13.2 三角形全等的判定 华东师大版数学八年级上册素养提升练(含解析)
展开第13章 全等三角形
13.2 三角形全等的判定
基础过关全练
知识点1 全等三角形及相关概念
1.(2023吉林长春一零三中学期末)如图,△ABC≌△ADE,若∠B=30°,∠E=110°,则∠CAB的度数为 ( )
A.40° B.20° C.15° D.10°
2.【方程思想】一个三角形的三条边的长分别是3,5,7,另一个三角形的三条边的长分别是3,3x-2y,x+2y.若这两个三角形全等,则x,y的值分别是 .
3.(2023江苏盐城滨海期中改编)如图,点E在AB上,∠B=∠BEC,△ABC≌△DEC,求证:EC平分∠BED.
知识点2 利用“边角边(S.A.S.)”判定三角形全等
4.【教材变式·P65T3】如图,把两根钢条的中点连在一起,可以做成一个测量工件内槽宽的工具(卡钳),由三角形全等可知,工件内槽宽AB=A'B',那么判定△OAB≌△OA'B'的理由是 .
5.【倍长中线法】如图,△ABC中,AB=8,AC=6,AD是BC边上的中线,则AD长的取值范围是 .
6.【8字型】【教材变式·P64例1】(2023四川巴中平昌期末)如图,在△AOD和△BOC中,AB与CD相交于点O,AO=BO,CO=DO.
求证:(1)△AOD≌△BOC;
(2)AD∥BC.
7.(2023江苏扬州邗江期中)如图,△ABO≌△CDO,点E、F在线段AC上,且AF=CE,试判断FB与ED的关系,并说明理由.
知识点3 利用“角边角(A.S.A.)”或“角角边(A.A.S.)”判定三角形全等
8.(2023福建龙岩长汀月考)如图,在△ABC中,F是高AD和BE的交点,BD=12,DC=9,AD=BD,则线段AF的长度为 ( )
A.1 B.2 C.4 D.3
9.(2022北京海淀外国语实验学校期中)如图,△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,DE⊥AB,垂足为E,AB=10,AC=6,则BE的长为 .
10.(2023北京海淀八一学校期中)已知:如图,点B,F,C,E在同一条直线上,AB∥DE,AB=DE,∠A=∠D.求证:△ABC≌△DEF.
11.【A字型】(2023江苏淮安洪泽湖初中月考)已知:如图,AD=AE,点D、E分别在AB、AC上,∠B=∠C.求证:AB=AC.
12.【一线三等角模型】(2023山东聊城东阿实验中学月考)如图,已知在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,分别过B、C向过A的直线作垂线,垂足分别为E、F.
(1)如图1,过A的直线与斜边BC不相交时,求证:EF=BE+CF;
(2)如图2,过A的直线与斜边BC相交时,其他条件不变,若BE=10,CF=3,求EF的长.
图1 图2
知识点4 利用“边边边(S.S.S)”判定三角形全等
13.【风筝型】两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”,如图,四边形PCQD是一个筝形,其中PC=PD,CQ=DQ,PQ、CD交于点E,在探究筝形的性质时,得到如下结论:①△PCQ≌△PDQ;②PQ⊥CD;③CE=DE;
④S四边形PCQD=PQ·CD.其中正确的结论有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
14.【跨学科·语文】【新独家原创】“撑着油纸伞,独自彷徨在悠长、悠长又寂寥的雨巷……”,《雨巷》中的油纸伞是中国传统手工艺品之一,起源于中国,多纸制或布制.油纸伞的制作工艺十分巧妙,如图,伞圈D沿着伞柄AP滑动时,总有伞骨BD=CD,AB=AC,从而使得伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的∠BAC.请你说明其中的道理.
15.(2023重庆十八中期末)如图,已知A、F、C、D在同一条直线上,BC=EF,AB=DE,AC=FD.
求证:(1)BC∥EF;
(2)BF=CE.
