2024湖北省云学新高考联盟高一上学期10月联考数学试卷含解析

2023年湖北省云学新高考联盟学校高一年级10月联考数学试卷✽

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.已知集合，集合，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.使得不等式“成立的一个充分不必要条件是(    )

A.  B.  C.  D.

3.设，为非空集合，定义，且，已知，，则(    )

A.  B. 或
C. 或 D.

4.已知集合，集合，集合中所有元素之和记为，集合的子集个数记为，则(    )

A.  B.  C.  D.

5.已知命题若，则，则命题的否定为(    )

A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则

6.下列函数中，最小值为的是(    )

A.  B.
C. ， D.

7.已知集合，，若，则(    )

A.  B.  C. 或 D. 或

8.在实数集中定义一种运算“”，具有以下三条性质：对任意，
对任意，，
对任意，，，，
以下正确的选项是(    )

A.
B.
C. 对任意的，，，有
D. 对任意，，，有

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.下列关于符号“，”使用正确的有(    )

A. 若集合，则 B. 若，则
C.  D.

10.若，，，，下列不等式一定成立的有(    )

A.  B.  C.  D.

11.已知正实数，满足，下列说法正确的是(    )

A. 的最大值为 B. 的最小值为
C. 的最小值为 D. 的最小值为

12.若平面点集，满足：任意点，存在正实数，都有，则称该点集为“阶集”，则下列说法正确的是(    )

A. 若是“阶集”，则
B. 若是“阶集”，则为任意正实数
C. 若是“阶集”，则
D. 若是“阶集”，则

第II卷（非选择题）

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.已知集合，，若，则实数的取值集合为          ．

14.命题“时，方程有两个不等实数根”是真命题，则实数的取值范围是          ．

15.已知，，，则的最小值为          ．

16.已知集合，，若，且中恰有个整数元素，则实数的取值范围为          ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.本小题分

已知集合，集合．

求，

设，求A.

18.本小题分

已知，，且，求的最小值

已知，， ，求的最大值．

19.本小题分

已知命题“”是“”的充分不必要条件。

若命题为真命题，求实数的取值范围

已知命题，，若命题和命题恰有一个为真命题，求实数的取值范围．

20.本小题分

年，月日，华为在华为商城正式上线，成为全球首款支持卫星通话的大众智能手机。其实在年月日，华为被美国列入实体名单，以所谓科技网络安全为借口，对华为施加多轮制裁。为了进一步增加市场竞争力，华为公司计划在年利用新技术生产某款新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本万，每生产千部手机，需另投入成本万元，且由市场调研知此款手机售价万元，且每年内生产的手机当年能全部销售完。

