13.3 等腰三角形 华东师大版数学八年级上册素养提升练(含解析)

第13章　全等三角形

13.3　等腰三角形

基础过关全练

知识点1　等腰三角形的概念及性质

1.【分类讨论思想】(2022江苏宿迁中考)若等腰三角形的两边长分别是3 cm和5 cm,则这个等腰三角形的周长是              (　　)

A.8 cm　　　　        B.13 cm

C.8 cm或13 cm　　　 　D.11 cm或13 cm

2.【教材变式·P81T1】(2023四川资阳安岳期末)一个等腰三角形的一个内角为70°,则它的顶角的度数为                       (　　)

A.40°　　　　B.55°　　　　C.70°　　　　D.40°或70°

3.如图,△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,下列结论中不一定正确的是(　　)

A.D是BC的中点　　　　  B.AD 平分∠BAC

C.AB=2BD　　　　         D.∠B=∠C

4.【新考法】(2022山东滨州中考)如图,屋顶钢架外框是等腰三角形,其中AB=AC,立柱AD⊥BC,且顶角∠BAC=120°,则∠C的大小为　　　　. 

5.(2022福建连江期中)如图,在△ABC中,AB=AC=BD,则3∠ADB-∠CAD=　　　　. 

6.(2023宁夏中卫期末)如图所示,已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线,且AB=AC.求证:AD∥BC.

7.【一题多解】【新独家原创】如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC,其中AB=AC,AD是△ABC的中线,∠ABC=30°,求∠CAD的度数.

知识点2　等边三角形的概念及性质

8.(2023吉林长春吉大附中期末)如图,a∥b,△ABC为等边三角形,若∠1=45°,则∠2的度数为                               (　　)

A.75°　　　　B.95°　　　　C.105°　　　　D.120°

9.【新考法】如图,直线l1∥l2,△ABC是等边三角形,∠1=50°,则∠2的大小为                                                            (　　)

A.60°　　　　B.80°　　　　

C.70°　　　　D.100°

知识点3　等腰三角形及等边三角形的判定

10.(2023山西吕梁汾阳期末)如图,A,B是池塘两侧端点,在池塘的一侧选取一点O,测得OA的长为6米,OB的长为6米,∠O=60°,则A,B两点之间的距离是                                                (　　)

A.4米　　　　B.6米　　　　

C.8米　　　　D.10米

11.(2023吉林长春南关期末)如图,在△ABC中,∠ABC的平分线交AC于点D,AD=6,过点D作DE∥BC交AB于点E,若△AED的周长为16,则边AB的长为                                          (　　)

A.6　　　　B.8　　　　C.10　　　　D.12

12.(2023北京顺义期末)如图,在正方形网格中,A,B两点都在小方格的顶点上,如果点C也是图中小方格的顶点,且△ABC是等腰三角形,那么点C的个数为                                               (　　)

A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4

13.【一题多变】(2023吉林长春朝阳实验学校月考)如图,BO平分∠ABC,CO平分∠ACB,MN∥BC,AB=15,AC=18,则△AMN的周长为(　　)

A.15　　　　B.18　　　　C.30　　　　D.33

[变式]

(1)如图1,在△ABC中,∠ABC,∠ACB的平分线相交于点F,过点F作DE∥BC,分别交AB,AC于点D,E,求证:DE=BD+CE;

(2)如图2,若F是∠ABC的平分线和△ABC的外角∠ACG的平分线的交点,(1)中的其他条件不变,请猜想线段DE,BD,EC之间有何数量关系,并证明你的猜想.

图1        图2

14.【教材变式·P83例4】如图,已知∠ACE是△ABC的一个外角,CD平分∠ACE,且CD∥AB,求证:△ABC为等腰三角形.

15.【新独家原创】如图,已知△ABC中,∠B=60°,∠E=15°,点B、C、D、E在同一直线上,且CG=CD,DF=DE,判断△ABC的形状,并说明理由.

16.(2022甘肃庄浪期中)已知:如图,∠A=∠D=90°,点E、F在线段BC上,DE与AF交于点O,且AB=CD,BE=CF.求证:△OEF是等腰三角形.

17.(2022福建连江期中)如图,等边△ADE的顶点D恰好在等边△ABC的边BC上,AC,ED相交于点G,连结CE.

