2023-2024学年浙江省金华市义乌市绣湖中学教育集团九年级（上）月考数学试卷（10月份）（含解析）

2023-2024学年浙江省金华市义乌市绣湖中学教育集团九年级（上）月考数学试卷（10月份）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.下列事件中，属于必然事件的是(    )

A. 在一个只装有白球和黑球的袋中摸出红球
B. 一个三角形三个内角的和小于
C. 若是实数，则
D. 在一张纸上任意画两条线段，这两条线段相交

2.二次函数的图象的顶点是(    )

A.  B.  C.  D.

3.将函数的图象向上平移个单位，所得图象对应的函数表达式是(    )

A.  B.  C.  D.

4.已知点、、都在函数的图象上，则、、的大小关系为(    )

A.  B.  C.  D.

5.二次函数的图象的对称轴是(    )

A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线

6.一个选择题有、、、四个答案，其中只有一个是正确的，小马不知道哪个答案是正确的，就随机选了一个，小马选择正确的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

7.在同一直角坐标系中，函数与的图象大致如图(    )

A.  B.
C.  D.

8.已知，关于的一元二次方程的解为，，则下列结论正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

9.小明在期末体育测试中掷出的实心球的运动路线呈抛物线形，若实心球运动的抛物线的解析式为，其中是实心球飞行的高度，是实心球飞行的水平距离，已知该同学出手点的坐标为，则实心球飞行的水平距离的长度为(    )

A.  B.  C.  D.

10.已知二次函数的图象如图所示，则它的表达式可能是(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.五张卡片上分别写着若从中随机抽出一张，则此卡片上的数为负数的概率是______．

12.二次函数图象的顶点坐标是______．

13.当时，函数有最______ 值，是______ ．

14.已知，两点都在抛物线上，那么______．

15.如图，抛物线分别交坐标轴于，，，则的解是______．

16.如图，一次函数的图象与二次函数图象的对称轴交于点已知点是二次函数图象在轴右侧部分上的一个动点，将直线沿轴向上平移，分别交轴、轴于、两点若以为直角边的与相似，则点的坐标为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.本小题分
已知二次函数的图象经过点，．
求这个函数的解析式；
求这条抛物线的顶点坐标．

18.本小题分
学校组织春游，安排九年级三辆车，小明与小慧都可以从这三辆车中任意选一辆搭乘．
用树状图或列表法表示小明与小慧乘车所有可能出现的结果三辆车分别用甲、乙、丙表示；
求小明与小慧乘车不同的概率有多大？

19.本小题分
新定义：为二次函数为实数的“图象数”，如：的“图象数”为
二次函数的“图象数”为______．
若图象数”是的次函数的图象与轴只有一个交点，求的值．

20.本小题分

一位运动员投掷铅球的成绩是，当铅球运行的水平距离是时达到最大高度，若铅球运行的路线是抛物线，如图建立平面直角坐标系，求铅球出手时距地面的高度．

21.本小题分
已知：如图，二次函数的图象与轴交于，两点，点，抛物线经过点，为它的顶点．
求抛物线的解析式；
求的面积．

22.本小题分
某公司计划投资、两种产品，若只投资产品，所获得利润万元与投资金额万元之间的关系如图所示，若只投资产品，所获得利润万元与投资金额万元的函数关系式为．
求与之间的函数关系式；
若投资产品所获得利润的最大值比投资产品所获得利润的最大值少万元，求的值；
该公司筹集万元资金，同时投资、两种产品，设投资产品的资金为万元，所获得的总利润记作万元，若时，随的增大而减少，求的取值范围．

23.本小题分

如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于、两个不同的点，其中点在轴上．
______用含的代数式表示；
若点为该抛物线的顶点，求、的值；
设，当时，求二次函数的最小值；
若时，二次函数的最小值为，求的值．

24.本小题分
如图，在平面直角坐标系中抛物线与轴交于，两点点在点右侧，，与轴交于点直线经过点，．
求抛物线的解析式；
如图，点为上方抛物线上一点，过点作轴交直线于点，作轴交直线于点，求周长的最大值；
在的条件下，若点是轴上的动点，点为平面内一点，是否存在点，，使得以，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：在一个只装有白球和黑球的袋中摸出红球，这是不可能事件，故A不符合题意；
B.一个三角形三个内角的和小于，这是不可能事件，故B不符合题意；
C.若是实数，则，这是必然事件，故C符合题意；
D.在一张纸上任意画两条线段，这两条线段相交，这是随机事件，故D不符合题意；
故选：．
根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点判断即可．
本题考查了随机事件，必然事件，不可能事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键．

2.【答案】 

【解析】解：，
顶点坐标为．
故选：．
利用顶点式可直接得到抛物线的顶点坐标．
本题主要考查抛物线的顶点坐标，掌握二次函数的顶点式的顶点坐标为是解题的关键．

3.【答案】 

【解析】解：将函数的图象向上平移个单位，所得图象对应的函数表达式是：．
故选：．
利用二次函数与几何变换规律“上加下减”，进而求出图象对应的函数表达式．
此题主要考查了二次函数与几何变换，熟练掌握平移规律是解题关键．

