2023-2024学年山东省聊城市东阿三中八年级（上）月考数学试卷（9月份）（含解析）

2023-2024学年山东省聊城市东阿三中八年级（上）月考数学试卷（9月份）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.如图所示，将沿对折，点与点重合，则全等的三角形有(    )

A. 对
B. 对
C. 对
D. 对

3.如图，若≌，则下列结论中一定成立的是(    )

 

A.  B.
C.  D.

4.如图，点在上，点在上，且，那么补充下列一个条件后，仍无法判定≌的是(    )

 

A.  B.  C.  D.

5.花花不慎将一块三角形的玻璃打碎成了如图所示的四块图中所标、、、，若要配块与原来大小一样的三角形玻璃，应该带(    )

A. 第块
B. 第块
C. 第块
D. 第块

6.如图，给出下列四组条件：
，，；
，；
，，；
，，．
其中，能使≌的条件共有(    )
 

A. 组 B. 组 C. 组 D. 组

7.根据下列已知条件，能作出唯一的是(    )

A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，

8.下列图形中，与关于直线成轴对称的是(    )

A.  B.
C.  D.

9.如图，在中，的垂直平分线分别交、于点、，连接，若，，则的长是(    )

A.
B.
C.
D.

10.如图，在中，，，，是的平分线，设和的面积分别是，，则：的值为(    )

A. ：
B. ：
C. ：
D. ：

11.如图，在中，，的平分线交于点，过点作交于点，交于点若，，，则的周长是(    )

A.
B.
C.
D.

12.已知：如图中，为的角平分线，且，为延长线上的一点，，过作，为垂足．下列结论：≌；；；其中正确的是(    )

 

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

13.如图，，于，于，且，点从向运动，每分钟走，点从向运动，，两点同时出发，点每分钟走______时与全等．

14.如图，在中，，，，动点从点出发沿的路径向终点运动，动点沿的路径向终点运动动点和动点分别以每秒和的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动，在某时刻分别过点和作于，于则点运动时间为______ 秒时，与全等．

15.如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，，，点在第一象限时，则点的坐标为        ．

16.如图，点是的角平分线上一点，分别连接、，若再添加一个条件即可判定≌，则一下条件中：；；；；其中一定正确的是______ 只需填序号即可

17.如图，中，，，的垂直平分线分别交，于点，，的垂直平分线分别交，于点，，连接，则        ．

18.如图，在的边、上取点、，连接，是外角平分线的交点，若，的面积是，的面积是则的周长是______．

19.如图，在中，，平分，若，，则的面积为        ．

20.如图所示，是一钢架，且，为了使钢架更加坚固，需在其内部添加一些钢管，，，添加的钢管长度都与相等，则最多能添加这样的钢管______根．

三、解答题（本大题共5小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

21.本小题分
如图所示，工人赵师傅用块高度都是的相同长方体新型建筑材料，垒了两堵与地面垂直的墙、和、，点在上，已知，．
求证：≌；
求的长．

22.本小题分
小敏同学有非常良好的学习习惯，在解答人教版数学八上教科书第题时，顺利完成后并进行了相应探究，请你经历的思考过程，回答下列问题．
课本真题：如图，在中，是高，是角平分线，，，求的度数．
小敏思路：根据的度数先求出，有、的度数在求出，则结果可得．
请直接写出小敏求出的______．
善于思考的小敏想，、与会不会存在固定的数量关系？于是，她试了几组、的度数后，猜想出、与的关系为______，请证明小敏的猜想；先填空，再证明
在的基础上，小敏想到，因为与互余，所以她得出、与的关系为而后，小敏在原图形的基础上作了的垂直平分线，交的延长线与点，连接，如图，请你仔细思考，直接写出、、之间的数量关系______．

 

23.本小题分

如图，中，点在边延长线上，，的平分线交于点，过点作，垂足为，且．
求的度数；
求证：平分；
若，，且，求的面积．

24.本小题分

如图，在中，，点从点出发沿线段移动，同时，已知点从点出发沿线段的延长线移动，点，移动的速度相同，与直线相交于点．
求证：；
过点作直线的垂线，垂足为，，在移动的过程中，线段，，中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由．

25.本小题分
在中，，，直线经过点，且于，于．
当直线绕点旋转到图的位置时
请说明≌的理由；
请说明的理由；
当直线绕点旋转到图的位置时，、、具有怎样的等量关系？请直接在横线上写出这个等量关系：______
当直线绕点旋转到图的位置时，、、具有怎样的等量关系？请直接在横线上写出这个等量关系：______．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：选项A、、不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
故选：．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．

