山东省济宁市金乡县2023-2024学年九年级上学期月考数学试卷（10月份）

2023-2024学年山东省济宁市金乡县九年级（上）月考数学试卷（10月份）

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.下列图案中是中心对称图形但不是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.如图，将向下平移个单位，再绕点按逆时针方向旋转，得到，点的对应点的坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

3.下列方程是一元二次方程的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是(    )

A. 且 B.  C. 且 D.

5.已知二次函数，下列说法正确的是(    )

A. 对称轴为 B. 时，随的增大而减小
C. 函数的最大值是 D. 函数的最小值是

6.在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是(    )

A.  B.  C.  D.

7.一个群里共有个好友，每个好友都分别给群里的其他好友发一条信息，共发信息条，则可列方程(    )

A.  B.  C.  D.

8.如表中列出了二次函数的一些对应值，则一元二次方程的一个近似解的范围是(    )

A.  B.  C.  D.

9.如图，在中，，，，点从点沿向点以的速度运动，同时点从点沿向点以的速度运动点运动到点停止，在运动过程中，四边形的面积的最小值为(    )

A.
B.
C.
D.

10.如图，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴的交点在和之间不包括这两点，对称轴为直线下列结论：；；；；其中正确的结论有个．(    )

A.
B.
C.
D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.已知点关于原点的对称点为，则______ ．

12.已知为方程的一个根，则代数式的值为______ ．

13.某西瓜经营户以元千克的价格购进一批西瓜，以元千克售出，每天可售出千克，经调查，售价每降元，每天多卖千克，另外，每天的其它固定成本元当定价为______ 元能获得最大利润．

14.代数学中记载，形如的方程，求正数解的几何方法是：“如图，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为”小唐按此方法解关于的方程时，构造出如图所示的图形，已知阴影部分的面积为，则该方程的正数解为______ ．

15.在平面直角坐标系内，抛物线与线段有两个不同的交点，其中点，点有下列结论：直线的解析式为；方程有两个不相等的实数根；的取值范围是或，其中，正确结论有______ 填序号

三、解答题（本大题共7小题，共55.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.本小题分
解下列方程：
；
．

17.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，请解答下列问题：
若经过平移后得到，已知点的坐标为作出并写出其余两个顶点的坐标；
将绕点按顺时针方向旋转得到，作出；
若将绕某一点旋转可得到，直接写出旋转中心的坐标．

18.本小题分
掷实心球是兰州市高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图是一名女生投实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图所示，掷出时起点处高度为，当水平距离为时，实心球行进至最高点处．

求关于的函数表达式．
根据兰州市高中阶段学校招生体育考试评分标准女生，投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于，此项考试得分为满分分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由．

19.本小题分
随着人民生活水平的不断提高，我市家庭轿车的拥有量逐年增加据统计，某小区年底拥有家庭轿车辆，年底家庭轿车的拥有量达到辆．
若该小区年底到年底家庭轿车拥有量的年平均增长率都相同，求该小区到年底家庭轿车将达到多少辆？
为了缓解停车矛盾，该小区决定投资万元再建造若干个停车位据测算，建造费用分别为室内车位元个，露天车位元个，考虑到实际因素，计划露天车位的数量不少于室内车位的倍，但不超过室内车位的倍，求该小区最多可建两种车位各多少个？试写出所有可能的方案．

20.本小题分
施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为米，宽度为米，现在点为
原点，所在直线为轴建立直角坐标系如图所示．
直接写出点及抛物线顶点的坐标；
求出这条抛物线的函数解析式；
施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”，使、点在抛物线上，、点在地面上．为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆、、的长度之和的最大值是多少？请你帮施工队计算一下．

21.本小题分
阅读下面材料：
小伟遇到这样一个问题：如图，在正三角形内有一点，且，，，求的度数；
小伟是这样思考的：如图，利用旋转和全等的知识构造，连接，得到两个特殊的三角形，从而将问题解决．

