江西省上饶艺术学校2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题

2023-2024学年江西省上饶艺术学校高二上学期10月月考

数学试题（含答案）

（本卷满分150分，考试时间120分钟；考试范围：北师大版（2019）选择性必修第一册第一章至第二章）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知倾斜角为的直线与直线的夹角为，则的值为（    ）

A．或 B．或 C．或 D．或

2．直线和直线互相平行，则实数a的值为（    ）

A． B．

C．或 D．或

3．过点，且圆心在直线上的圆与轴相交于，两点，则（    ）

A．3 B． C． D．4

4．已知点，若圆O：上存在点A，使得线段PA的中点也在圆O上，则a的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

5．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P是椭圆C上的动点，，，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

6．设点为双曲线的右焦点，为坐标原点，以为直径的圆与双曲线的渐近线交于两点（均异于点）．若，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C．2 D．

7．抛物线的焦点到点的距离为（    ）

A． B． C． D．

8．已知直线：与椭圆：有公共点，则的取值范围是（    ）

A． B． C．   D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．下列说法中正确的是（    ）

A．若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大

B．若，，则直线的倾斜角为

C．若直线过点，且它的倾斜角为，则这条直线必过点

D．若直线的倾斜角为，则直线的斜率为

10．已知双曲线的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为M，N，O为坐标原点．直线交双曲线C的右支于P，Q两点（不同于右顶点），且与双曲线C的两条渐近线分别交于A，B两点，则（    ）

A．为定值

B．

C．点P到两条渐近线的距离之和的最小值为

D．存在直线使

11．设，为椭圆：的两个焦点，为上一点且在第一象限，为的内心，且内切圆半径为1，则（    ）

A． B． C． D．

12．已知抛物线的准线为，焦点为F，过点F的直线与抛物线交于，两点，于，则下列说法正确的是（    ）

A．若，则

B．以PQ为直径的圆与准线l相切

C．设，则

D．过点与抛物线C有且仅有一个公共点的直线至多有2条

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卡中的横线上。

13．已知圆：上总存在两个点到原点的距离均为，则的取值范围是        .

14．直线上一点P到与的距离之差的绝对值最大，则P的坐标为      .

15．已知椭圆的左、右焦点分别是，过右焦点且斜率为的直线与椭圆相交于两点，若满足，则椭圆的离心率为           .

16．已知双曲线的右焦点为，分别为双曲线的左、右顶点，以为直径的圆与双曲线的两条渐近线在第一、二象限分别交于两点，若∥(为坐标原点)，则该双曲线的离心率为        .

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）已知直线.

(1)若，求实数的值；

(2)当时，求直线与之间的距离.

18．（12分）在平面直角坐标系中，已知圆，点A，B是直线与圆O的两个公共点，点C在圆O上．

(1)若为正三角形，求直线AB的方程；

(2)在（1）的条件下，若直线上存在点P满足，求实数n的取值范围．

19．（12分）已知椭圆的对称中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，焦点在轴上，离心率，且过点．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)若直线与椭圆交于两点，且直线的倾斜角互补，判断直线的斜率是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

20．（12分）已知离心率为的双曲线C与椭圆的焦点相同.

(1)求双曲线C的标准方程；

(2)求双曲线C的焦点到渐近线的距离.

21．（12分）已知抛物线的焦点为，抛物线上一点横坐标为3，且点到焦点的距离为4.

(1)求抛物线的方程；

(2)过点作直线交抛物线于点，求面积的最小值（其中为坐标原点）.

22．（12分）已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，过且垂直于轴的直线被椭圆所截得的线段长为3．

(1)求椭圆的方程；

(2)直线与椭圆交于两点，射线交椭圆于点，若，求直线的方程．

参考答案

1-7：BDCBAACB

9．BC  10．BC  11．ABD  12．ABC

13．

依题意，到原点的距离均为的点的轨迹方程为圆，

所以原问题可转化为圆与圆：有两个交点，

又因为圆的圆心为，半径；圆的圆心，半径；

所以可得，即，

又，所以解得；

即实数的取值范围是.

故答案为：.

14．

设点B关于l的对称点的坐标为，连接，

则，即，所以①．

因为的中点在直线l上，

所以，即②．

由①②得，所以点的坐标为．

于是所在直线的方程为，即．

又，

当且仅当三点共线时，最大．

所以联立直线l与的方程即，解得，

即l与的交点坐标为，

故点P的坐标为．

故答案为：

15．/

根据题意，设直线方程为，，

由，消得到，

易知，由韦达定理得，

又因为，所以，得到，

将代入，得到，

将代入，得到，

又，所以，得到，

故答案为：.

16．

如图所示，

∵∥，

∴，

又∵双曲线的渐近线关于y轴对称，

∴，

则，

∴为等腰三角形，作，垂足为M，

过点B作轴，交渐近线第一象限部分于点D，

则，

由等腰三角形三线合一可知，

且注意到，

由勾股定理得，

由相似三角形的性质可得，

所以，

整理可得，

又，

所以.

故答案为：.

17．（1）因为直线，且，

所以，所以所以.

（2）当时，，解得，

此时，

所以与的距离.

18．（1）圆的半径为1，若是正三角形，则到的距离为，

，，又因为，所以，

直线的方程为．

（2）设，设线段的中点为，

联立方程得，则有，

则，，则

，

则，代入得，

因为，所以点在以为直径的圆上，

则圆心，半径，

又因为点直线上，则直线与圆有交点，

则圆心到直线的距离，即，

解得.

19．（1）设椭圆的标准方程为，

由题意知，

故椭圆的标准方程又为，即，

又椭圆过点，，

椭圆的标准方程为；

（2）由题意可知直线的斜率存在且不过点，

设直线的方程为，，

由，消去整理得，

需满足，则，，

直线的倾斜角互补，，

，

，

将，代入得，

整理得，而，

，

所以直线的斜率为定值，其定值为2.

20．（1）椭圆的焦点坐标为，

设双曲线的方程为，，

所以双曲线的半焦距.

又由，得，

所以，

所以双曲线C的标准方程为.

（2）由（1）知，双曲线C的焦点坐标为，渐近线方程为，

所以双曲线C的焦点到渐近线的距离为.

21．（1）由题意知,

所以.

（2）由 (1) 知, 抛物线, 直线过,

可设直线的方程为,

联立

设,不妨设，

∴，

当且仅当，即时取等号，

∴面积最小值为.

22．（1）由已知得，设过且垂直于轴的直线与椭圆交于点,

则点的横坐标为，将其代入得，解得，

即，所以，

因为椭圆的离心率，所以．

因为，所以．故椭圆的方程为．

（2）由题意知，直线不垂直于轴，设直线的方程为，

设，

联立方程组消去并整理得，

其中，

所以，，

所以

，

因为点到直线的距离，且是线段的中点，

所以点到直线的距离为，

所以．

由，解得或（舍去），

所以，故直线的方程为，

即或．