2.【答案】 

【解析】解：将沿对折，点与点重合，则全等的三角形有≌，≌，≌，
故选：．
根据全等三角形的判定解答即可．
此题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握判定方法：、、、、．
注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．

3.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．根据全等三角形的性质即可得到结论．
【解答】
解：≌，
，，，，
，
即故A，，选项错误，选项正确，
故选：．

4.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．
注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．根据全等三角形的判定方法一一判断即可．
【解答】
解：由图形可知，
A、根据能推出≌，故本选项不符合题意；
B、没有边的条件，不能推出≌，故本选项符合题意；
C、根据能推出≌，正确，故本选项不符合题意；
D、根据能推出≌，正确，故本选项不符合题意；
故选：．

5.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查了全等三角形的应用，是基础题，熟记三角形全等的判定方法是解题的关键．
根据三角形全等的判定方法作出判断即可．
【解答】
解：带去可以利用“角边角”能配一块与原来大小一样的三角形玻璃．
故选：．

6.【答案】 

【解析】【分析】
要使≌的条件必须满足、、、，可据此进行判断．
本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、添加时注意：、不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．
【解答】
解：第组满足，能证明≌．
第组满足，能证明≌．
第组满足，能证明≌．
第组只是，不能证明≌．
所以有组能证明≌．
故符合条件的有组．
故选：．

7.【答案】 

【解析】解：，，，，
不能画出三角形，故本选项不合题意；
B.，，，不能画出唯一三角形，故本选项不合题意；
C.当，，时，根据“”可判断的唯一性；
D.已知三个角，不能画出唯一三角形，故本选项不符合题意；
故选：．
根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断．
此题主要考查了全等三角形的判定，正确把握全等三角形的判定方法是解题关键．

8.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查轴对称的性质，属于基础题．
认真观察各选项给出的图形，根据轴对称的性质，对称轴垂直平分线对应点的连线进行判断．
【解答】
解：根据轴对称的性质，结合四个选项，只有选项中对应点的连线被对称轴垂直平分，所以是符合要求的．
故选B．

9.【答案】 

【解析】解：的垂直平分线分别交、于点、，
，
，
，
，
．
故选：．
根据线段垂直平分线的性质可得，进一步可得的长．
本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．

10.【答案】 

【解析】解：过点作于，如图，
是的角平分线，，，
，
．
故选：．
过点作于，根据角平分线的性质得到，然后利用三角形的面积公式求：的值．
本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．

11.【答案】 

【解析】解：，
，
平分，
，
，
，
同理可证得，
，
即的周长为，
故选：．
利用平行线的性质和角平分线的定义可得到，所以可得，同理可得，所以的周长即为，可得出答案．
本题主要考查等腰三角形的判定和性质，由条件得到，是解题的关键．

12.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等知识，本题中熟练求证三角形全等和熟练运用全等三角形对应角、对应边相等性质是解题的关键．
根据题意易证≌，可得，可得正确，再根据角平分线的性质与三角形的外角性质可求得，即正确，根据可求得正确．
【解答】
解：为的角平分线，
，
在和中，

≌，正确；
由知，≌，
，
又，
，
，正确；
为的角平分线，，，

，，，
，
为等腰三角形，
，
又≌，
，
正确；
过作于点，

是的角平分线上的点，且，
角平分线上的点到角的两边的距离相等，
在和中，

≌，
，
在和中，

≌，
，
正确．
故选D．

13.【答案】或 

【解析】解：设点每分钟走．
若，此时，≌，
，
．
若，，≌，
，
，
故答案为或．
分两种情况：若，，则≌；若，，则≌即可得出结果．
本题考查全等三角形的判定，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．

14.【答案】或 

【解析】解：作于，作于．
分以下情况：如图，在上，在上，

，，
，
，
，，
，
与全等，
，
即，，
；
如图，在上，在上，

由知：，
，
；
，
此种情况不符合题意；
当、都在上时，如图，

，
．
综上所述，点运动时间为或，与全等，
故答案为：或．
根据题意分为三种情况，根据全等三角形的性质得出，代入得出关于的方程，求出即可．
本题考查了全等三角形的性质，以及一元一次方程的应用，熟知全等三角形的对应边相等是解题的关键．

15.【答案】 

【解析】解：过作轴于，如图所示：

，，
，，
，，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
点的坐标为．
故答案为：．
过作轴于，先证，再证明≌，可得，，即可解决问题．
本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、坐标与图形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．