请你回答：图中的度数等于______直接写答案
参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：
如图，在正方形内有一点，且，，．
求的度数；
求正方形的边长．

22.本小题分

如图，，分别是抛物线：上的三点，点为抛物线上一动点．
求此抛物线的解析式．
当是以为一直角边的直角三角形时，求此时点的坐标．
若点在抛物线上、两点之间移动时，是否存在一个位置，使的面积最大？若存在，请求此时点的坐标．若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：原图既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B.原图不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C.原图是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项符合题意；
D.原图不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意．
故选：．
直接根据中心对称图形和轴对称图形的定义逐项分析．
本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义．在平面内，一个图形经过中心对称能与原来的图形重合，这个图形叫做叫做中心对称图形；一个图形的一部分，以某条直线为对称轴，经过轴对称能与图形的另一部分重合，这样的图形叫做轴对称图形．

2.【答案】 

【解析】解：如图，

则为所求，
点的对应点的坐标是，
故选：．
根据平移和旋转的性质，将向下平移个单位，再绕点按逆时针方向旋转，得到，即可得点的对应点的坐标．
本题考查了坐标与图形变换旋转、平移，解决本题的关键是掌握旋转的性质．

3.【答案】 

【解析】解：、，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B、，是一元二次方程，故本选项符合题意；
C、，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D、，不是一元二次方程，故本选项不符合题意．
故选：．
根据一元二次方程的定义，逐项判断即可求解．
本题考查了一元二次方程的定义，属于基础概念题型，只含有一个未知数，并且含未知数的项的最高次数是的整式方程叫做一元二次方程，熟知一元二次方程的概念是解题关键．

4.【答案】 

【解析】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
解得：且，
的取值范围是且．
故选：．
由二次项系数非零及根的判别式，可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围．
本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，利用二次项系数非零及根的判别式，找出关于的一元一次不等式组是解题的关键．

5.【答案】 

【解析】解：对于选项A：对称轴为，故A不符合题意；
对于选项B：时，随的增大而增大，故B不符合题意；
对于选项C：函数的最大值是，故C符合题意；
对于选项D：函数的最大值是，故D不符合题意；
故选：．
利用二次函数的性质解答．
本题考查了二次函数的性质，难度较小．

6.【答案】 

【解析】解：由直线可知，由抛物线开口向上，，不符合题意．
B.由抛物线开口向上，抛物线与轴交点在轴下方，在，不符合题意．
C.由直线可知，由抛物线开口向下，抛物线与轴交点在轴下方，，符合题意．
D.由直线可知，抛物线开口向下，不符合题意．
故选：．
根据各选项图象判断的取值范围求解．
本题考查二次函数与一次函数的性质，解题关键是掌握函数图象与系数的关系．

7.【答案】 

【解析】解：根据题意得：．
故选：．
利用发信息的总数群里好友的人数群里好友的人数，即可列出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

8.【答案】 

【解析】解：时，，时，，对称轴为，又当时，，时，，函数在上随的增大而增大，得
一元二次方程的一个近似解在
，
故选：．
根据函数的增减性：函数在上随的增大而增大，可得答案．
本题考查了图象求一元二次方程的近似根，两个函数值的积小于零时，方程的解在这两个函数值对应的自变量的中间．

9.【答案】 

【解析】解：在中，，，，
，
设运动时间为，则，，
，
，
，
，
当时，四边形的面积取最小值，最小值为．
故选：．
在中，利用勾股定理可得出，设运动时间为，则，，利用分割图形求面积法可得出，利用配方法即可求出四边形的面积最小值，此题得解．
本题考查了二次函数的最值以及勾股定理，利用分割图形求面积法找出是解题的关键．