知识点5 利用“斜边直角边(H.L.)”判定直角三角形全等
16.如图,在△ABC和△DEF中,∠A=∠D=90°,AC=DE,若要用“斜边直角边(H.L.)”直接证明Rt△ABC≌Rt△DFE,则还需补充条件: .(填一个即可)
17.【连公共边法】已知:如图,CB=CD,分别过点B和点D作AB⊥BC,AD⊥DC,两垂线相交于点A.求证:AB=AD.
18.(2023江苏淮安洪泽湖初中月考)已知:如图,AB⊥AC,CD⊥AC,AD=CB, 则△ABC与△CDA全等吗?为什么?
19.(2023福建福州福清西山学校月考)如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,DE⊥AB于点E,F在AC上,BD=DF.
(1)求证:CF=EB;
(2)求证:AB=AF+2EB.
能力提升全练
20.【新情境·仿古家具】(2022江苏扬州中考,6,★☆☆)如图,小明家仿古家具的一块三角形形状的玻璃坏了,需要重新配一块.小明通过电话给玻璃店老板提供相关数据,为了方便表述,将该三角形记为△ABC,提供下列各组元素的数据,配出来的玻璃不一定符合要求的是
( )
A.AB,BC,CA
B.AB,BC,∠B
C.AB,AC,∠B
D.∠A,∠B,BC
21.(2022四川成都中考,4,★☆☆)如图,在△ABC和△DEF中,点A,E,B,D在同一直线上,AC∥DF,AC=DF,只添加一个条件,能判定△ABC≌△DEF的是 ( )
- BC=DE
- B.AE=DB
- ∠A=∠DEF
- D.∠ABC=∠D
22.(2022云南中考,11,★☆☆)如图,OB平分∠AOC,D、E、F分别是射线OA、射线OB、射线OC上的点,D、E、F与O点都不重合,连结ED、EF.若添加下列条件中的某一个,就能使△DOE≌△FOE.你认为要添加的那个条件是 ( )
- OD=OE
- B.OE=OF
C.∠ODE=∠OED
D.∠ODE=∠OFE
23.(2022吉林中考,15,★☆☆)如图,AB=AC,∠BAD=∠CAD.求证:BD=CD.
24.【手拉手模型】(2023重庆凤鸣山中学教育集团期末改编,23,★★☆)如图,点D在△ABC的外部,点E在BC边上,DE与AB交于点O,∠1=∠2,AB=AD,BC=DE.
(1)求证:AC=AE;
(2)若∠AEC=50°,∠BAE=20°,求∠D的度数.
素养探究全练
25.【应用意识】如图,已知△ABC中,∠A=∠B,AC=CB=20 cm,AB=16 cm,点D为AC的中点.
(1)如果点P在线段AB上以6 cm/s的速度由A点向B点运动,同时,点Q在线段BC上由B点向C点运动.
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,经过1 s后,△APD与△BPQ是否全等?说明理由;
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等,当点Q的运动速度为多少时,能够使△APD与△BQP全等?
(2)若点Q以(1)②中的运动速度从点B出发,点P以原来的运动速度从点A同时出发,都逆时针沿△ABC三边运动,求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇.
备用图
答案全解全析
基础过关全练
1.A ∵△ABC≌△ADE,∠E=110°,∴∠C=∠E=110°,
∵∠B=30°,∴∠CAB=180°-∠B-∠C=180°-30°-110°=40°.故选A.
2.答案 3,2或3,1
解析 由题意得或
解得或
3.证明 ∵△ABC≌△DEC,
∴∠B=∠DEC,
∵∠B=∠BEC,
∴∠BEC=∠DEC,
∴EC平分∠BED.
4.答案 S.A.S.
解析 ∵O是AA'、BB'的中点,
∴OA=OA',OB=OB',
在△OAB和△OA'B'中,
∴△OAB≌△OA'B'(S.A.S.).
5.答案 1<AD<7
解析 如图,延长AD到点E,使ED=AD,则AE=2AD,连结CE,
∵AD是△ABC的中线,
∴CD=BD,
在△ECD和△ABD中,
∴△ECD≌△ABD(S.A.S.),
∴EC=AB=8,
∵AC=6,且EC-AC<AE<EC+AC,
∴8-6<2AD<8+6,解得1<AD<7.
