2022-2023学年山西省吕梁市交口县八年级（下）期末数学试卷（含答案解析）

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2022-2023学年山西省吕梁市交口县八年级（下）期末数学试卷1.若二次根式在实数范围内有意义，则a的取值范围是(    )A.  B.  C.  D. 2.点在函数的图象上，则m的值是(    )A.  B. 1 C.  D. 23.某专卖店专营某品牌女鞋，店主对上一周中不同尺码的鞋子销售情况统计如表：尺码3536373839平均每天销售数量双281062该店主决定本周进货时，增加一些37码的女鞋，影响该店主决策的统计量是(    )A. 平均数 B. 方差 C. 众数 D. 中位数4.如图，在等边中，D、E分别是边AB、BC的中点，，则的周长为(    )A. 9
B. 12
C. 16
D. 185.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若，则的度数是(    )
 A.  B.  C.  D. 6.我国是最早了解勾股定理的国家之一．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五”．它被记载于下列哪部著名数学著作中(    )A. 《周髀算经》
B. 《九章算术》
C. 《海岛算经》
D. 《几何原本》7.一次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是(    )A.
B.
C. y随x的增大而减小
D. 直线与两坐标轴围成的图形面积为2
 
 8.小明调查了班里40名同学本学期购买课外书的本数，并将结果绘制成了如图所示的扇形统计图.则下列说法正确的是(    )A. m的值为55
B. 众数为4
C. 平均数为3
D. 中位数为3
 9.如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交x轴的负半轴于点C，则直线BC的解析式为(    )A.
B.
C.
D. 10.如图所示的网格是正方形网格，点A，B，P是网格线的交点，则(    )
 A.  B.  C.  D. 11.若一个长方形的长为，宽为，则它的面积为______ 12.命题“菱形的四条边都相等”的逆命题是______.13.2022年”世界杯”的成功举办，引起学生对足球的极大兴趣.某校开展了足球知识比赛，经过几轮筛选，八年级班甲、乙、丙、丁四名同学的平均成绩单位：分及方差如下表： 甲乙丙丁平均成绩/分96989896方差如果要选出一名成绩较好且发挥稳定的同学代表班级参加比赛，那么应选择______ 同学.14.如图，已知函数和的图象相交于点，则不等式的解集是______ .
 15.如图，一张直角三角形纸片ABC，两直角边，，将沿直线折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则DE的长为______ .
 16.计算：
；
 17.端午节前，某超市为了满足人们的购物需求，计划购进甲、乙两种水果进行销售.经了解，甲种水果和乙种水果的进价与售价如下表所示：若超市购进这两种水果共200千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的3倍，则超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？水果单价甲乙进价元/千克1620售价元/千克2025 18.现如今，环保这一理念越来越融入到我们的生活中.为了加强学生的环保意识，某中学举办我是环保小达人的演讲比赛，比赛分为入围赛和决赛两个赛段.全校学生积极响应，全部报名参加入围赛，随机抽取了若干名学生，调查他们每天课后练习演讲的时间，现将调查结果绘制成如下尚不完整的统计图表.请根据统计图表提供的信息，回答下列问题：
将下面的统计表和条形统计图补充完整；组别练习时间分钟频数人百分比 A50______B______C40D____________若该校学生有3000人，请你估计每天课后练习时间超过60分钟的学生有多少人？
演讲决赛时，总成绩由内容、表达、风度、印象四部分组成，并按3：4：2：1计算.进入冠亚军争夺的张明和赵亮的各项得分如下表： 内容表达风度印象张明85分78分80分90分赵亮75分82分85分92分总成绩高的人为冠军，请你通过计算判断他俩谁获得冠军？
19.如图，中，，过点B作AC的平行线，与的平分线交于点D，点E是AC上一点，于点F，连接
求证：四边形ABDE是菱形；
若，，求BC的长．

 20.为落实“双减”政策，丰富课后服务的内容，某学校计划到甲、乙两个体育专卖店购买一批新的体育用品，两个商店的优惠活动如下：
甲：所有商品按原价折出售；
乙：一次购买商品总额不超过300元的按原价付费，超过300元的部分打7折．
设需要购买体育用品的原价总额为x元，去甲商店购买实付元，去乙商店购买实付元，其函数图象如图所示．