10.【答案】 

【解析】解：函数开口方向向上，
；
对称轴在轴右侧，
、异号，，
抛物线与轴交点在轴负半轴，
，
，
故正确；
图象与轴交于点，对称轴为直线，
图象与轴的另一个交点为，
当时，，
，
故错误；
解法一：由图象知：抛物线与轴有两个交点，
，
，
，
；
解法二：图象与轴交于点，
当时，，
，即，，
对称轴为直线，
，即，
，
，
，
，
故错误；
图象与轴的交点在和之间，

，
；
故正确；
，
，即；
故正确；
正确结论为：，有个，
故选：．
根据对称轴为直线及图象开口向下可判断出、、的符号，从而判断；根据对称轴得到函数图象经过，则得的判断；根据图象经过可得到、、之间的关系，从而对作判断；从图象与轴的交点在和之间可以判断的大小得出的正误．
本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与轴的交点位置确定．利用数形结合的思想是解题的关键．

11.【答案】 

【解析】解：点关于原点的对称点为，
则，，
，
故答案为：．
根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得、的值．
此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．

12.【答案】 

【解析】解：是方程的一个根，
，
，

．
故答案为：．
先根据一元二次方程解的定义得到，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．

13.【答案】 

【解析】解：设每千克售价为元，设每天利润为元，
根据题意得，
，
当时，，
答：当每千克西瓜的售价为元能获得最大利润．
故答案为：．
设每天利润为元，则，可知当时，，所以当每千克西瓜的售价为元时，每天的利润最大，最大利润是元．
此题重点考查二次函数的应用、二次函数的性质等知识，正确地用代数式表示每千克西瓜的利润及每天的销售量是解题的关键．

14.【答案】 

【解析】解：，
阴影部分的面积为，
，
设，
则，
同理：先构造一个面积为的正方形，
再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的矩形，
得到大正方形的面积为，
则该方程的正数解为，
故答案为：．
根据已知的数学模型，同理可得空白小正方形的边长为，先计算出大正方形的面积阴影部分的面积个小正方形的面积，可得大正方形的边长，从而得结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

15.【答案】 

【解析】解：设解析式为，代入，代入，，
解得，
解析式为，故正确；
抛物线与直线的解析式为有两个不同的交点，
 ，
即方程有两个不相等的实数根，故正确；
当时，，解得，
当时，
，
解得．
综上所述或故正确．
故答案为：．
设解析式为，代入，代入，即可得到答案；
抛物线与直线的解析式为有两个不同的交点，令，即可得到答案；
分和两种情况讨论，根据题意列出不等式组，可求的取值范围．
本题考查了二次函数的图象和系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象上点的坐标特征，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键．

16.【答案】解：，
，
，
，
解得，．
，
，
或，
解得，． 

【解析】根据配方法将方程转化为，开平方即可．
根据因式分解法将方程转化为，再求解即可．
本题考查解一元二次方程因式分解法、配方法，熟练掌握一元二次方程的解法是解答本题的关键．

17.【答案】解：如图所示．
点，．
如图所示．
如图，点即为所求的旋转中心，
旋转中心的坐标为． 

【解析】根据平移的性质作图，可得出答案．
根据旋转的性质作图，可得出答案．
连接，，，再分别作出线段，，的垂直平分线，交点即为所求的旋转中心，可得出答案．
本题考查作图旋转变换、平移变换，熟练掌握旋转和平移的性质是解答本题的关键．

18.【答案】解：设关于的函数表达式为．
把代入解析式，得，
解得．
．
该女生在此项考试中是得满分．
理由：令，即，
解得，舍去．
该女生投掷实心球从起点到落地点的水平距离为，大于．
该女生在此项考试中是得满分． 

【解析】根据题意设出关于的函数表达式，再用待定系数法求函数解析式即可；
根据该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，令，解方程即可．
本题考查二次函数的应用和一元二次方程的解法，关键是理解题意把函数问题转化为方程问题．

