6.2023唐山马拉松于5月21日在河北省唐山市抗震纪念碑广场开跑，点燃了人们对马拉松的激情，某校组织35名同学参加了马拉松知识竞赛，预赛分数各不相同，取前18名同学参加决赛.其中一名同学知道自己的分数后，要判断自己能否进入决赛，只需要知道这35名同学分数的(    )

A. 众数 B. 中位数 C. 平均数 D. 方差

7.下列性质中，矩形不一定具有的是(    )

A. 对角线互相垂直 B. 对角线相等 C. 对角线互相平分 D. 邻边互相垂直

8.若，则一次函数的图象大致是(    )

A.  B.  C.  D.

9.下列说法中正确的有(    )
描述一组数据的平均数只有一个
描述一组数据的中位数只有一个
描述一组数据的众数只有一个
描述一组数据的平均数，中位数，众数都一定是这组数据里的数
一组数据中的一个数大小发生了变化，一定会影响这组数据的平均数，众数，中位数

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

10.如图，在中，，，，D为边AC上一动点，于点E，于点F，则EF的最小值为(    )

A. 4
B. 3
C.
D. 2

11.如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件：①；②；③；④；⑤其中可以判断四边形ABCD是菱形的有个.(    )

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

12.如图直线与两坐标轴交于A，B两点，点P是线段AB上一动点不与A，B两端点重合过点P作轴于点C，作轴于点D，小明认为矩形PCOD的周长不变且始终为6；小红认为当点P运动到线段AB的中点时，点P到原点的距离最短，且最短距为关于两人的判断，下面说法正确的是(    )

A. 小明与小红都是正确的 B. 小明与小红都是错误的
C. 小明是正确的，小红是错误的 D. 小明是错误的，小红是正确的

13.计算：______.

14.如图，是利用四边形的不稳定性制作的菱形晾衣架，已知每个菱形的边长为20cm，，则在墙上悬挂晾衣架的两个铁钉A，B间的距离是______

15.甲、乙、丙、丁四名学生最近4次数学考试平均分都是112分，方差，，，，则这四名学生的数学成绩最稳定的是______ .

16.与直线平行，且经过点的一次函数的表达式是______ .

17.如图，一次函数与的图象相交于点，则关于x、y的二元一次方程组的解是______ .

18.如图所示，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则的度数为______.

19.小明在暑期社会实践活动中，以每千克元的价格从批发市场购进若干千克瓜到市场上去销售，销售了40kg西瓜之后，余下的每千克降价元，全部售完销售金额与售出西瓜的千克数之间的关系如图所示，小明这次卖瓜赚______元．

20.如图，点E在正方形ABCD外，连接AE、BE、DE，过点A作AE的垂线交DE于点若，，则下列结论：
①≌；
②；
③点B到直线AE的距离为；
④
其中正确的结论是______ 填写所有正确结论的序号

21.计算：

22.如图，在中，把沿DE折叠使点B与点C重合折痕为DE，连接
若，，，求证：；
若，，，求的周长.

23.4月23日是世界读书日，习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气”.某校响应号召，开展了“读红色经典，传革命精神”为主题的读书活动，学校对本校学生五月份阅读该主题相关书籍的读书量进行了随机抽样调查，并对所有随机抽取的学生的读书量单位：本进行了统计.根据调查结果，绘制了不完整的统计表和扇形统计图.

本次调查共抽取学生______ 人，学生读书量的众数是______ ，中位数是______ ，扇形统计图中“3本”部分所对应的圆心角的度数为______ ；
求该样本中平均每人的读书量；
已知该校有3000名学生，请估计该校学生中，五月份读书量不少于“3本”的学生人数.
后来又抽取几名学生的读书量，他们的读书量都不低于4本，把这几名学生的读书量与原来的数据一起统计中位数没有发生改变，则最多又抽取______ 名学生.