4.【答案】 

【解析】解：，
函数图象的对称轴是直线，图象的开口向下，
当时，随的增大而增大，
点关于对称轴的对称点的坐标是，
，
，
故选：．
根据函数的解析式求出函数图象的对称轴是直线，根据函数的性质得出图象的开口向下，当时，随的增大而增大，求出点关于对称轴的对称点的坐标是，再根据二次函数的性质比较即可．
本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征等知识点，能熟记二次函数的性质的内容是解此题的关键．

5.【答案】 

【解析】解：，
函数图象与轴的交点坐标为，，
函数图象的对称轴为直线，
故选：．
由交点式得到函数图象与轴的交点坐标，然后利用对称性得到对称轴，
本题考查了二次函数的性质和图象，会由交点式得到函数图象与轴的交点坐标是解题的关键．

6.【答案】 

【解析】解：数学考试中的选择题一般都是单项选择，即在、、、四个备选答案中只有一个是正确的，
这种选择题任意选一个答案，正确的概率是：．
故选：．
由选择题一般都是单项选择，即在、、、四个备选答案中只有一个是正确的，直接利用概率公式求解即可求得答案．
此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．

7.【答案】 

【解析】解：对于，由抛物线可知，，由直线可知，，故本选项错误；
对于，由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项正确；
对于，由抛物线可知，，由直线可知，，故本选项错误；
对于，由抛物线可知，，由直线可知，，故本选项错误．
故选B．
根据每一选项中、的符号是否相符，逐一判断．
本题考查了一次函数和二次函数的图象．

8.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查一元二次方程与二次函数的关系，数形结合是解题的关键．
将关于的方程的解为，的问题转化为二次函数与交点的横坐标，借助图象即可得出答案．
【解答】
解：关于的一元二次方程的解为，，可以看作二次函数与直线的交点的横坐标，如图，

二次函数与轴交点坐标为，，
当时，直线与抛物线交于轴上方的部分，
又，
，
故选A．

9.【答案】 

【解析】解：把代入得：
，
，
，
令得，
解得舍去或，
实心球飞行的水平距离的长度为，
故选：．
根据出手点的坐标为，求出函数关系式，再令可解得答案．
本题考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意，能用待定系数法求出函数关系式．

10.【答案】 

【解析】解：抛物线顶点为，而，顶点在轴下方，故A不符合题意；
在中，令得，，则抛物线对称轴为直线，故B不符合题意；
图中抛物线可能是，故C符合题意；
在中，令得，，故抛物线与轴有一个交点横坐标为，故D不符合题意；
故选：．
根据二次函数图象与系数的关系判断．
本题考查二次函数的图象，解题的关键是掌握二次函数图象的顶点、对称轴、与轴轴交点等．

11.【答案】 

【解析】解：有张卡片，卡片上面分别写有数字，，，，，负数有个，
从中随机抽出一张卡片，卡片上面的数字是负数的概率为．
故答案为：．
直接利用概率公式求解即可求得答案．
此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．

12.【答案】 

【解析】解：二次函数的图象的顶点坐标是．
故答案为：．
根据顶点式直接解答即可．
本题考查了二次函数的性质，要熟悉顶点式的意义，并明确：的顶点坐标为．

13.【答案】小   

【解析】解：有最小值为，
函数的最小值为，
故答案为：小，．
先根据二次函数顶点式求出二次函数最小值，进而判断出函数的最小值．
本题考查了二次函数的最值，关键是再转化为二次根式来解答．

14.【答案】 

【解析】解：，两点都在抛物线上，
抛物线的对称轴为直线，
，
故答案为：．
根据抛物线的对称性以及对称轴公式即可得到，解得．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟知抛物线的对称性是解题的关键．

15.【答案】 

【解析】解：、，
对称轴为直线，
点的对称点的坐标为，

的解集为．
故答案为：．
根据点、的坐标确定出对称轴，再求出点的对称点的坐标，然后写出即可．
本题考查了抛物线与轴的交点，关键在于求出对称轴并得到点的对称点的坐标．

16.【答案】，，， 

【解析】解：设，则直线解析式为，
，
：：，
，，
根据勾股定理可得：
以为直角边的与相似，
当时，若：：：，则，
设的横坐标是，则点纵坐标是，
根据题意得：，
解得：，
则的坐标是：，
当时，若：：：，同理可以求得，
当时，若：：：，则，
当时，若：：：，则
故答案为：，，，
设，则直线解析式为，可知，以为直角边的与相似，分为和两种情况，分别求点坐标即可．
此题考查了一次函数与二次函数的相交问题、相似三角形的判定与性质、两点间的距离公式以及勾股定理．此题难度较大，注意掌握方程思想、分类讨论思想与数形结合思想的应用．