19.【答案】解：设家庭轿车拥有量的年平均增长率为，
则
解得，或不合题意，舍去

答：该小区到年底家庭轿车将达到辆；

设该小区可建室内车位个，露天车位个，
则由得
代入得
是正整数
或
当时，当时．
方案一：建室内车位个，露天车位个；
方案二：室内车位个，露天车位个． 

【解析】增长率的问题，用解增长率问题的模型解答；
根据两种车位数量是未知数，建立等式和不等式两种关系，而车位数为整数，变无数解为有限解．方案也就出来了．
本题考查了一元二次方程的应用，解答综合题，需要由浅入深，认真读题，理解题意，合理设未知数，分步解答．

20.【答案】解：，

顶点坐标
设
又图象经过

这条抛物线的函数解析式为，即；

设

四边形是矩形，
，
根据抛物线的轴对称性，可得：，
，即，
令．
当，最大值为
、、的长度之和最大值为米． 

【解析】确定了抛物线的顶点式，可以设抛物线的顶点式，又过原点，就可以确定抛物线解析式；设，由对称性得，这样就可以用含的式子表示、、了，为求三根木杆、、的长度之和的最大值，提供依据．
关于抛物线解析式的求法，还可以设交点式，把顶点坐标代入求；要弄清楚线段长度与点的坐标的关系．

21.【答案】解：；
如图，把绕点逆时针旋转得到，

易得，，，，
是等腰直角三角形，
，，
，，
，
，
，
故；
由知，
点、、三点共线，
过点作于，
则，
，
在中，． 

【解析】【分析】
本题考查了等边三角形的性质，正方形的性质，勾股定理以及勾股定理逆定理的应用，求正方形的边长有一定的难度，作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．
把绕点逆时针旋转得到，可得，，，证出是等边三角形，由等边三角形的性质求出，，再由勾股定理逆定理求出，求出，即为的度数；
把绕点逆时针旋转得到，可得，，，证出是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质求出，，再利用勾股定理逆定理求出，然后求出，即为的度数；
求出点、、三点共线，过点作于，根据等腰直角三角形的性质求出，然后求出，在中，利用勾股定理求出即可．
【解答】
解：如图，把绕点逆时针旋转得到，

易得，，，，
是等边三角形，
，，
，，
，
，
；
故；
故答案为：．
见答案；
见答案．

22.【答案】解：将，，代入，得：
，解得：，
抛物线的解析式为．
设点的坐标为．
点的坐标为，点的坐标为，
，，．
分两种情况考虑：
当时，，即，
整理，得：，
解得：舍去，，
点的坐标为；
当时，，即，
整理，得：，
解得：，舍去，
点的坐标为．
综上所述：当是以为一直角边的直角三角形时，点的坐标为或．
存在，如图过点作轴交直线于点．
设直线的解析式为，
将，代入，得：
，解得：，
直线的解析式为．
设点的坐标为，则点的坐标为，
，
．
，
当时，取得最大值，此时最大值为，
当的面积取最大值时，点的坐标为 

【解析】根据点，，的坐标，利用待定系数法可求出抛物线的解析式；
设点的坐标为，由点，的坐标，利用两点间的距离公式可求出，，的值，分和两种情况考虑：当时，由勾股定理可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值舍去和点重合的点，进而可得出点的坐标；当时，由勾股定理可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值舍去和点重合的点，进而可得出点的坐标；
过点作轴交直线于点，由点，的坐标，利用待定系数法可求出直线的解析式，设点的坐标为，则点的坐标为，进而可得出的长，再利用三角形的面积公式可得出关于的函数关系式，利用二次函数的性质即可解决最值问题．
本题考查了待定系数法求二次函数解析式、待定系数法求一次函数解析式、勾股定理、两点间的距离、解一元二次方程、三角形的面积以及二次函数的性质，解题的关键是：根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；分和两种情况，利用勾股定理求出点的坐标；利用三角形的面积，找出关于的函数关系式．