24.如图，在平面直角坐标系中，一次函数：的图象分别与x，y轴交于B，C两点，正比例函数的图象：与交于点
填空：______ ，______ ，不等式的解集是______ ；
若点M是直线上的一个动点，连接OM，当的面积是面积的2倍时，求出符合条件的点M的坐标；
若一次函数的图象为，且，，不能围成三角形，直接写出k的值.

25.【问题原型】如图，在▱ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF交AD于点F，交BC于点E，交AC于点O，连接AE，求证：四边形AECF是菱形.
【甲同学的证法】证明：垂直平分AC，
，第一步
，第二步
四边形AECF是平行四边形，第三步
又，第四步
四边形AECF是菱形第五步
【老师评析】甲同学想先利用对角线互相平分证明四边形AECF是平行四边形，再利用对角线互相垂直证明它是菱形，可惜有一步错了.
【挑错改错】
甲同学的证明过程在第______ 步出现了错误；
请你根据甲同学的证明思路写出此题正确的证明过程；
直接写出当中的______ 时，四边形AECF是正方形.

26.暑期将至，新华书店面向学生推出暑期借书优惠活动，活动方案如下.
方案一：购买一张学生暑期专享卡，每借一本书的费用按六折优惠；
方案二：不购买学生暑期专享卡，每借一本书的费用按八折优惠.
设某学生暑期借书本，按照方案一所需费用为元，且；按照方案二所需费用为且其函数图象如图所示.
______ ，它的实际意义是______ ；______ ，它的实际意义是______ ；
求的值；
八年级学生小明计划暑期前往新华书店借书x本，请你通过计算判断小明应选择哪种方案所需费用更少？
 

答案和解析

1.【答案】C 

【解析】解：，故选项A错误，不符合题意；
，故选项B错误，不符合题意；
，故选项C正确，符合题意；
，故选项D错误，不符合题意；
故选：
根据二次根式的加法可以判断A；根据二次根式的减法可以判断B；根据二次根式的乘法可以判断C；根据二次根式的除法可以判断
本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．

2.【答案】D 

【解析】解：当12是斜边时，它的斜边长是12；
当12是直角边时，它的斜边长；
故它的斜边长是：12或
故选：
本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即12是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．
本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，当已知条件中没有明确哪是斜边时，要注意分类讨论．

3.【答案】D 

【解析】解：因为一组数据2，2，3，x，5，5，6的众数是2，
根据众数的定义，2出现的次数最多，因为5已经出现了2次，所以2必出现3次．
所以x是
故选
众数又是指一组数据中出现次数最多的数据，根据定义就可以求出．
本题比较容易，考查众数的知识．解题的关键是此题的众数是唯一的．

4.【答案】B 

【解析】解：四边形ABCD是平行四边形，，
，，
，
，
的周长是
故选：
根据平行四边形的性质得出，求出的值，代入求出即可．
本题考查了平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形的对角线互相平分．

5.【答案】B 

【解析】解：，
函数的图象经过第一，三象限；
又，
图象与y轴的交点在x轴的下方，即图象经过第四象限；
所以函数的图象经过第一，三，四象限，即它不经过第二象限．
故选：
由于，函数的图象经过第一、三象限；，图象与y轴的交点在x轴的下方，即图象经过第四象限，即可判断图象不经过第二象限．
本题考查了一次函数为常数的性质．它的图象为一条直线，当，图象经过第一，三象限，y随x的增大而增大；当，图象经过第二，四象限，y随x的增大而减小；当，图象与y轴的交点在x轴的上方；当，图象过坐标原点；当，图象与y轴的交点在x轴的下方．

6.【答案】B 

【解析】解：35个不同的成绩按从小到大排序后，中位数及中位数之后的共有18个数，
故只要知道自己的成绩和中位数就可以知道是否进入决赛了．
故选：
由于比赛取前18名参加决赛，共有35名选手参加，根据中位数的意义分析即可．
本题考查了统计量的选择，以及中位数意义，解题的关键是正确的求出这组数据的中位数．

