13.4 尺规作图 华东师大版数学八年级上册素养提升练(含解析)
展开第13章 全等三角形
13.4 尺规作图
基础过关全练
知识点1 作一条线段等于已知线段
1.(2023山东临清期中)如图,已知线段a,b.按如下步骤完成尺规作图,则AC的长是 ( )
①作射线AM;
②在射线AM上顺次截取AD,DB,使AD=DB=a;
③在线段AB上截取BC=b.
A.2a+b B.2a-b
C.a+b D.b-a
知识点2 作一个角等于已知角
2.如图,尺规作∠HFG=∠ABC,作图痕迹中弧MN是 ( )
A.以点F为圆心,以BE长为半径的弧
B.以点F为圆心,以DE长为半径的弧
C.以点G为圆心,以BE长为半径的弧
D.以点G为圆心,以DE长为半径的弧
3.(2023北京东城期末)已知∠AOB.下面是“作一个角等于已知角,即作∠A'O'B'=∠AOB”的尺规作图痕迹.该尺规作图的依据是
( )
A.S.A.S. B.S.S.S.
C.A.A.S. D.A.S.A.
4.【一题多解】【新独家原创】如图,D是△ABC的边BA延长线上一点,AB=BC,∠B=40°,结合作图痕迹,求证:AC平分∠BAE.
知识点3 作已知角的平分线
5.【尺规作图】【新考法】(2023吉林长春四十五中期末(线上))如图,已知AB=AC,BC=6,由尺规作图痕迹可得BD= ( )
A.2 B.3 C.4 D.5
6.【易错题】(2023山东烟台期中)用尺规作图如图所示,首先以A为圆心,任意长为半径画弧,分别交AB,AC于点E,F;再分别以E,F为圆心,以大于EF长为半径画弧,两弧交于D点,最后作射线AD.下列结论不一定正确的是 ( )
A.AF=DF B.∠BAD=∠CAD
C.∠AFD=∠AED D.DE=DF
7.(2022吉林长春吉大附中期中)如图,在△ABC中,∠A=50°,∠B=80°,观察图中尺规作图的痕迹,则∠DCE的度数为 .
知识点4 经过一已知点作已知直线的垂线
8.(2023辽宁大连甘井子期中)已知钝角△ABC,用直尺和圆规作边BC上的高.(不写作法,保留作图痕迹)
知识点5 作已知线段的垂直平分线
9.根据图中尺规作图的痕迹,可判断AD一定为三角形ABC的( )
A.角平分线 B.中线
C.高线 D.都有可能
10.(2022四川三台期中)如图,已知钝角△ABC,依下列步骤尺规作图,并保留作图痕迹.步骤1:以C为圆心,CA长为半径画弧①;步骤2:以B为圆心,BA长为半径画弧②,交弧①于点D;步骤3:连结AD,交BC的延长线于点H.下列叙述正确的是 ( )
A.AB=AD B.BH⊥AD
C.S△ABC=BC·AH D.AC平分∠BAD
11.【教材变式·P90T2】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC<BC.
(1)动手操作:要求尺规作图,不写作法,但保留作图痕迹.
①作出线段AB的垂直平分线MN,MN与AB交于点D,与BC交于点E;
②连结AE,过点B作BF垂直于AE,垂足为F;
(2)推理证明:
求证:AC=BF.
能力提升全练
12.(2021四川广元中考,6,★☆☆)观察下列作图痕迹,线段CD为△ABC的角平分线的是 ( )
A B
C D
13.(2022海南中考,10,★★☆)如图,在△ABC中,AB=AC,以点B为圆心,适当长为半径画弧,交BA于点M,交BC于点N,分别以点M、N为圆心,大于MN的长为半径画弧,两弧在∠ABC的内部相交于点P,画射线BP,交AC于点D,若AD=BD,则∠A的度数是 ( )
A.36° B.54° C.72° D.108°
14.(2022山西平定期中,18,★☆☆)如图,已知等腰△ABC的顶角∠A=36°.
(1)根据要求用尺规作图:作∠ABC的平分线交AC于点D;(不写作法,只保留作图痕迹)
(2)在(1)的条件下,求证:△BDC是等腰三角形.
15.【新考法】(2022广西贵港中考,20,★★☆)尺规作图(保留作图痕迹,不要求写出作法).
如图,已知线段m,n.求作△ABC,使∠A=90°,AB=m,
BC=n.
素养探究全练
16.【推理能力】数学课上,探讨角平分线的作法时,李老师用直尺和圆规作角的平分线,作法如下(如图1):
①在OA和OB上分别截取OD、OE,使OD=OE.
②分别以D、E为圆心,大于DE的长为半径作弧,两弧在∠AOB内交于点C.
③作射线OC,则OC就是∠AOB的平分线.
小聪只带了直角三角板,他发现利用三角板也可以作角的平分线,作法如下(如图2):
①利用三角板上的刻度,在OA和OB上分别截取OM、ON,使OM=ON.