6.证明 (1)在△AOD和△BOC中,
∴△AOD≌△BOC(S.A.S.).
(2)∵△AOD≌△BOC,
∴∠A=∠B,∴AD∥BC.
7.解析 FB=ED,FB∥ED.理由如下:
∵△ABO≌△CDO,
∴BO=DO,AO=CO,
∵AF=CE,∴OF=OE,
在△BOF和△DOE中,
∴△BOF≌△DOE(S.A.S.),
∴FB=ED,∠BFO=∠DEO,∴FB∥ED.
8.D ∵AD和BE是△ABC的高,
∴∠ADC=∠FDB=∠AEF=90°,
∴∠DAC+∠AFE=90°,∠FBD+∠BFD=90°,
∵∠BFD=∠AFE,∴∠FBD=∠DAC,
在△BDF和△ADC中,
∴△BDF≌△ADC(A.S.A.),∴DF=CD=9,
∴AF=AD-DF=BD-DF=12-9=3.
故选D.
9.答案 4
解析 ∵AD平分∠BAC,∴∠EAD=∠CAD,
∵DE⊥AB,∴∠DEA=90°=∠C,
在△ADE和△ADC中,
∴△ADE≌△ADC(A.A.S.),
∴AE=AC=6,∴BE=AB-AE=10-6=4.
10.证明 ∵AB∥DE,∴∠B=∠E,
在△ABC和△DEF中,
∴△ABC≌△DEF(A.S.A.).
11.证明 在△ADC和△AEB中,
∴△ADC≌△AEB(A.A.S.),∴AB=AC.
12.解析 (1)证明:∵BE⊥EA,CF⊥AF,
∴∠BAC=∠BEA=∠CFE=90°,
∴∠EAB+∠FAC=90°,∠EBA+∠EAB=90°,
∴∠FAC=∠EBA,
在△BEA和△AFC中,
∴△BEA≌△AFC(A.A.S.).
∴EA=FC,BE=AF.∴EF=AF+EA=BE+CF.
(2)∵∠BAC=∠BEA=∠CFE=90°,
∴∠EAB+∠CAF=90°,∠ABE+∠EAB=90°,
∴∠CAF=∠ABE,
在△BEA和△AFC中,
∴△BEA≌△AFC(A.A.S.).
∴EA=FC=3,BE=AF=10.
∴EF=AF-AE=10-3=7.
13.D 在△PCQ和△PDQ中,
∴△PCQ≌△PDQ(S.S.S.),故①正确;
∵△PCQ≌△PDQ,∴∠CPQ=∠DPQ,
在△CPE和△DPE中,
∴△CPE≌△DPE(S.A.S.),
∴CE=DE,∠PEC=∠PED,
∵∠PEC+∠PED=180°,
∴∠PEC=∠PED=90°,
∴PQ⊥CD,
故②③正确;
∵PQ⊥CD,
∴S四边形PCQD=S△PCQ+S△PDQ=PQ·CE+PQ·DE=PQ·CD,故④正确.故选D.
14.解析 在△ABD和△ACD中,
∴△ABD≌△ACD(S.S.S.),
∴∠BAD=∠CAD,即AP平分∠BAC.
15.证明 (1)在△ABC与△DEF中,
∴△ABC≌△DEF(S.S.S.),
∴∠BCA=∠EFD,∴BC∥EF.
(2)∵△ABC≌△DEF,∴∠A=∠D,
∵AC=DF,∴AC-CF=DF-CF,∴AF=DC,
又∵AB=DE,∴△ABF≌△DEC(S.A.S.),
∴BF=CE.
16.答案 BC=EF或BE=CF(填一个即可)
解析 可以补充条件:BC=EF,理由如下:
在Rt△ABC和Rt△DFE中,
∵BC=EF,AC=DE,
∴Rt△ABC≌Rt△DFE(H.L.).