分别求，关于x的函数关系式；
两图象交于点A，求点A坐标；
请根据函数图象，直接写出选择去哪个体育专卖店购买体育用品更合算．21.请阅读下列材料，并完成相应的任务.
勾股定理的证明
2000多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，不但因为这个定理重要，还因为这个定理贴近人们的生活实际，以致于古往今来，下至平民百姓，上至帝王总统，都愿意探讨研究它的证明，新的证法不断出现.其中，美国第20任总统詹姆斯加菲尔德的证法在数学史上被传为佳话，他将两个完全相同的直角三角形拼成一个梯形，巧妙地用面积法给出了勾股定理的证明过程：
如图：

利用整体法，梯形的面积为；
利用分割法，梯形的面积为；
……
按照上面的证明思路，完成该定理证明的剩余部分.
如图，在中，，，，，求BC的长.

 22.综合与实践
问题情境：
数学活动课上，老师引导学生用一块等腰直角三角板和一个正方形展开探究活动．将正方形的一个顶点与等腰直角三角板的斜边的中点重合，摆放的位置不同一些线段就会出现一定的数量关系．
知识初探：
将等腰直角三角板ABC与正方形ODEF如图1摆放，使正方形ODEF的顶点O与等腰直角三角板斜边AB的中点O重合，且OD边经过点C，请你写出DC与BF的数量关系和位置关系：______.
类比再探：
如图2，正方形ODEF的顶点O与等腰直角三角板斜边AB的中点O重合，OD边不经过点C，连接CD，BF，此时DC与BF的又有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由．
拓展延伸：
如图3，正方形ODEF的顶点O与等腰直角三角板斜边AB的中点O重合，正方形ODEF的对角线交于点G，连接CD，BD，取BD的中点H，连接GH，请你直接写出GH与CD之间的数量关系与位置关系．
 23.综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴，y轴分别交于点A，B，直线：与x轴，y轴分别交于点P，，两条直线交于点D，且点D的横坐标为；连接
求直线的函数解析式；
求的面积；
若点E在直线上，F为坐标平面内任意一点，试探究：是否存在以点B，C，E，F为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由.

答案和解析 1.【答案】A 【解析】解：二次根式在实数范围内有意义，
，
解得：
故选：
根据二次根式有意义的条件，即可求解．
本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数为非负数是解题的关键．2.【答案】D 【解析】解：把点代入函数，
得，
解得：
故选：
利用一次函数图象上点的坐标特征．把点代入函数解析式中求m即可．
本题考查一次函数图象上点与函数解析式的关系，知识点是：在这条直线上的各点的坐标一定适合这条直线的解析式．3.【答案】C 【解析】解：由于众数是数据中出现次数最多的数，故影响该店主决策的统计量是众数．
故选：
平均数、中位数、众数是描述一组数据集中程度的统计量；方差是描述一组数据离散程度的统计量．销量大的尺码就是这组数据的众数．
此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．4.【答案】B 【解析】解：、E分别是边AB、BC的中点，，
是的中位线，
，，
是等边三角形，
的周长，
故选：
根据等边三角形的性质和三角形中位线定理解答即可．
此题考查三角形中位线定理，关键是根据三角形中位线定理得出AC的长解答．5.【答案】C 【解析】解：四边形ABCD是矩形，
，，，
，
，
；
故选：
根据矩形的性质，证出，得出，再由三角形内角和定理即可得出答案．
本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理；证出是解题关键．6.【答案】A 【解析】解：早在三千多年前，我国周朝数学家商高就提出：将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五”．它被记载于我国古代著名数学著作《周髀算经》中．
故选：
加强教材的阅读，熟记相关知识的来源与出处．
本题考查了勾股定理的历史渊源，仔细阅读教材，熟记知识是解题的关键．7.【答案】B 【解析】解：如图所示：A、图象经过第一、三、四象限，则，故此选项不符合题意；
B、图象与y轴交于点，故，故此选项符合题意；
C、，y随x的增大而增大，故此选项不符合题意；
D、直线与两坐标轴围成的图形面积为，故此选项不符合题意；
故选：
直接利用一次函数的性质结合函数图象上点的坐标特点得出答案．
此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，正确数形结合分析是解题关键．8.【答案】D 【解析】解：A、m的值为，故不符合题意；
B、这40名同学购买课外书的众数为3，故不符合题意；
C、购买课外书1本有人，
购买课外书2本有人，
购买课外书3本有人，
购买课外书4本有人，
这40名同学购买课外书的平均数为，故不符合题意；
D、这40名同学购买课外书的中位数为，故符合题意．
故选：
根据扇形图中的数据逐项判断即可．
本题主要考查扇形统计图，从扇形统计图中得出解题所需数据及众数、中位数、平均数的定义是解题的关键．9.【答案】A 【解析】解：在直线中，令，求得；令，求得，
点A的坐标为，点B的坐标为，
，，
，
以点A为圆心，AB长为半径画弧，交x轴的负半轴于点C，
，
则点C的坐标为：，
设直线BC的解析式为，
把，代入得，
解得，
直线BC的解析式为
故选：
先求得A、B的坐标，然后利用勾股定理得出AB的长，再利用圆的性质得出CO的长，即可得出C的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线BC的解析式．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，勾股定理的应用等，求得C的坐标是解题的关键．10.【答案】B 【解析】解：如图，延长AP交格点于D，连接BD，