②分别过M、N作OM、ON的垂线,交于点P.
③作射线OP,则OP为∠AOB的平分线.
小颖的身边只有刻度尺,经过尝试,她发现利用刻度尺也可以作角的平分线.
图1 图2
根据以上情境,解决下列问题:
(1)李老师用尺规作角的平分线时,用到的三角形全等的判定方法是 ;
(2)小聪的作法正确吗?请说明理由;
(3)请你帮小颖设计用刻度尺作角平分线的方法.(要求:作出图形,写出作图步骤,不予证明)
答案全解全析
基础过关全练
1.B 如图,AC=AB-BC=AD+BD-BC=2a-b.故选B.
2.D
3.B 由作图得DO=D'O'=CO=C'O',CD=C'D',
在△DOC和△D'O'C'中,
∴△DOC≌△D'O'C'(S.S.S.),∴∠O'=∠O.故选B.
4.证明 证法一:根据作图痕迹可知∠DAE=∠B.
∵∠B=40°,∴∠DAE=40°.
∵AB=BC,∴∠BAC=∠C,
∴∠BAC==70°,
∴∠CAE=180°-∠BAC-∠DAE=180°-70°-40°=70°,
∴∠BAC=∠CAE,∴AC平分∠BAE.
证法二:根据作图痕迹可知∠DAE=∠B,
∴AE∥BC,∴∠EAC=∠C,
∵AB=BC,∴∠BAC=∠C,
∴∠BAC=∠CAE,∴AC平分∠BAE.
5.B 本题将尺规作图与等腰三角形的三线合一的性质结合起来考查.
由尺规作图痕迹可知AD平分∠BAC,∵AB=AC,BC=6,
∴BD=CD=3,故选B.
6.A 解答此题时易因不理解基本的尺规作图步骤导致判断错误.
由作图可得AF=AE,FD=DE,
在△AFD和△AED中,
∴△AFD≌△AED(S.S.S.),
∴∠BAD=∠CAD,∠AFD=∠AED,
故选项B,C,D中的结论正确,不合题意;
无法得出AF=DF,故选项A中的结论不一定正确,符合题意.故选A.
7.答案 65°
解析 ∵∠A=50°,∠B=80°,且∠ACD是△ABC的外角,
∴∠ACD=∠A+∠B=50°+80°=130°,
观察题图中尺规作图的痕迹,可得CE 平分∠ACD,
∴∠DCE=∠ACD=×130°=65°.
8.解析 如图,AD即为所作.
9.B 由作图可知,D是线段BC的中点,故AD是△ABC的中线,故选B.
10.B 由作图可知,直线BC是线段AD的垂直平分线,所以BH⊥AD,故选B.
11.解析 (1)①②如图所示:
(2)证明:∵直线MN是线段AB的垂直平分线,∴AD=BD,
∠ADE=∠BDE=90°,
在△ADE和△BDE中,
∴△ADE≌△BDE(S.A.S.),
∴EA=EB,
∵BF⊥AE,∴∠BFE=90°=∠C,
在△ACE和△BFE中,
∴△ACE≌△BFE(A.A.S.),∴AC=BF.
能力提升全练
12.C A、D选项中的线段CD为△ABC的高,B选项中的线段CD为△ABC的中线,C选项中的线段CD为△ABC的角平分线.故选C.
13.A 由题意可得射线BP为∠ABC的平分线,
∴∠ABD=∠CBD,
∵AD=BD,∴∠A=∠ABD,
∴∠A=∠ABD=∠CBD,∴∠ABC=2∠A,
∵AB=AC,∴∠ABC=∠C=2∠A,
∴∠A+∠ABC+∠C=∠A+2∠A+2∠A=180°,
解得∠A=36°.故选A.
14.解析 (1)如图所示,BD即为所求.
(2)证明:∵∠A=36°,AB=AC,
∴∠ABC=∠C=(180°-36°)÷2=72°,
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠DBC=72°÷2=36°,
∴∠CDB=180°-36°-72°=72°,
∴∠C=∠CDB,
∴BD=BC,
∴△BDC是等腰三角形.
15.解析 如图所示,△ABC即为所求.
注: (1)作直线l及l上一点A;
(2)过点A作l的垂线AD;
(3)在l上截取AB=m;
(4)作BC=n交l的垂线于C.△ABC即为所作.
素养探究全练
16.解析 (1)S.S.S..
(2)小聪的作法正确.理由如下:
∵PM⊥OM,PN⊥ON,∴∠OMP=∠ONP=90°,
在Rt△OMP和Rt△ONP中,
∴Rt△OMP≌Rt△ONP,
∴∠MOP=∠NOP,∴OP平分∠AOB.
(3)步骤:
①利用刻度尺在OA、OB上分别截取OG、OH,使OG=OH.
②连结GH,利用刻度尺作出GH的中点Q.
③作射线OQ,则OQ就是∠AOB的平分线.
如图所示.