可以补充条件:BE=CF,理由如下:
∵BE=CF,∴BC=EF,
在Rt△ABC和Rt△DFE中,
∵BC=EF,AC=DE,
∴Rt△ABC≌Rt△DFE(H.L.).
17.证明 连结AC,如图,
∵AB⊥BC,AD⊥CD,∴∠B=∠D=90°,
在Rt△ABC和Rt△ADC中,
∴Rt△ABC≌Rt△ADC(H.L.),∴AB=AD.
18.解析 △ABC与△CDA全等.
理由:∵AB⊥AC,CD⊥AC,
∴∠BAC=∠DCA=90°,
在Rt△ABC与Rt△CDA中,
∵CB=AD,AC=CA,
∴Rt△ABC≌Rt△CDA(H.L.).
19.证明 (1)∵AD平分∠BAC,∴∠CAD=∠EAD,
∵∠C=90°,DE⊥AB,∴∠C=∠AED=90°,
又∵AD=AD,∴△ACD≌△AED(A.A.S.),
∴CD=ED.
在Rt△CDF与Rt△EDB中,
∴Rt△CDF≌Rt△EDB(H.L.),
∴CF=EB.
(2)∵△ACD≌△AED,
∴AC=AE,
∵CF=EB,
∴AB=AE+EB=AC+EB=AF+CF+EB=AF+2EB.
能力提升全练
20.C 选项A,利用三边分别相等的两个三角形全等可知三角形形状确定,故此选项不合题意;选项B,利用两边及其夹角分别相等的两个三角形全等可知三角形形状确定,故此选项不合题意;选项C,由AB,AC,∠B无法确定三角形的形状,故此选项符合题意;选项D,利用两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等可知三角形形状确定,故此选项不合题意.
21.B ∵AC∥DF,∴∠A=∠D,∵AC=DF,∴当添加AE=DB时,有AB=DE,可根据“S.A.S.”判定△ABC≌△DEF.添加选项中的其他条件不能判定△ABC≌△DEF,故选B.
22.D ∵OB平分∠AOC,∴∠DOE=∠FOE,
又∵OE=OE,∴添加∠ODE=∠OFE,
可根据“A.A.S.”得△DOE≌△FOE,选项D符合题意.
23.证明 在△ABD与△ACD中,
∴△ABD≌△ACD(S.A.S.),
∴BD=CD.
24.解析 (1)证明:∵∠1=∠2,
∴∠BOD-∠2=∠BOD-∠1,
∵∠B=∠BOD-∠2,∠D=∠BOD-∠1,
∴∠B=∠D,
在△ABC和△ADE中,
∴△ABC≌△ADE(S.A.S.),
∴AC=AE.
(2)∵∠AEC=50°,∠BAE=20°,
∴∠B=∠AEC-∠BAE=50°-20°=30°,
由(1)知∠B=∠D,
∴∠D=30°.
素养探究全练
25.解析 (1)①△APD与△BPQ全等.理由如下:
由题意可得AP=BQ=6 cm,
∴PB=AB-AP=16-6=10 cm,
∵AC=20 cm,D为AC的中点,
∴AD=10 cm,
∴PB=AD,
在△APD与△BQP中,
∴△APD≌△BQP(S.A.S.).
②∵vP≠vQ,∴AP≠BQ,
又∵∠A=∠B,
∴要使△APD与△BQP全等,只能是AP=BP=8 cm,即△APD≌△BPQ,
∴BQ=AD=10 cm.
点P、Q的运动时间为(s),
∴点Q的运动速度为10÷=7.5 cm/s.
(2)∵vQ>vP,∴只能是点Q追上点P,
即点Q比点P多走AC+BC的路程,
设经过x秒后点P与点Q第一次相遇,
依题意得7.5x=6x+2×20,
解得x=,
此时点P运动了×6=160 cm,
又∵△ABC的周长为20×2+16=56 cm,160=56×2+48,
∴点P与点Q第一次在AC边上相遇,
∴经过了秒,点P与点Q第一次在AC边上相遇.
