2023-2024学年广东省汕头市潮阳实验学校九年级（上）第一次月考数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年广东省汕头市潮阳实验学校九年级（上）第一次月考数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023-2024学年广东省汕头市潮阳实验学校九年级（上）第一次月考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )A.  B.  C.  D. 2.方程的根的情况为(    )A. 有一个实数根 B. 有两个不相等的实数根
C. 没有实数根 D. 有两个相等的实数根3.点关于原点的对称点的坐标是(    )A.  B.  C.  D. 4.抛物线的顶点坐标是(    )A.  B.  C.  D. 5.某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送张照片，如果设全班有名同学，根据题意，列出方程为(    )A.  B.
C.  D. 6.用配方法解关于的一元二次方程，配方后的方程可以是(    )A.  B.  C.  D. 7.已知抛物线，，，是抛物线上三点，则，，由小到大序排列是(    )A.  B.  C.  D. 8.如图，将绕点按逆时针方向旋转后得到，若，则的度数是(    )A.
B.
C.
D. 9.在如图的正方形网格中，绕某点旋转一定的角度，得到，则其旋转中心可能是(    )

 A. 点 B. 点 C. 点 D. 点10.如图，垂直于轴的直线分别与抛物线：和抛物线：交于，两点，过点作轴分别与轴和抛物线交于点，，过点作轴分别与轴和抛物线交于点，，则的值为(    )A.
B.
C.
D. 二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11.方程的解是______．12.抛物线先向右平移个单位，再向下平移个单位后的解析式是______ ．13.点绕原点顺时针旋转后得点，则点的坐标是______．14.如图是抛物线的图象的一部分，请你根据图象写出方程的两根是______．
 15.已知为实数，且满足，那么______．16.已知二次函数，当时，函数的最大值为，则的值是______ ．三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.本小题分
用公式法解方程：．18.本小题分
已知关于的一元二次方程有两个实数根．
求的取值范围；
设是方程的一个实数根，且满足，求的值．19.本小题分
在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为个单位的正方形，的三个顶点都在格点上每个小方格的顶点叫格点．
作关于点的中心对称图形；
作绕点沿顺时针方向旋转而得到的．
 
 
 20.本小题分
已知关于的方程．
求证：无论为何值，该方程总有两个不相等的实数根；
若该方程的两个根为，，满足，求的值．21.本小题分
菜农李伟种植的某蔬菜计划以元千克的单价对外批发销售，由于部分菜农盲目扩大种植，造成蔬菜滞销，李伟为了加快销售，减少损失，对价格进行两次下调后，以元千克的单价对外批发销售．
求平均每次下调的百分率；
如果李伟按以前的调价方案再进行一次调价，蔬菜的批发价会跌破元千克吗？22.本小题分
某电商店铺销售一种儿童服装，其进价为每件元，现在的销售单价为每件元，每周可卖出件，双十二期间，商家决定降价让利促销，经过市场调查发现，单价每降低元，每周可多卖出件．
若想满足每周销售利润为元，同时尽可能让利于顾客，则销售单价应定为多少元？
销售单价为多少元时，该店铺每周销售利润最大？最大销售利润为多少元？23.本小题分

