华师大版九年级上册第23章 图形的相似23.3 相似三角形4. 相似三角形的应用导学案

23.3 相似三角形

4  相似三角形的应用

学习目标：

1.理解并掌握运用相似三角形测量物体高度和宽度的方法.（重点）

2.相似三角形的性质和判定的综合应用.（难点）

                        自主学习

一、探究过程

胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被誉为“世界古代八大奇迹之一”，古希腊数学家，天文学家泰勒斯曾经利用相似三角形的原理测量金字塔的高度.

你能根据图示说出他测量金字塔的原理吗？

合作探究

一、新知预习

探究点1：利用相似三角形测量高度

【典例精析】

例1如图，身高为1.6m的某同学想测量学校旗杆的高度，当他站在C处时，正好站在旗杆影子的顶端处，已测得该同学在地面上的影长为2m，旗杆在地面上的影长为8m，那么旗杆的高度是多少呢？

【归纳总结】同一时刻，对于都垂直于地面的两个物体来说，它们的高度之比等于它们的影长之比，即物体的高度之比与其影长之比相同.

【针对训练】

1.赵亮同学想利用影长测量学校旗杆的高度，如图，他在某一时刻立1米长的标杆测得其影长为1.2米，同时旗杆的投影一部分在地面上，另一部分在某一建筑的墙上，分别测得其长度为9.6米和2米，则学校旗杆的高度为__________米．

探究点2：利用相似三角形测量宽度

【典例精析】

例2 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河的对岸选定一个目标作为点A，再在河的这一边选定点B和点C，使AB⊥BC，然后，再选点E，使EC⊥BC，用视线确定BC和AE的交点D，此时如果测得BD=120米，DC=80米，EC=50米，求河的宽度AB.

【归纳总结】测量不能直接到达两点间的距离,常构造相似三角形求解.

【针对训练】

2.如图，丁轩同学在晚上由路灯AC走向路灯BD，当他走到点P时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC的底部，当他向前再步行20m到达Q点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD的底部，已知丁轩同学的身高是1.5m，两个路灯的高度都是9m，则两路灯之间的距离是(　　)

A．24m B．25m C．28m D．30m

二、课堂小结

当堂检测

1.如图，A，B两处被池塘隔开，为了测量A，B两处之间的距离，在AB外选一适当的点C，分别取线段AC，BC的中点E，F，测得EF＝20m，则AB＝__________m.

                      第1题图                   第2题图

2.如图，CD是一个平面镜，光线从A点射出经CD上的E点反射后照射到B点，设入射角为α(入射角等于反射角)，AC⊥CD，BD⊥CD，垂足分别为C，D.若AC＝3，CE＝4，ED＝8，则BD＝________.

3.如图，小明为了测量一棵树CD的高度，他在距树24m处立了一根高为2m的标杆EF，然后小明前后调整自己的位置，当他与树相距27m的时候，他的眼睛、标杆的顶端和树的顶端在同一条直线上.已知小明的眼高1.6m，求树CD的高度.

4.一块直角三角形木板的一条直角边AB长为1.5m，面积为1.5m2，工人师傅要把它加工成一个面积最大的正方形桌面，请甲、乙两位同学设计加工方案，甲设计方案如图(1)，乙设计方案如图(2)．你认为哪位同学设计的方案较好？试说明理由(加工损耗忽略不计，计算结果可保留分数)．

(1)　　　     　　　　(2)

参考答案

自主学习

一、新知预习

∵太阳光线是平行线，∴∠OAB=∠FDE，∠BOA=∠EFD=90°.∴△OAB∽△FDE.

（两角分别相等的两个三角形相似）.

合作探究

一、探究过程

【典例精析】

例1 解：由题意得△DEC∽△ACB，∴．∴AB=6.4m，即旗杆的高度为6.4 m.

【针对训练】    1. 10    

【典例精析】

例2     解：∵∠ADB=∠CDE，∠ABD=∠ECD=90°，
∴△BAD∽△CED，∴，∴AB=75（米）．
答：两岸间的宽度AB为75米.

【针对训练】    2.D

当堂检测

1.40    2.6

3.解：如图，过点A作AN∥BD交CD于N，交EF于M，因为人、标杆、树都垂直于地面，

所以∠ABF＝∠EFD＝∠CDF＝90°，所以AB∥EF∥CD，所以∠EMA＝∠CNA.

因为∠EAM＝∠CAN，所以△AEM∽△ACN，所以＝.

因为AB＝1.6 m，EF＝2 m，BD＝27 m，FD＝24 m，

所以＝，所以CN＝3.6（m），所以CD＝3.6＋1.6＝5.2（m）.

故树的高度为5.2 m.

4.解：由AB＝1.5 m，S△ABC＝1.5 m2，可得BC＝2 m. 

　                     　　(1)　　　　　　　(2)

由图(1)，若设甲设计的正方形桌面边长为xm.由DE∥AB，得Rt△CDE∽Rt△CBA，

所以＝，即＝，所以x＝ m.

由图(2)，过点B作Rt△ABC斜边上的高BH交DE于P，交AC于H.

由AB＝1.5，BC＝2，得AC＝＝＝2.5 (m)．

由AC·BH＝AB·BC，可得BH＝＝＝1.2 (m)．

设乙设计的桌面的边长为y m.

因为DE∥AC，所以Rt△BDE∽Rt△BAC，

所以＝.即＝，解得y＝ m.

因为＝＞，所以x2＞y2.

故甲同学设计的方案较好．