(1)求∠ECD的度数;

(2)已知F是ED延长线上的点,且∠FCD=∠CAD,判断CF和GF的数量关系,并证明.

能力提升全练

18.(2022辽宁鞍山中考,6,★☆☆)如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=24°,延长BC到点D,使CD=AC,连结AD,则∠D的度数为                                                                  (　　)

A.39°　　　　B.40°　　　　C.49°　　　　D.51°

19.【新考法】(2022山东泰安中考,5,★★☆)如图,l1∥l2,点A在直线l1上,点B在直线l2上,AB=BC,∠C=25°,∠1=60°,则∠2的度数是

(　　)

A.70°　　　　B.65°　　　　C.60°　　　　D.55°

20.【方程思想】(2022福建龙岩期中,15,★★☆)在等腰△ABC中,AB=AC,AC边上的中线将这个三角形的周长分为15和12两个部分,则该等腰三角形的底边长等于　　　　. 

21.【易错题】(2021黑龙江牡丹江中考,6,★★☆)过等腰三角形顶角顶点的一条直线,将该等腰三角形分成的两个三角形均为等腰三角形,则原等腰三角形的底角度数为　　　　　　. 

22.(2021浙江温州中考,18,★★☆)如图,BE是△ABC的角平分线,在AB上取点D,使DB=DE.

(1)求证:DE∥BC;

(2)若∠A=65°,∠AED=45°,求∠EBC的度数.

23.【作平行线法】(2022湖南怀化中考,22,★★☆)如图,在等边三角形ABC中,点M为AB边上任意一点,延长BC至点N,使CN=AM,连结MN交AC于点P,MH⊥AC于点H.

(1)求证:MP=NP;

(2)若AB=a,求线段PH的长(结果用含a的代数式表示).

素养探究全练

24.【推理能力】(2022广东汕头潮阳期中)如图1,在△ABC中,∠ACB为锐角.点D为射线BC上一动点,连结AD,以AD为一边且在AD的右侧作等腰直角三角形ADE,AD=AE,∠DAE=90°.解答下列问题:

(1)如果AB=AC,∠BAC=90°.

①当点D在线段BC上(与点B不重合)时,如图2,线段CE、BD之间的位置关系为　　　　,数量关系为　　　　;(不用证明) 

②当点D在线段BC的延长线上时,如图3,①中的结论是否仍然成立?为什么?

(2)如果AB≠AC,∠BAC≠90°,点D在线段BC上运动.当△ABC满足一个什么条件时,CE⊥BD(点C、E重合除外)?画出相应的图形,并说明理由.

图1        图2        图3 

答案全解全析

基础过关全练

1.D　当3 cm是腰长时,3+3>5,能组成三角形,此时周长为3+3+5=

11 cm;当5 cm是腰长时,3+5>5,能组成三角形,此时周长为5+5+3=

13 cm.综上可知,这个等腰三角形的周长是11 cm或13 cm.

2.D　分两种情况:70°角为等腰三角形的底角时,等腰三角形的顶角为180°-2×70°=40°;70°角为等腰三角形的顶角.

综上所述,等腰三角形的顶角的度数为40°或70°,故选D.

3.C　∵AB=AC,AD⊥BC,

∴∠B=∠C,∠BAD=∠CAD,BD=DC.

∴AD平分∠BAC,D是BC的中点,故A、B、D正确.

无法确定AB=2BD,故C不一定正确.

故选C.

4.答案　30°

解析　∵AB=AC,∠BAC=120°,

∴∠B=∠C=(180°-∠BAC)=×(180°-120°)=×60°=30°.

5.答案　180°

解析　∵AB=AC,∴∠B=∠C,

∵AB=BD,∴∠ADB=∠DAB,

∴2∠ADB=180°-∠B=180°-∠C,

∵∠ADB=∠C+∠CAD,

∴∠C=∠ADB-∠CAD,

∴2∠ADB=180°-(∠ADB-∠CAD),

∴3∠ADB-∠CAD=180°.

6.证明　∵AB=AC,∴∠B=∠C,

∵∠EAC=∠B+∠C,

∴∠B=∠EAC,

∵AD是△ABC的外角∠EAC的平分线,

∴∠EAD=∠EAC,

∴∠B=∠EAD,∴AD∥BC.