如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以厘米秒的速度移动，点从点开始沿边向点以厘米秒的速度移动，当点到达点或点到达点时，两点停止移动，如果、分别是从、同时出发，秒钟后，
求出的面积；
当的面积等于平方厘米时，求的值．
是否存在的面积等于平方厘米，若存在，求出的值，若不存在，说明理由．
24.本小题分
【阅读材料】配方法是数学中重要的一种思想方法它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．
我们定义：一个整数能表示成、是整数的形式，则称这个数为“完美数”例如，是“完美数”理由：因为，所以是“完美数”．
【解决问题】
数 ______ “完美数”填“是”或“不是”；数 ______ “完美数”填“是”或“不是”；
【探究问题】
已知，则 ______ ；
【拓展提升】
已知、是整数，是常数，要使为“完美数”，试求出符合条件的值，并说明理由．25.本小题分
如图，抛物线经过，两点，与轴交于点，为第一象限抛物线上的动点，连接，，，，与相交于点．
求抛物线的解析式．
是否存在点，使得的面积最大，若存在，请求出点的坐标，若不存在，说明理由．
设的面积为，的面积为，时，求点的坐标．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B.既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
C.不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；
D.不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：．
根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形，熟记相关定义是解答本题的关键．2.【答案】 【解析】解：，
，
方程有两个相等的实数根．
故选：．
要判定方程根的情况，首先求出其判别式，然后判定其正负情况即可作出判断．
此题利用了一元二次方程根的情况与判别式的关系：
方程有两个不相等的实数根；
方程有两个相等的实数根；
方程没有实数根．3.【答案】 【解析】解：点关于原点对称，
点关于原点对称的点的坐标为．
故选：．
平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，即：求关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆．
本题考查关于原点对称的点的坐标特征，这一类题目是需要识记的基础题，记忆时要结合平面直角坐标系．4.【答案】 【解析】解：抛物线的顶点坐标是，
故选：．
根据顶点式解析式即可解答．
此题考查了顶点式解析式的组成特点：中顶点坐标为．5.【答案】 【解析】解：某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，且全班有名同学，
每名同学需送出张照片．
依题意得：．
故选：．
根据题意可得出每名同学需送出张照片，利用全班共送出的照片数量全班人数全班人数，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．6.【答案】 【解析】解：把方程的常数项移到等号的右边，得到，
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到，
配方得．
故选：．
在本题中，把常数项移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数的一半的平方．
本题考查了配方法的一般步骤：
把常数项移到等号的右边；
把二次项的系数化为；
等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为，一次项的系数是的倍数．7.【答案】 【解析】解：抛物线，，
该抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向上，
当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，
，，是抛物线上三点，，，，
，
故选：．
根据抛物线，可以得到该抛物线的对称轴和开口方向，再根据，，是抛物线上三点，即可得到，，的大小关系．
本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．8.【答案】 【解析】解：将绕点按逆时针方向旋转后得到，，
，，
，
．
故选：．
根据旋转的性质得，，根据图形可得．
本题主要考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题关键．9.【答案】 【解析】【分析】
本题考查了学生的理解能力和观察图形的能力，重点掌握旋转的性质，注意：旋转时，对应顶点到旋转中心的距离应相等且旋转角也相等，对称中心在连接对应点线段的垂直平分线上．
连接、、，分别作、、的垂直平分线，看看三线都过哪个点，那个点就是旋转中心．
【解答】
解：绕某点旋转一定的角度，得到，
连接、、，

作的垂直平分线过、、，
作的垂直平分线过、，
作的垂直平分线过，
三条线段的垂直平分线正好都过，
即旋转中心是．
故选：．10.【答案】 【解析】解：设点、横坐标为，则点纵坐标为，点的纵坐标为，
轴，
点纵坐标为，
点是抛物线上的点，
点横坐标为，
轴，点纵坐标为，
点是抛物线上的点，
点横坐标为，
，，，，
．
故选：．
可以设、横坐标为，易求得点、、的坐标，即可求得、、、的长度，即可解题．
本题考查了抛物线上点的计算，考查了三角形面积的计算，本题中求得点、、的坐标是解题的关键．11.【答案】或 【解析】解：原方程可化为：，

解得或，
故答案为：或．
此题用因式分解法比较简单，先移项，再提取公因式，可得方程因式分解的形式，即可求解．
本题考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法，此题方程两边公因式较明显，所以本题运用的是因式分解法．12.【答案】 【解析】解：将抛物线向右平移个单位长度所得直线解析式为：；
再向下平移个单位为：，即．
故答案为：．
根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．13.【答案】 【解析】解：将点绕原点旋转得点可得：点的坐标为，
故答案为：．
将点绕原点旋转得点，根据旋转的性质即可得出答案．
本题考查了旋转的性质的应用，根据旋转的性质解答是解此题的关键．14.【答案】， 【解析】解：由图可知，抛物线与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，
设抛物线与轴的另一交点为，则，解得，
方程的两根是，．
故答案为：，．
设抛物线与轴的另一交点为，根据中点坐标公式即可得出的值，进而得出结论．
本题考查的是抛物线与轴的交点，熟知二次函数是常数，的交点与一元二次方程根之间的关系是解答此题的关键．15.【答案】 【解析】解：设，
方程变形得：，即，
解得：或，即或无解，
故答案为：．
设，方程变形后，求出解得到的值，即可确定出的值．
此题考查了换元法解一元二次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．16.【答案】或 【解析】解：，
故该抛物线的对称轴为直线，
当时，抛物线开口向上，且时，函数的最大值为，
即时，，
代入求得；
当时，抛物线开口向下，且时，函数的最大值为，
即时，，
代入求得，
的值为或，
故答案为：或．
将二次函数的解析式配方成顶点式，分和两种情况分析即可．
本题主要考查二次函数的性质，二次函数的最值，根据二次函数的增减性分类讨论是解题的关键．17.【答案】解：，
，，，
，
，
． 【解析】先找出方程中二次项系数，一次项系数及常数项，然后计算出根的判别式，由根的判别式大于，得到方程有解，将，及的值代入求根公式即可求出原方程的解．
此题考查了解一元二次方程公式法，利用此方法解方程时首先将方程化为一般形式，找出二次项系数，一次项系数及常数项，当时，代入求根公式来求解．18.【答案】解：根据题意得，解得；