求出年的利润万元关于年产量千部的表达式

年年产量为多少千部时，企业所获利润最大最大利润是多少

21.本小题分

已知，为实数，命题

求证：命题成立且的充要条件是，；

若成立，求的最小值，并求此时，的值．

22.本小题分

已知为一个数集，集合．

设，求集合的元素个数

设，证明：若，则

设，，，且，，若，求的最小值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】【分析】

本题考查交集运算，属于基础题．
化简，，由交集运算即可求解．

【解答】
解：，，
则．

2.【答案】 

【解析】【分析】

本题考查必要条件、充分条件的判断，属于基础题．
可得，结合充分条件，必要条件的判定即可求解．
 

【解答】
解：由题意可得，
所以的一个充分不必要条件可以是选项，
故选D

3.【答案】 

【解析】【分析】

本题考查集合的运算，集合的新定义问题，属于基础题．
由题意先求，进而求出

【解答】
解：因为，，
所以，
又因为定义，
所以或，
故选C．

4.【答案】 

【解析】【分析】

本题考查集合的表示方法和子集个数问题，属于基础题．
化简，求出，，即可得其和．

【解答】
解：由题意，得，
则，，
则

5.【答案】 

【解析】【分析】

本题考查全称量词命题的否定，属于基础题．
由全称量词命题的否定是存在量词命题，得解．

【解答】
解：命题：”若，则“的否定是：”若，则“．
故选B．

6.【答案】 

【解析】【分析】

本题考查基本不等式求最值问题，考查二次函数最值，属于中档题．
中举反例即可，利用基本不等式等号成立条件不满足，最小值不是，先平方，在利用二次函数求解即可．

【解答】
解：对于，，
当时，，不符合要求，故A错误；
对于：，
当且仅当时取等号，
由得显然不成立，
所以等号取不到，即的最小值不是，故B错误；
对于：因为，所以，
，
当且仅当时取等号，最小值不是，故C错误；
对于：，易知，，
，
当即或时，有最小值，即有最小值，故D对．

7.【答案】 

【解析】【分析】

本题考查了集合的运算，考查两条直线的位置关系，解题的关键是掌握交集与空集的定义，属于基础题．
研究直线的关系可知直线与平行，或直线过点即可求得答案．

【解答】
解：集合 ，，
根据题意可得当与直线平行时，解得；
当直线过点时，解得，
综上所述，或．

8.【答案】 

【解析】【分析】

本题考查新定义，理解新定义的概念是解题的关键．
根据新定义对每个选项进行运算化简可得．

【解答】
解：对任意 ，
令， ，
 ，
对于， ，故A错误；
对于， ，故B错误；
对于， 
，

，
对任意的 ，有 ，故C正确；
对于， ，
，
当时，有，故D错误．

9.【答案】 

【解析】【分析】

本题考查元素与集合之间关系，集合间包含关系的判断及应用，属于基础题．
根据题意，集合中的元素都在集合中，判断；举例判断根据元素与集合关系，判断；由中的元素都在中判断．

【解答】
解：选项A：，则，A正确．
对于，如，，，，，故B错误；
对于，在本题环境下是的一个元素，所以，
若以集合关系，子集为，，，，不是的一个子集，故C错误；
对于，中的元素都在中，所以，故D正确．

10.【答案】 

【解析】【分析】

本题考查了由不等式的基本性质判断不等关系，考查利用作差法大小，属于中档题．
对于，可得为，，即可判定；对于，利用作差法判定；对于，可得，，即可判定；对于，利用作差法判定．

【解答】
解：对于，因为，所以，
所以，故A正确；
对于，，
因为，
所以，，
所以，
所以，故B正确；
对于，因为，所以，
可得，
则，
可得，
所以，故C正确；
对于，，
因为，
所以，但分母符号不确定，故D错误；
故选ABC．

11.【答案】 

【解析】【分析】

本题考查基本不等式的应用，熟练掌握配凑法，基本不等式“一正二定三相等”的使用条件是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．

【解答】
解：选项A，因为，且，为正实数，
所以，即，
所以，即的最大值为，当且仅当时取等号，故A错误；
选项B，因为，且，为正实数，则，
即，即，
所以，
当且仅当，即时等号成立，故B正确；
选项C，因为，所以，
所以，
当且仅当，即，时取等号，
因为，为正数，故等号不能成立，即C错误；
选项D，由，知，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，即D正确．
故选：．

12.【答案】 

【解析】【分析】

本题考查集合的概念、元素与集合的关系以及命题真假的判定，属于较难题．
根据“阶集”的定义，逐项进行判定即可．

【解答】
解：对于，若是“阶集”，则，所以，因为，所以，故A正确；
对于，若是“阶集”，则，则为任意正实数，故B正确；
对于，若是“阶集”，则，由得出，当时，， ，当时，取，，满足，
但是，
为使成立时，，正实数的取值范围是，故C是正确；
若是“阶集”，则，当，，时，，故不成立，故D错误．
故选ABC．