7.解析　解法一:∵AB=AC,AD是△ABC的中线,

∴AD⊥BC,∠C=∠ABC=30°,

∴∠CAD=180°-90°-30°=60°.

解法二:∵AB=AC,∠ABC=30°,∴∠C=∠ABC=30°,

∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-30°-30°=120°.

∵AD是△ABC的中线,∴AD平分∠BAC,

∴∠CAD=∠BAC=×120°=60°.

8.C　∵△ABC为等边三角形,∴∠ACB=60°,

∵∠1=45°,∴∠1+∠ACB=105°,

∵a∥b,∴∠2=∠1+∠ACB=105°.故选C.

9.C　如图,

∵△ABC是等边三角形,∴∠A=60°,

∵∠1=50°,∴∠3=∠1+∠A=50°+60°=110°,

∵直线l1∥l2,∴∠2+∠3=180°,

∴∠2=180°-∠3=70°.故选C.

10.B　∵OA 的长为6米,OB的长为6米,∴OA=OB,

又∵∠O=60°,∴△AOB是等边三角形,∴AB=OA=6米,∴A,B两点之间的距离是6米,故选B.

11.C　∵BD平分∠ABC,∴∠EBD=∠CBD,

∵DE∥BC,∴∠EDB=∠CBD,

∴∠EBD=∠EDB,∴BE=DE,

∵△AED的周长为16,

∴AE+DE+AD=AE+BE+AD=AB+AD=16,

∵AD=6,∴AB=10,故选C.

12.C　当AB为腰时,点C的个数为2;当AB为底边时,点C的个数为1.故点C的个数为2+1=3,故选C.

13.D　∵BO平分∠ABC,CO平分∠ACB,

∴∠ABO=∠OBC,∠ACO=∠OCB,

∵MN∥BC,

∴∠MOB=∠OBC,∠NOC=∠OCB,

∴∠ABO=∠MOB,∠ACO=∠NOC,

∴MB=MO,NO=NC,

∵AB=15,AC=18,

∴△AMN的周长=AM+MN+AN=AM+MO+NO+AN

=AM+MB+NC+AN=AB+AC=33,故选D.

[变式]解析　(1)证明:如图,

∵BF,CF分别平分∠ABC,∠ACB,

∴∠1=∠2,∠5=∠4.

∵DE∥BC,

∴∠2=∠3,∠4=∠6,

∴∠1=∠3,∠6=∠5,

∴BD=DF,EF=CE,

∴DE=DF+EF=BD+CE.

(2)DE+EC=BD.

证明:∵BF平分∠ABC,∴∠DBF=∠FBC.

∵DF∥BC,∴∠DFB=∠FBC,

∴∠ABF=∠DFB,∴BD=DF.

∵CF平分∠ACG,∴∠ACF=∠FCG.

∵DF∥BC,∴∠DFC=∠FCG,

∴∠ACF=∠DFC,∴CE=EF,

∵DE+EF=DF,∴DE+EC=BD.

14.证明　∵CD平分∠ACE,

∴∠ACD=∠ECD=∠ACE,

∵CD∥AB,

∴∠A=∠ACD,∠B=∠ECD,

∴∠A=∠B,

∴AC=BC,

∴△ABC为等腰三角形.

15.解析　△ABC是等边三角形,理由如下:

∵DF=DE,∠E=15°,∴∠EFD=∠E=15°,

∴∠GDC=∠EFD+∠E=30°.

∵CG=CD,∴∠CGD=∠GDC=30°,

∴∠ACB=∠CGD+∠GDC=60°.

∵∠B=60°,∴∠A=180°-∠ACB-∠B=60°,

∴∠A=∠B=∠ACB,∴△ABC是等边三角形.

16.证明　∵BE=CF,∴BE+EF=CF+EF,即BF=CE,

在Rt△ABF和Rt△DCE中,

∴Rt△ABF≌Rt△DCE(H.L.),∴∠AFB=∠DEC,

∴OE=OF,∴△OEF是等腰三角形.

17.解析　(1)∵△AED,△ABC都是等边三角形,

∴∠ADE=∠EAD=∠CAB=∠B=∠ACB=60°,AE=AD,AC=AB,

∴∠EAD-∠CAD=∠CAB-∠CAD,

即∠EAC=∠DAB,

在△EAC和△DAB中,

∴△EAC≌△DAB(S.A.S.),∴∠ACE=∠B=60°,

∴∠ECD=∠ACE+∠ACB=120°.