则，，
，
，则为等腰直角三角形，
，
，
故选：
延长AP交格点于D，连接BD，根据勾股定理得，，求得，于是得到，根据等腰直角三角形的性质和三角形外角的性质即可得到结论．
本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，三角形的外角性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．11.【答案】 【解析】解：


故答案为：
根据长方形的面积计算方法列式计算即可．
本题考查了二次根式的应用，解题的关键是列式后正确的进行二次根式的运算．12.【答案】四条边都相等的四边形是菱形 【解析】解：命题“菱形的四条边都相等”的逆命题是四条边都相等的四边形是菱形，
故答案为：四条边都相等的四边形是菱形．
根据互逆命题的概念解答．
本题考查的是互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．13.【答案】乙 【解析】解：乙和丙同学的平均数比甲、丁同学的平均数大，
应从乙和丙同学中选，
乙同学的方差比丙同学的小，
乙同学的成绩较好且状态稳定，应选的是乙同学．
故答案为：乙．
先比较平均数得到同学乙和丙同学成绩较好，然后比较方差得到乙同学的状态稳定，于是可决定选乙同学去参赛．
本题考查了方差，掌握方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差，反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好是关键．14.【答案】 【解析】解：由图象知：不等式的解集是，
故答案为：
函数和的图象相交于点，结合图象即可得出答案．
本题考查了一次函数与一元一次不等式、一次函数的图象，解决本题的关键是掌握一次函数与一元一次不等式的关系．15.【答案】 【解析】解：的两直角边，，
，
，
由折叠得，，，
，
，
，
解得，
，
故答案为：
由，，，根据勾股定理得，由折叠得，，，所以，由，得，求得，则，于是得到问题的答案．
此题重点考查勾股定理、轴对称的性质等知识，根据勾股定理正确地列出所需要的方程是解题的关键．16.【答案】解：原式
；
原式
 【解析】先进行二次根式的乘法运算，然后把化为最简二次根式后合并即可；
先根据完全平方公式计算，然后把二次根式化为最简二次根式后合并即可．
本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则是解决问题的关键．17.【答案】解：设超市购进甲种水果x千克，总利润为w元．
根据题意，得：，解得：，
根据题意，得：，
，
随着x的增大而减小，
当时，w取得最大利润，最大利润为元
千克，
当超市购进甲种水果150千克，乙种水果50千克时，总利润最大，最大利润为850元． 【解析】设超市购进甲种水果x千克，总利润为w元．根据题意求得x的范围，，根据一次函数的性质即可求解．
本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键．18.【答案】 【解析】解：总人数为：，则A的百分比为：；
B组的频数为；
D组的频数为，百分比为，
补全统计图与统计表如下：组别练习时间分钟频数人百分比  A50B80C40D30故答案为：，80，30，；
人，
答：估计每天课后练习时间超过60分钟的学生有1050人．
张明的总成绩为：分，
赵亮的总成绩为：分，
，
张明同学获得冠军．
根据C组频数与百分比求得总人数，进而补全统计图与统计表；
根据样本估计总体，用3000乘以C，D组的占比即可求解；
分别计算两人成绩的加权平均数，比较大小即可求解．
本题考查了频数分布表与频数分布直方图，样本估计总体，求加权平均数，熟练掌握以上知识是解题的关键．19.【答案】证明：平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，