16.【答案】 

【解析】解：点是的角平分线上一点，
，
添加，再加上公共边可利用判定≌；
添加，再加上公共边可利用判定≌；
添加可得，再加上公共边可利用判定≌；
添加，再加上公共边不能判定≌；
添加，再加上公共边可利用判定≌；
故答案为：．
根据全等三角形的判定定理、、、、分别进行分析即可．
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．
注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．

17.【答案】 

【解析】解：垂直平分，
，
，
同理，
，
，，
，

故答案为：．
由条件可求得，，且可求得，则可求得，再利用角的和差可求得．
本题主要考查线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．

18.【答案】 

【解析】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，过点作，垂足为，连接，

是外角平分线的交点，
，
，的面积是，
，
，
，
的面积是，
的面积的面积的面积，
，
，
的周长，
故答案为：．
过点作，垂足为，过点作，垂足为，过点作，垂足为，连接，利用角平分线的性质可得，然后根据三角形的面积求出，再利用的面积的面积的面积，进行计算即可解答．
本题考查了角平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．

19.【答案】 

【解析】解：作于，如图，

平分，，，
，
．
故答案为：．
作于，如图，根据角平分线的性质得，然后根据三角形的面积公式计算．
本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．

20.【答案】 

【解析】解：添加的钢管长度都与相等，，
，从图中我们会发现有好几个等腰三角形，
即第一个等腰三角形的底角是，第二个是，第三个是，四个是，五个是，六个是，七个是，八个是，九个是就不存在了．所以一共有个．
故答案为：．
根据已知利用等腰三角形的性质及三角形外角的性质，找出图中存在的规律，根据规律及三角形的内角和定理不难求解．
此题考查了三角形的内角和是度的性质和等腰三角形的性质及三角形外角的性质；发现并利用规律是正确解答本题的关键．

21.【答案】证明：，，

同角的余角相等．
在与中，
，
≌；
由题意知，，．
由知，≌，
，，
． 

【解析】根据全等三角形的判定定理证得结论；
利用中全等三角形的对应边相等得到：，，则．
本题主要考查了全等三角形的应用，全等的性质和判定往往是综合在一起应用的，这需要认真分析题目的已知和求证，分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系．

22.【答案】     

【解析】解：，，
，
，平分，
，，
，
故答案为：．
猜想：，证明如下，
在中，，
，平分，
，，
，
，
，
，
．
故答案为：．
连接，记的垂直平分线与的交点为点，则，，
，
≌，
，即，
是的外角，是的外角，
，，
平分，
，
，
．
先利用和的度数求出，然后结合垂线和角平分线的定义求出和，最后求出的大小；
先用和表示出，然后结合垂线与角平分线的定义表示出和，最后再求出与、的数量关系；
连接，记的垂直平分线与的交点为点，利用垂直平分线的性质得到，再利用与分别是与的外角得到与、与的关系，最后借助平分将无关的角消去得到、、的数量关系．
本题考查了三角形的内角和定理、角平分线的定义和垂线的定义，解题的关键是熟练应用整体思想用含有和的式子表示相关角．

23.【答案】解：，
，
，
，
，
，
；
证明：过点分别作于，与，

平分，
，
，
平分，
，
，
平分；
解：，，，
，
即，
解得，
，
． 

【解析】由平角的定义可求解的度数，再利用三角形的内角和定理可求解，进而可求解；
过点分别作于，与，根据角平分线的性质可证得，进而可证明结论；
利用三角形的面积公式可求得的长，再利用三角形的面积公式计算可求解．
本题主要考查角平分线的判定与性质，三角形的内角和定理，三角形的面积，掌握角平分线的判定与性质是解题的关键．

24.【答案】解：如图，过点作交于，
点和点同时出发，且速度相同，
，
，
，，
又，
，
，
，
，
在与中，
，
≌，
；
为定值，是不变的线段，
理由：由证得≌，
，
，
，
为定值． 

【解析】过点作交于，由题意可证是等边三角形，≌，即可求的长；
利用全等三角形的性质和判定可得的长度不变．
本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，添加恰当的辅助线构造全等三角形是本题的关键．

25.【答案】证明：如图中，

，，
，
，
，，
，
在和中，
，
≌．

证明：由知：≌，
，，
，
．
  ；
 

【解析】解：见答案；
见答案；
结论：．
理由：如图中，，，

，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
．

结论：．
理由如下：如图中，，


，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
．
故答案为，．
由已知推出，因为，，推出，根据即可得到答案；
由得到，，即可求出答案；
结论：与证法类似可证出，能推出≌，得到，，代入已知即可得到答案．
结论：证明方法类似．
本题主要考查了邻补角的意义，全等三角形的性质和判定等知识点，能根据已知证出符合全等的条件是解此题的关键，题型较好，综合性比较强．