7.【答案】A 

【解析】解：矩形的对角线互相平分且相等，邻边互相垂直，但矩形的对角线不一定垂直，
矩形不一定具有的是对角线互相垂直，
故选：
根据矩形的性质判断即可．
本题考查了矩形的性质，熟记矩形的性质是解题的关键．

8.【答案】A 

【解析】解：，
，
直线的图象经过第第一、二、四象限，
该直线不经过第三象限；
故选：
根据一次函数中的、的符号判定该直线所经过的象限．
本题考查了待定系数法求反比例函数解析式、一次函数图象与系数的关系．直线所在的位置与k、b的符号有直接的关系．时，直线必经过一、三象限．时，直线必经过二、四象限．时，直线与y轴正半轴相交．时，直线过原点；时，直线与y轴负半轴相交．

9.【答案】B 

【解析】解：一组数据的中位数和平均数只有一个，但出现次数最多的数即众数，可以有多个，所以、对，错；
由于一组数据的平均数与中位数一般是将原数据按大小排列后，进行计算得来的，所以平均数与中位数不一定是原数据里的数，故错；
一组数据中的一个数大小发生了变化，它的平均数一定发生变化，众数，中位数也可能发生改变，也可能不发生改变，所以错；
正确的有：、
故选
利用平均数、中位数和众数的定义逐个判断．
本题属于基础题，要熟练掌握平均数、中位数和众数的概念．

10.【答案】C 

【解析】解：如图，连接BD，

，，，
，
于点E，于点F，
四边形DEBF是矩形，
，
由垂线段最短可得当时，线段BD最短，则EF最小，
此时，，
即，
解得：，
的最小值为
故选：
连接BD，由勾股定理求出AC，再证四边形DEBF是矩形，得，然后由垂线段最短得当时，线段EF的值最小，最后由三角形面积求出BD的长即可．
本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理以及三角形面积等知识，判断出时，线段EF的值最小是解题的关键．

11.【答案】A 

【解析】解：①四边形ABCD是平行四边形，
，，
，
，
▱ABCD是矩形，故①不符合题意；
②四边形ABCD是平行四边形，
，
，
，
▱ABCD为矩形，故②不符合题意；
③、，
，
▱ABCD为矩形，故③不符合题意；
④、，
，
，
▱ABCD为菱形，故④符合题意；
⑤，
▱ABCD为菱形，故⑤符合题意；
故选：
根据菱形的判定定理：有一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，四条边都相等的四边形是菱形，即可进行判断．
本题考查菱形的判定定理，勾股定理的逆定理，平行四边形的性质，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键．

12.【答案】A 

【解析】解：由一次函数与两坐标轴交于A，B两点得，
，
所以，则是等腰直角三角形．
又点P在线段AB上运动，且轴，轴，
所以和都是等腰直角三角形，
所以，
故
即矩形OCPD的周长为定值
所以小明说法正确．
在中，根据勾股定理得，
根据垂线段最短原则，当时，点P到原点O的距离最短，
又，
所以点P即为AB的中点，且此时
所以小红的说法正确．
故选：
先由直线的函数表达式可求出A，B两点的坐标，并发现三角形OAB是等腰直角三角形，再根据PC，PD分别垂直于x轴和y轴，可将PC，PD分别转化为BC，AD，进而解决问题．根据垂线段最短原则，当时，点P到原点O的距离最短．
本题考查矩形的性质以及等腰三角形的三线合一，发现图中的等腰三角形以及能发现并利用垂线段最短是解决问题的关键．

13.【答案】 

【解析】解：原式
故答案为：
原式合并同类二次根式即可得到结果．
此题考查了二次根式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