四边形ABDE是平行四边形，
，
▱ABDE是菱形；
解：四边形ABDE是菱形，
，
，
，
，，
，
，
，
，
 【解析】先证，再证四边形ABDE是平行四边形，然后由，即可得出结论；
由菱形的性质得，再证，则，得，然后由勾股定理求出BC的长即可．
本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．20.【答案】解：由题意可得，
，
当时，，
当时，，
则；
令，
解得，
将代入得，，
即点A的坐标为；
由图象可得，
当时，去甲体育专卖店购买体育用品更合算；当时，两家体育专卖店购买体育用品一样合算；当时，去乙体育专卖店购买体育用品更合算． 【解析】根据题意和题目中的数据，可以分别写出，关于x的函数关系式；
根据中的结果和题意，令，求出x的值，再求出相应的y的值，即可得到点A的坐标．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．21.【答案】解：利用整体法，梯形的面积为，
利用分割法，梯形的面积为
将两式联立得，
即，

解：，
，
，
，
，
，
在中，
，
，
，
，
，
在中，
 【解析】利用整体法和分割法求梯形面积，两式联立．解答即可；
解直角三角形即可得到结论．
本题考查了勾股定理的证明，等腰直角三角形，正确的理解题意是解题的关键．22.【答案】， 【解析】解：知识初探：连接DF，

四边形ODCF是正方形，
，，
是等腰直角三角形，O为AB的中点，
，，，
，
，
，
，，
故答案为：，；
类比再探：，，理由如下：

连接OC，
点O是等腰直角斜边的中点，
，，
四边形ODEF是正方形，
，，
，，
，
≌，
，，
，
；
拓展延伸：，，理由如下：
连接BF，

由类比探究同理可得，，，
为BD的中点，G为DF的中点，
为的中位线，
，，
，
知识初探：连接DF，利用平行线分线段成比例定理可得答案；
类比再探：连接OC，利用SAS证明≌，得，，则，进而解决问题；
拓展延伸：连接BF，由类比探究同理可得，，，再证明GH为的中位线，得，，从而得出答案．
本题是四边形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，正方形的性质，平行线分线段成比例定理，全等三角形的判定与性质，三角形的中位线定理等知识，证明≌是解决问题的关键．23.【答案】解：点D在：上，点D的横坐标为，
当时，，
，
，
将点和代入中，
得：，
解得
直线的函数解析式为：；
直线：与x轴，y轴分别交于点A，B，
当时，；当时，，
点，，
，

，
，
；
当时，轴，则E的纵坐标为1，
将代入：，解得：，即，
，，，
，
，
，，，
，，，
，即，
则，
当时，，则D点与E点重合，
到C可以看作向左平移个单位，向上平移个单位，
则F点可以看作点向左平移个单位，向上平移个单位，得到，

满足条件的点F的坐标为， 【解析】根据题意得出，进而求得的解析式；
由：，当时，；当时，，可得点，，进而得出，根据三角形的面积公式即可求解．
当时，可得，根据，，，即可求解，勾股定理的逆定理可得，进而可得，当时，，则D点与E点重合，根据矩形的性质以及平移的性质即可求解．
本题考查了一次函数的性质，待定系数法求一次函数解析式，矩形的性质，勾股定理以及逆定理的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键．