13.【答案】 

【解析】【分析】

本题考查了含参数的集合关系的问题，属于基础题．
利用含参数的集合关系的问题，计算得结论．

【解答】
解：因为集合，，
所以：当时，，满足，因此为所求；
当时，，由得或，解得或．
综上所述，实数的取值集合为．

14.【答案】 

【解析】【分析】

本题考查了存在量词与存在量词命题和二次函数零点与一元二次方程解的关系，属于基础题．
利用存在量词命题，结合二次函数零点与一元二次方程解的关系，计算得结论．

【解答】
解：因为命题“时，方程有两个不等实数根”是真命题，
所以函数的图象在上与轴有两个不同的交点，
因此，解得，所以实数的取值范围是．

15.【答案】 

【解析】【分析】

本题考查了由基本不等式求最值或取值范围，属于中档题．
由基本不等式求最值，计算得结论．

【解答】
解：因为，，，所以，且，
因此
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为．

16.【答案】 

【解析】【分析】

本题考查了含参数的交集运算问题，解不含参的一元二次不等式和函数方程根的分布，属于中档题
利用解不含参的一元二次不等式得，再利用函数方程根的分布，结合含参数的交集运算得，最后计算得结论．

【解答】
解：设，则函数的图象开口向上，而由知：对称轴．
因为若、是方程的两根，则，所以、均大于，
而集合，
因此要中恰有个整数元素，则
即，解得，
所以实数的取值范围为．

17.【答案】解：由，可得，
故，解得，
故．
由，可得或，解得或，
故．
故，．
因为，，
所以． 

【解析】本题考查集合的混合运算，考查不等式的求解，属于基础题．
解不等式化简集合，，再由集合的交集运算及并集运算求解；
根据补集运算求解即可．

18.【答案】解：
，
等号当且仅当时取得，

所以的最小值为；

因为，  
所以，
所以，当且仅当时等号成立．
又，，
所以，

故的最大值为．

【解析】本题主要考查了利用基本不等式求最值，属于中档题．
，运用常数代换以及基本不等式即可求得最小值；
由题意得到，再运用基本不等式，得到，从而求得的最大值．

19.【答案】解：设集合，集合，
命题为真命题，集合是集合的真子集，
当时，，解得，此时符合题意，
当时，则满足，解得或，
综上可得，即实数的取值范围是．
若命题为真命题，则，解得，
命题，中恰有一个为真命题，命题，一真一假，
当真假时，，故；
当假真时，，故．
当命题，中恰有一个为真命题时，实数的取值范围是． 

【解析】本题考查根据充分不必要条件求参数，根据命题的真假求参数，属于中档题．
根据充分不必要条件列不等式，由此求得的取值范围；
命题是二次不等式存在性问题，只需即可求得的取值范围，再分类讨论真假与假真两种情况，从而求得的取值范围．

20.【答案】解：当时，

，
当时，，
；
若，，
当时，万元；
若，
，
当且仅当时，即时，万元，
因为，
年年产量为千部时，企业所获利润最大，最大利润是万元． 

【解析】本题考查了分段函数模型的应用，分段函数最值的计算，考查了二次函数的最值与基本不等式的应用，属于中档题．
通过讨论的范围，得出的解析式；
分别求出在和上的最大值即可得出结论．

21.【答案】解：证明：充分性：若，，则首先且．
又因为，
所以，是的充分条件
必要性：若，且，
首先，即，
因为，为实数，，所以，
解方程组即得，，
综上可得命题成立且的充要条件是，
由知，命题成立，
则，等号成立当且仅当，，
所以的最小值为，此时， 

【解析】本题考查充要条件的证明，基本不等式求最值的应用，属于中档题．
分充分性和必要性进行证明即可；
由知，命题成立，即，再利用基本不等式求解即可．

22.【答案】解：解：为一个数集，集合．
，
当时，，
当，时，，
当，时，，
当，时，，
当，时，，
当，时，，
当，时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当，时，，
当，时，，
当，时，，
当，时，，
当，时，，
当，时，，
，个．
证明：，，
，
．
．
解：，
设，，
，
设，整理得，
判别式法，，得，
即．
的最小值为．