14.【答案】 

【解析】解：如图：

在一个菱形中，，
是等边三角形，，，
，，
，
，
两个铁钉A、B之间的距离是
故答案为：
由图可得：AB两点之间的距离是较长对角线的长；根据已知可分别求得较短和较长的对角线的长，则不难求得AB的长．
本题考查了解直角三角形的应用及菱形的性质，解题的关键是正确的构造直角三角形并求解．

15.【答案】甲 

【解析】解：甲、乙、丙、丁四名学生最近4次数学考试平均分都是112分，方差，，，，
所以甲的方差最小，
所以这四名学生的数学成绩最稳定的是甲，
故答案为：甲．
根据方差的定义求解可得．
本题主要考查方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．

16.【答案】 

【解析】解：设与直线平行的一次函数表达式为，
代入点，
得，
解得，
一次函数的表达式为，
故答案为：
设与直线平行的一次函数表达式为，利用待定系数法求出函数解析式即可．
本题考查了两条直线的平行问题，待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握两条直线平行时函数表达式的特点是解题的关键．

17.【答案】 

【解析】解：把代入得，解得，
所以P点坐标为，
关于x、y的二元一次方程组的解，
故答案为：
先利用确定P点坐标，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标进行判断．
本题考查了一次函数与二元一次方程组：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．

18.【答案】 

【解析】解：如图，连接

根据勾股定理可以得到：，，
，
是等腰直角三角形．

故答案为：
分别在格点三角形中，根据勾股定理即可得到AB，BC，AC的长度，继而可得出的度数．
本题考查了勾股定理，判断是等腰直角三角形是解决本题的关键，注意在格点三角形中利用勾股定理．

19.【答案】36 

【解析】解：根据题意，可得降价前销售单价：元/千克，
降价后的销售数量：千克，
总的利润：元，
故答案为：
根据题意，求出降价前每千克的售价，再求出降价后售出的千克数，再根据总销售额-总成本即可求出总利润．
本题考查了一次函数的应用，理解图象的含义，并灵活应用“销售额销售数量=销售单价”和“总销售额-总成本=总利润”是关键．

20.【答案】①②④ 

【解析】解：四边形ABCD是正方形，
，，

，
，

又，
≌，故①正确；
≌，

，，
，
，
，
，故②正确；
如图，过点B作，交AE延长线于点G，则BG的长即为点B到直线AE的距离．

，，

，，

，
，
，故③错误；
≌，
，

，，
，故④正确．
故答案为：①②④．
由正方形的性质可知，，得出，结合题意可得出，即证明，从而可用“SAS”证明≌，故①正确；根据等腰直角三角形的性质得出，结合全等的性质可得，进而即可求出，故②正确；过点B作，交AE延长线于点G，则BG的长即为点B到直线AE的距离．根据勾股定理可求出，从而可求出又易证为等腰直角三角形，即得出，故③正确；由全等的性质可得，即得出，结合三角形的面积公式即可求出，故④正确．
本题考查正方形的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识．熟练掌握上述知识，并能够正确作出辅助线是解题关键．

21.【答案】解：


 

【解析】先算乘除法和完全平方公式，再计算加减法即可．
本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握运算法则，正确计算．

22.【答案】证明：由折叠可得点C与点B关于直线DE对称，
垂直平分BC，
，
，
，，
，
，

解：，
，
，，
，
，
，
，
的周长是 

【解析】由折叠可知DE垂直平分BC，则，而，，所以，即可根据勾股定理的逆定理证明；
由，得，由，，根据勾股定理得，则，所以，则的周长是
此题重点考查勾股定理及其逆定理的应用、轴对称的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，证明是解题的关键．

