初中数学华师大版九年级上册3. 相似三角形的性质导学案

23.3 相似三角形

3 相似三角形的性质

学习目标：

1.理解相似三角形的性质定理．（重点）

2.会灵活运用相似三角形的性质定理解决问题．（难点）

.                        自主学习

一、新知预习

问题：相似三角形中对应高、中线、角平分线、周长和面积的比和相似比间有什么关系？

【归纳】相似三角形的性质定理1：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比，都等于____________.

相似三角形的性质定理2：相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形面积的比等于____________.

合作探究

一、探究过程

探究点1：相似三角形的性质定理1

【证明猜想】如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k.

（1）          AD、A′D′分别为BC,B′C′边上的高，求证：=k.(提示：运用两角对应相等先证△ABD∽△A′B′D′)

（2）          AE、A′E′分别为BC,B′C′边上的中线，求证：=k. (提示：运用两边对应成比例且夹角相等先证△ABE∽△A′B′E′)

（3）          AF、A′F′分别为∠BAC，∠B′A′C′的平分线.求证：=k.

【归纳总结】相似三角形的性质定理1：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比，都等于______.

【针对训练】

1.若两个相似三角形的相似比是2∶3，则它们的对应高的比是       ，对应中线的比

是      ，对应角平分线的比是      .

探究点2：相似三角形的周长之比

【问题】图中(1)(2)(3)分别是边长为1、2、3的等边三角形，它们都相似吗？

(1)    与(2)的相似比=______,(1)与(2)的周长比=______，(2)与(3)的相似比=______,(2)与(3)的周长比=______.

【归纳总结】 相似三角形的周长比等于______.

【针对训练】

2.两个相似三角形的一对对应边长分别是24cm和12cm.若它们的周长之和是120cm，则这两个三角形的周长分别为______和______.

探究点3：相似三角形的面积之比

【典例精析】

例如图，在△ABC中，DE∥BC，DE分别交AB，AC于点D，E，若AD∶DB=1∶2，则△ADE与△ABC的面积之比是（　　）

A．1∶3    B．1∶4     C．1∶9      D．1∶16

例1题图                    针对训练第4题图

【归纳总结】在运用“相似三角形的面积比等于相似比的平方”这一性质时，同样要注意是对应三角形的面积比.

【针对训练】

3.已知△ABC∽△A′B′C′且S△ABC∶S△A′B′C′＝1∶2，则AB∶A′B′＝__________.

4.如图，已知梯形ABCD，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点O，△AOD与△BOC的面积之比为1∶9，若AD＝1，则BC的长是__________．

二、课堂小结

当堂检测

1.如图，已知△ADE∽△ABC，相似比为1∶3，则AF∶AG=（　　）

A．1∶3          B．3∶1        C．1∶9        D．9∶1

                     第1题图                     第2题图

2.如图，已知D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，DE∥BC，且S△ADE∶S四边形DBCE＝1∶8，那么AE∶AC等于(　　)

A．1∶9 B．1∶3 C．1∶8 D．1∶2[来源:ZXXK]

3.两个相似三角形对应的中线长分别是6cm和18cm，若较大三角形的周长是42cm，面积是12cm2，则较小三角形的周长为______cm，面积为______cm2.

4.如图，D是△ABC的AB边上的一点，＝＝.

(1)试说明△BCD∽△BAC；

(2)若△BCD的周长是32cm，求△ABC的周长．

参考答案

自主学习

一、新知预习

相似比    相似比的平方

合作探究

一、探究过程

探究点1   

证明：（1）∵△ABC∽△A′B′C′,∴∠B=∠B′. ∵∠ADB=∠A′D′B′=90°，∴△ABD∽△A′B′D′. ∴==k.

（2）∵△ABC∽△A′B′C′,∴∠B=∠B′. =k.∵ AE、A′E′分别为BC,B′C′边上的中线，∴BE=BC，B′E′=B′C′，∴==k.∵=k，∴△ABE∽△A′B′E′.∴ ==k.

（3）∵△ABC∽△A′B′C′,∴∠B=∠B′,∠BAC=∠B′A′C′.∵ AF、A′F′分别为∠BAC，∠B′A′C′的平分线，∴∠BAF=∠BAC, ∠B′A′F′=∠B′A′C′.

∴∠BAF=∠B′A′F′.∴△ABE∽△A′B′E′.∴==k.

【归纳总结】

     相似比

【针对训练】

    1. 2∶3    2∶3    2∶3 

探究点2 

【问题】  

【归纳总结】

     相似比

【针对训练】

    2.40 cm     80 cm

探究点3

【典例精析】

例   C

【针对训练】

    3.1∶    4.3

二、课堂小结   

相似比    相似比    相似比的平方

当堂检测

1.A    2.B      3.14   

4.解：(1)证明：∵＝，∠B是公共角，∴△BCD∽△BAC.

(2)∵△BCD∽△BAC，∴＝.又∵△BCD的周长是32cm. △ABC的周长是56cm.