是方程的一个实数根，则，则，
则即，
解得：舍去或．
故的值为． 【解析】若一元二次方程有两实数根，则根的判别式，建立关于的不等式，求出的取值范围．
是方程的一个实数根，则，则，代入，求得的值．
本题考查了方程的根的定义以及根的判别式，中注意求得的要满足中的范围．19.【答案】解：如图，即为所求；

如图，即为所求． 【解析】根据旋转的性质即可作关于点的中心对称图形；
根据旋转的性质即可作绕点沿顺时针方向旋转而得到的．
本题考查了作图旋转变换，解决本题的关键是掌握旋转的性质．20.【答案】方法一：
证明：整理原方程，得，
，
无论为何值，该方程总有两个不相等的实数根；
方法二：
证明：解方程，
解得：，，
，
无论为何值，该方程总有两个不相等的实数根
解：由根与系数的关系得，，
，
，
解得：． 【解析】根据方程的系数结合根的判别式即可得证；根据直接开平方法求出一元二次方程的解，再进行证明；
根据一元二次方程根与系数的关系，列出关于的方程，即可求解．
本题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，掌握根的判别式和根与系数的关系的公式，正确列出不等式和方程求解是关键．21.【答案】解：设平均每次下调的百分率为，根据题意可得：
，
解得：不合题意舍去，．
答：平均每次下调的百分率为；

若再次下调则下调后价格为：元元，
答：蔬菜的批发价不会跌破元千克． 【解析】此题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意表示出第次下调后价格是解题关键．
利用原数是，每次下降的百分率为，则第一次下降后为；第二次下降后为，即原数下降百分率后来数，进而求出即可；
利用中所求的下降率，进而求出再进行一次调价后的价格，进而得出答案．22.【答案】解：设销售单价为元，由题意得：
，
整理得：，
解得：，，
尽可能让利于顾客，
不符合题意，
．
销售单价应定为元．
设该店铺每周销售利润为元，由题意得：

，
，抛物线开口向下，对称轴为直线：，
当时，有最大值，最大值为元，
销售单价应为元，该店铺每周销售利润最大，最大销售利润为元． 【解析】设销售单价为元，则每件服装的利润为元，每周能卖出件，根据总利润等于每件的利润乘以销售量，列出关于的方程，求解并作出取舍即可．
设该店铺每周销售利润为元，根据总利润等于每件的利润乘以销售量，列出关于的二次函数关系式，根据二次函数的性质可得答案．
本题考查了一元二次方程和二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．23.【答案】解：依题意：，，
所以的面积为：；

依题意：，即
解之得：，，
当的面积等于平方厘米时，的值为或；

不存在；
假设存在的面积等于平方厘米，
则，即，，故方程无实数根，
不存在的面积等于平方厘米． 【解析】的面积为，其中，，分别用关于的代数式代入面积公式即可；
令由求出的面积公式的代数式，解该方程得出的值；
假设存在使的面积等于平方厘米，令的代数式，看该方程是否有根，若有则证明存在，若无则不存在．
本题主要考查的是一元二次方程的应用，列出关于三角形面积的关系式，对于面积为平方米或平方米时，列出方程求解．24.【答案】不是  是   【解析】解：数不是“完美数”；
，数是“完美数”．
故答案为：不是，是；
已知等式变形得：，
即，
，，
，，
解得：，，
则．
故答案为：；
当时，为“完美数”，理由如下：


，
是完美数，
是完全平方式，
．
根据“完美数”的定义即可求解；
已知等式利用完全平方公式配方后，根据非负数的性质求出与的值，即可求出的值；
根据为“完美数”，利用完全平方公式配方，确定出的值即可．
此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．25.【答案】解：抛物线经过，两点，
，
解得，
抛物线的解析式为；
存在点，使得的面积最大，理由如下：
过作轴交于，如图：

在中，令得，
，
由，可得直线解析式为，
设，则，
，
，
，
当时，取最大值，此时的坐标为；
设，
，，
，
，
，
，
解得或，
的坐标为或． 【解析】用待定系数法可得抛物线的解析式为；
过作轴交于，求出，直线解析式为，设，则，，可得，根据二次函数性质可得答案；
设，由，知，即，即可解得答案．
本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．