2024省哈尔滨师大附中高一上学期10月月考试题数学含答案

哈师大附中2023级十月份月考数学试卷

第Ⅰ卷(选择题共60分)

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）

1．已知集合，，则集合（    ）

A．            B．           C．        D．

2．已知全集为，集合，满足，则下列运算结果为的是（    ）

A． B． C． D．

3．一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买黄金，售货员先将的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．你认为顾客购得的黄金（    ）

附：依据力矩平衡原理，天平平衡时有，其中、分别为左、右盘中物体质量，、分别为左右横梁臂长．

A．等于 B．小于 C．大于 D．不确定

4．哥德巴赫猜想是世界近代三大数学难题之一，即所谓的“”问题.1966年，我国数学家陈景润证明了“”成立.哥德巴赫猜想的内容是“每一个大于2的偶数都能写成两个质数之和”，则该猜想的否定为（     ）

A．每一个小于2的偶数都不能写成两个质数之和

B．存在一个小于2的偶数不能写成两个质数之和

C．每一个大于2的偶数都不能写成两个质数之和

D．存在一个大于2的偶数不能写成两个质数之和

5．已知，则的最小值为（    ）

A．6 B． C． D．4

6．如图在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客．我们教材中利用该图作为一个说法的一个几何解释，这个说法正确的是（  ）

A．如果,那么 

B．如果,那么

C．对任意正实数和，有， 当且仅当时等号成立

D．对任意正实数和，有,当且仅当时等号成立

7．政治书上讲，“有使用价值的东西不一定有价值，有价值的东西一定有使用价值”，如果把有使用价值的东西看作集合，把有价值的东西看作集合，那么它们的关系是（    ）

A． B． C． D．

8．现设计一个两邻边的长度分别为的矩形广告牌，其面积为，且，则当该广告牌的周长最小时， （     ）

A．3 B．4 C．5 D．6

二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9．下列命题为真命题的是（    ）

A．若，且，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

10．如图是二次函数图像的一部分，图像过点，对称轴为，给出下面四个结论正确的为（    ）

  A． B．   C．     D．

11．当时，使得不等式恒成立的充分不必要条件是（    ）

A． B．

C． D．

12．若，，且，则下列不等式恒成立的是（    ）

A． B．

C． D．

第Ⅱ卷(非选择题共90分)

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．设，，若，求实数组成的集合的子集个数有            .

14．若，且，则的取值范围是                 .

15．已知，，则的取值范围是              ．

16．中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为，，，三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦一秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为           .

四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17.（本小题满分10分）解下列不等式：

（I）                   （II）

18.（本小题满分12分）已知集合，，

（I）若，求、；

（II）若，求实数的取值范围.

19. （本小题满分12分）已知集合，．

（I）若“命题，”是真命题，求的取值范围．

（II）若“命题，”是真命题，求的取值范围．

20.（本小题满分12分）已知函数.

（I）设，若关于的不等式的解集为，且的充分不必要条件是，求的取值范围；

（II）方程有两个实数根，

i）若均大于，试求的取值范围；

ii）若，求实数的值．

21．（本小题满分12分）某小区要建一座八边形的休闲小区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的十字形地域，四个小矩形加一个正方形面积共为200平方米．计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为每平方米4200元，在四个相同的矩形上（图中阴影部分）铺设花岗岩地坪，造价为每平方米210元，再在四个角上铺设草坪，造价为每平方米80元．

（I）设AD长为x米，总造价为元，试建立关于x的表达式；

（II）当x为何值时，总造价最小，并求出这个最小值.

22.（本小题满分12分）已知函数.

（I）若对，恒成立，求实数的取值范围；

（II）若时，函数的最小值为，求实数的值；

（III），使成立，求实数的取值范围.

2023级高一上10月份月考答案

单选：BDCD  BCAA

多选：AD   AD    AB   ABC

填空：13.8

14.

15.

16.12

解答题

17．（10分）

（1）

         …………………………………………………………5分

（2）

  ……………………………………………10分

18.（12分）

，

，      ………………………………………………………2分

(1)    若，则，

则求、；     …………………………6分

   （2）

     i.，满足题意，所以；…………………8分

    ii．，需满足

…………………………………………………10分

综上         …………………………………………………12分

19．（12分）

，…………………………………………………1分

………………………2分

（1）“命题，”是真命题，则，

所以…………………………7分

（2）“命题，”是真命题，则

所以或，

所以或，

所以   ………………………………………………………………12分

20．（12分）

（1）由，得，

即，即，

又，∴，即，  …………………………………2分

∵的充分不必要条件是，

∴，

则，解得，则，…………………………………………………4分

即实数的取值范围是.

（2）方程为，

①若均大于，则满足，

解得，

故，即的取值范围为  .…………………………………8分

②若，则，

则，即，即，

解得或，由，得或.

所以，即实数的值是.……………………………………………………12分

21.（12分）

（1）由题意可得，，且，则，…………………2分

则…………………………………4分

         …………………………………8分

（2）由（1）可知，

当且仅当时，即时，等号成立，……………………………10分

所以，当米时，元. …………………………………12分

22．（12分）

（1），恒成立，即，，

若，则，与，矛盾，所以舍去；……1分

所以，且，

即…………………………4分

（2）时，函数的最小值为，

①

则，时， 随的增大而增大，所以，为最小值，

与最小值为-2 矛盾，所以舍去.   …………………………………………………5分

②（抛物线开口向上）

对称轴：在周左侧，时， 随的增大而增大，

所以，为最小值，与最小值为-2 矛盾，所以舍去. ……………6分

③（抛物线开口向下）

i．，

，为最小值，与最小值为-2 矛盾，所以舍去. ……………………7分

ii．

，为最小值，所以.

综上.          …………………………………………………………………8分

  （3）由题意，使成立，

即，

，

（），（即）

时，设，则   …………………………10分

所以时，

所以只需，所以需，即.  ……………12分