23.【答案】 

【解析】解：读书量为2本的共10人，占，则本次调查共抽取学生人数人
读书量为4本的学生人数人
观察统计表可知，这组数据的众数为3，中位数为

故答案为：40，3，3，；
本
答：该样本中平均每人的读书量是3本．
样本中，五月份读书量不少于“3本”的学生比例
总体中，五月份读书量不少于“3本”的学生人数人
答：五月份读书量不少于“3本”的学生人数为1875人．
根据题意，将这组新的数据按从小到大的顺序排列，中位数保持不变仍为3，则中位数3最大为第26个数，且这组新的数据的个数为奇数，那么这组新数据中读书量都不低于4本的学生人数为25人，最多抽取的学生数量人
故答案为：
根据众数定义、中位数定义、扇形统计图求解即可；
根据加权平均数的定义直接求解即可；
先计算样本中五月份读书量不少于“3本”的学生比例，然后计算总体中五月份读书量不少于“3本”的学生人数即可；
将这组新的数据按从小到大的顺序排列，中位数保持不变仍为3，则中位数3最大为第26个数，且这组新的数据的个数为奇数，那么这组新数据中读书量都不低于4本的学生人数为25人，然后可求得最多抽取的学生数量．
本题主要考查数据的集中趋势，包括平均数的定义、众数的定义、中位数的定义，牢记平均数的定义、众数的定义、中位数的定义是解题的关键．

24.【答案】 

【解析】解将点代入得：，
然后将代入得：，
解得：，
由图象可知，不等式的解集为：；
故答案为：5，4，；
由得：一次函数：，
点M在直线上，
设点M的坐标为，把代入，得，
点坐标为，，
点坐标，
，
把代入，得，
点坐标为，，
，
解得：或14，
当时，；
当时，；
点M的坐标为或；
当或时，，，不能围成三角形，
即或，
当过点时，将点A坐标代入并解得：；
故当的表达式为：或或
故或2或
先求得A点坐标，将点A坐标代入次函数可得m的值，利用图象直接判断不等式的解集即可；
设，根据，即可求解；
当或时，，，不能围成三角形，即可求解．
本题是一次函数综合题，主要考查两直线的交点，两直线相交或平行问题，待定系数法求函数解析式、三角形的面积及分类讨论思想等．解决问题的关键是利用图象求解各问题．

25.【答案】二   

【解析】解：题干中没有的条件，
甲同学的证明过程在第二步出现了错误，
故答案为：二；
证明：四边形ABCD是平行四边形，
，
，
是AC的垂直平分线，
，，
又，
≌，
，
又，
四边形AECF是平行四边形，
，
平行四边形AECF是菱形；
由得，四边形AECF是菱形，
，
若四边形AECF是正方形，
则，
，
是等腰直角三角形，
，
当中的时，四边形AECF是正方形．
由EF是对角线AC的垂直平分线得，，即可得出结论；
证≌，得，再证四边形AECF是平行四边形，然后由菱形的判定即可得出结论；
根据正方形的性质可得是等腰直角三角形，即可得出结论．
本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形与正方形的判定是解题的关键．

26.【答案】借一本书按六折优惠后的费用  2 一张学生暑期专享卡的费用 

【解析】解：将和代入，得，
解得：，
，它的实际意义是借一本书按六折优惠后的费用；，它的实际意义是一张学生暑期专享卡的费用；
故答案为：，借一本书按六折优惠后的费用；2，一张学生暑期专享卡的费用；
由可知借一本书按六折优惠后的费用是元，所以借一本书的费用是2元．
不购买学生暑期专享卡，每借一本书的费用按八折优惠．
所以的值是元；
由题意可知，，
当时，即，得，
当时，即，得，
当时，即，得，
综上所述，当小明借书5本时，两个方案费用一样；借书不超过5本时，方案二费用少；借书超过5本时，方案一费用少．
将和代入可求出和b的值，根据方案一及函数图象可知它们的实际意义；
由可知借一本书按六折优惠后的费用是元，所以借一本书的费用是2元，据此即可求解；
分三种情况讨论，进行比较即可．
本题考查了一次函数的应用，解题的关键是理解两种优惠活动方案，求出函数关系式．