(2)CF=GF.

证明:∵∠FCG=∠ACB+∠FCD=60°+∠FCD,

∠FGC=∠ADG+∠CAD=60°+∠CAD,∠FCD=∠CAD,

∴∠FCG=∠FGC,∴CF=GF.

能力提升全练

18.A　∵AB=AC,∠BAC=24°,∴∠B=∠ACB=78°.

∵CD=AC,∴∠CAD=∠D,

∵∠ACB=∠D+∠CAD,

∴∠D=∠CAD=∠ACB=39°.

19.A　如图,设直线l2交AC于点E,

∵AB=BC,∠C=25°,∴∠BAC=∠C=25°.

∵l1∥l2,∠1=60°,

∴∠BEC=∠1+∠BAC=60°+25°=85°,

∴∠2=180°-∠C-∠BEC=180°-25°-85°=70°.

20.答案　7或11

解析　①当15是腰长与腰长一半的和时,AC+AC=15,解得AC=10,所以底边长=12-×10=7;

②当12是腰长与腰长一半的和时,AC+AC=12,解得AC=8,所以底边长=15-×8=11.

所以底边长为7或11.

21.答案　36°或45°

解析　分两种情况讨论:

如图1,△ABC中,AB=AC,BD=AD,AC=CD.

则∠ABC=∠C=∠BAD,∠CDA=∠CAD,

∴∠CDA=2∠ABC,∴∠CAB=3∠ABC,

∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°,

∴5∠ABC=180°,∴∠ABC=36°.

图1                  图2

如图2,△ABC中,AB=AC,AD=BD=CD.

则∠ABC=∠C=∠DAC=∠DAB,

∴∠BAC=2∠ABC,

∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°,

∴4∠ABC=180°,∴∠ABC=45°.

综上,∠ABC=36°或45°,即原等腰三角形的底角度数为36°或45°.

22.解析　(1)证明:∵BE是△ABC的角平分线,

∴∠DBE=∠EBC,

∵DB=DE,∴∠DEB=∠DBE,

∴∠DEB=∠EBC,∴DE∥BC.

(2)∵DE∥BC,∴∠C=∠AED=45°,

在△ABC中,∠A+∠ABC+∠C=180°,

∴∠ABC=180°-∠A-∠C=180°-65°-45°=70°.

∵BE是△ABC的角平分线,

∴∠EBC=∠ABC=35°.

23.解析　(1)证明:过点M作MQ∥BC,交AC于点Q,如图,

在等边△ABC中,∠A=∠B=∠ACB=60°.

∵MQ∥BC,

∴∠AMQ=∠B=60°,∠AQM=∠ACB=60°,∠QMP=∠N,

∴∠A=∠AMQ=∠AQM,

∴△AMQ是等边三角形,∴AM=QM.

∵AM=CN,∴QM=CN.

在△QMP和△CNP中,

∴△QMP≌△CNP(A.A.S.),∴MP=NP.

(2)∵△AMQ是等边三角形,且MH⊥AC,

∴AH=HQ.

∵△QMP≌△CNP,∴QP=CP,

∴PH=HQ+QP=AC.

∵AB=a,AB=AC,

∴PH=a.

素养探究全练

24.解析　(1)①CE⊥BD;CE=BD.

②当点D在线段BC的延长线上时,①中的结论仍然成立.理由如下:

∵∠DAE=90°,∠BAC=90°,

∴∠DAE=∠BAC,∴∠DAB=∠EAC,

又AB=AC,AD=AE,∴△DAB≌△EAC,

∴CE=BD,∠ACE=∠ABD.

∵∠BAC=90°,AB=AC,

∴∠ABC=∠ACB=45°,∴∠ACE=45°,

∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°,即CE⊥BD.

(2)如图所示,当∠BCA=45°时,CE⊥BD.

理由:如图,过点A作AG⊥AC交CB的延长线于点G,

∵∠BCA=45°,∴∠AGC=45°,

∴AC=AG,即△ACG是等腰直角三角形,

∵∠GAD+∠DAC=90°=∠CAE+∠DAC,

∴∠GAD=∠CAE,

又∵AG=AC,DA=EA,

∴△GAD≌△CAE,

∴∠ACE=∠AGD=45°,

∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°,即CE⊥BD.