17.【答案】解：根据题意得，
解得，
所以二次函数解析式为；



．
所以抛物线的顶点坐标为． 

【解析】把点，分别代入得到关于、的方程组，然后解方程组求出、的值即可得到抛物线解析式；
利用顶点坐标公式计算顶点坐标．
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，正确进行计算是本题解题关键．

18.【答案】解：小明与小慧乘车的所有可能的结果可以列表如下：

共有种等可能的结果数；
小明与小慧乘车不同的结果数为，
所以二人乘车不同的概率． 

【解析】用列表法展示所有种等可能的结果数；
找出小明与小慧乘车不同的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，求出概率．

19.【答案】 

【解析】解：二次函数的“图象数”为；
故答案为；
二次函数的解析式为，
根据题意得，
解得，．
利用“图象数”的定义求解；
根据新定义得到二次函数的解析式为，然后根据判别式的意义得到，从而解的方程即可．
本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．

20.【答案】解：建立如图所示的平面直角坐标系，记顶点为，与轴交点为点，与轴交点为点，
由题意知抛物线的顶点、点，
设抛物线的解析式为，
将点代入，得：，
解得：，
则抛物线的解析式为，
当时，，
即点，
答：铅球出手时距地面的高度是 

【解析】抛物线的顶点的坐标为、点坐标为，待定系数法求得抛物线的解析式后，求出时的值即可．
本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是建立合适的平面直角坐标系利用待定系数法求得其函数解析式．

21.【答案】解：二次函数的图象经过点，，，
，，
将，分别代入，得

解得
抛物线的解析式为；
过点作轴，垂足为点，交于点，如图所示：


；
，，
设直线的解析式为，
将，分别代入，得

解得，，
直线的解析式为．
轴，
轴，
把代入，得，
，
，
的面积的面积的面积



． 

【解析】二次函数的图象经过点，，，，，再将，分别代入，即可得出，的值，问题得解；
过点作轴，垂足为点，交于点，先把二次函数解析式配成顶点式求出，，再求出直线的解析式为，根据轴求出点的坐标，根据的面积的面积的面积求出结果．
本题考查了用待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、二次函数图象与轴的交点，掌握待定系数法求二次函数解析式，用割补法求三角形的面积是解题关键．

22.【答案】解：由图象可知是抛物线的顶点，设，
将点代入上式并解得：，
故与之间的函数关系式为；
由知投资产品所获得利润的最大值为万元，
，
即投资产品所获得利润的最大值为，
，解得舍去，
故；
设投资产品的资金为万元，则投资产品的资金为万元，
由题意得：，
时，随的增大而减少，
，解得，
故的取值范围为． 

【解析】本题考查的是二次函数的应用，根据已知条件求出函数的表达式，通过表达式求出函数的最值是解题的关键．
设出顶点式，把代入求解即可；
，则，解之即可；
由题意得：，时，随的增大而减少，则，解之即可．

23.【答案】 

【解析】解：点坐标代入抛物线，得，
．
故答案为．
抛物线为，
顶点为，
，
整理得，
或舍弃．
，．
，
，
时，的最小值为．
时，二次函数的最小值为，，
当时，时，，
，
无解不合题意．
当时，时，，
，
或舍弃
．
当时，时，，
，
不合题意舍弃．
综上所述．
求出点坐标代入抛物线解析式即可．
利用配方法求出顶点坐标，代入直线解析式即可．
利用配方法，即可解决问题．
分三种情形：当时．当时．当时，分别列出方程即可解决．
本题考查二次函数的最值、一次函数等知识，解题的关键是掌握待定系数法确定函数解析式，学会构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题，属于中考常考题型．

24.【答案】解：直线，令得，
令得，解得．
，，
，
，
将，，代入得，
，解得，
抛物线的解析式为；

设点，
轴，
，，
，
，
轴，
，
，
，
，
点为上方抛物线上一点，
，
，
的周长，
，
当时，周长的最大值为；

存在，
由知时，，，
，
设，
线段为菱形的边，四边形为菱形时，如图，

，
，
，
或，
四边形为菱形，点的坐标可由点向右平移个单位长度，向下平移个单位长度得到，
点可由点向右平移个单位长度，向下平移个单位长度得到，
或；
线段为菱形的边，四边形为菱形时，如图，

，
，
，
或，
四边形为菱形，点的坐标可由点向左平移个单位长度，向上平移个单位长度得到，
点可由点向左平移个单位长度，向上平移个单位长度得到，
或；
线段为菱形的对角线，四边形为菱形时，如图，

，
，
，
设，
，解得，
，解得，

综上所述，存在，点的坐标为或或或或 

【解析】求出点，的坐标，由可得点的坐标，利用待定系数法即可求解；
设点，可得、的坐标，利用勾股定理求出，，，根据二次函数的最值即可求解；
分三种情况画出图形，根据菱形的性质即可求解．
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求抛物线、坐标与图形性质、勾股定理、菱形的性质、两点间的距离、二次函数的性质、一次函数的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握待定系数法和菱形的性质，分类讨论是解题的关键．