函数的奇偶性三大题型讲义-2024届高三数学一轮复习

函数的奇偶性三大题型（含答案）

知识归纳

一、奇偶性定义

二、判断函数的奇偶性的两个必备条件

(1)定义域关于原点对称，否则即为非奇非偶函数．

(2)判断与是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(奇函数)或(偶函数))是否成立．

题型研究

题型一：函数奇偶性的判断

1.下列函数是偶函数的是(    )

A.  B.
C.  D.

2.下列函数是偶函数且在上单调递增的为(    )

A.  B.  C.  D.

3.下列函数中，图象关于原点对称且在定义域上单调递增的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.设函数，则(    )

A. 是偶函数，且在单调递减 B. 是奇函数，且在单调递减
C. 是奇函数，且在单调递增 D. 是偶函数，且在单调递增

5.函数(    )

A. 是奇函数 B. 是偶函数
C. 既是奇函数又是偶函数 D. 是非奇非偶函数

6.设函数，则下列函数中为奇函数的是(    )

A.  B.  C.  D.

7.函数为奇函数，为偶函数，在公共定义域内，下列结论一定正确的是(    )

A. 为奇函数 B. 为偶函数
C. 为奇函数 D. 为偶函数

题型二：利用奇偶性求值（解析式）

8.设为定义在R上的奇函数，当时，为常数，(    )

A.  B.  C. 1 D. 3

9.已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则的最小值是(    )

A.  B.  C. 1 D. 2

10.若函数是在R上的奇函数，当时，，则的值域为(    )

A.  B.
C.  D.

11.若是奇函数，则(    )

A.  B.  C.  D.

题型三：利用奇偶性解不等式

12.已知偶函数在单调递增，若，则满足的x的取值范围是(    )

A.  B.
C.  D.

13.已知函数，则不等式的解集是(    )

A.  B.
C.  D.

14.函数在单调递减，且为奇函数．，则满足的x的取值范围是.(    )

A.  B.  C.  D.

15.已知定义在上的奇函数在上单调递减，且满足，则关于x的不等式的解集为(    )

A.  B.
C.  D.

16.已知是定义在R上的奇函数，当时，单调递减，则不等式的解集为(    )

A.  B.  C.  D.

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17.已知函数是偶函数，则__________.

18.若为奇函数，则实数__________.

19.定义在R上的奇函数，当时，，则__________.

20.已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则__________.

21.已知，分别是定义在R上的偶函数和奇函数，若，则__________.

22.若函数，则不等式的解集是__________

23.已知函数的图象关于原点对称，若，则x的取值范围为__________.

答案和解析

1.【答案】B 

【解答】
解：对于A，是奇函数，不符合题意；
对于B，定义域关于原点对称，且满足，是偶函数，符合题意；
对于C，是奇函数，不符合题意；
对于D，定义域不关于原点对称，不符合偶函数的定义，不符合题意．
故选

2.【答案】B 

【解答】
解：对于A，的定义域为，，则为奇函数，不符合题意；
对于B，的定义域为，，则为偶函数，且在上单调递增，符合题意；
对于C，的定义为不关于原点对称，故为非奇非偶函数，不符合题意；
对于D，的定义为，不关于原点对称，故为非奇非偶函数，不符合题意．
故选：

3.【答案】D 

【解答】
解：函数图象关于原点对称，则函数为奇函数，
A.，函数为减函数，不满足条件，排除A；
B.由得，即函数的定义域为，定义域关于原点不对称，为非奇非偶函数，不满足条件，排除B；
C.定义域为R，关于原点对称，，，函数为偶函数，不满足条件，排除C；
定义域为R，关于原点对称，，，故为奇函数，
，易得为增函数.
故选

4.【答案】A 

【解答】
解：函数的定义域为且，
则，则是偶函数，排除B，C，
，
当时，为减函数，且，此时为增函数，
此时为减函数．
故选：

5.【答案】B 

【解答】
解：原函数的定义域为，关于原点对称，

，
，
原函数是偶函数，
故选

6.【答案】B 

【解答】
解：因为，
所以函数的对称中心为，
所以将函数向右平移一个单位，向上平移一个单位，
得到函数，该函数的对称中心为，
故函数为奇函数．
故选：

7.【答案】C  

【解答】
解：，分别是R上的奇函数和偶函数，
，
令
则，
不一定与或相等，故A、B错误.
令，
则，
为奇函数，故C正确，D错误；
故选：

8.【答案】A 

【解答】解：由为R上的奇函数知，得，
则，
又，
所以

9.【答案】A 

【解答】
解：根据题意，当时，，

是定义在上的奇函数，则时，
，，
故的最小值为
故答案为

10.【答案】A 

【解答】

解：当时，，

因为是R上的奇函数，所以；

当时，由于图象关于原点对称，故，

所以

故选：

11.【答案】C 

【解答】

解：易知定义域为，
若为奇函数，可得，
即，解得
此时，经检验是奇函数，符合题意.

故选：

12.【答案】B 

【解答】
解：因为偶函数在上单调递增，
所以在上单调递减，
又因为，
所以，
所以，
解得，
故选

13.【答案】A 

【解答】
解：因为，定义域为R，
所以是偶函数，
当时，是增函数，
又因为，
所以，即，即，
所以，
所以，
解得，
所以不等式的解集是
故选：

14.【答案】D 

【解答】
解：函数在单调递减，且，，由，得，
故选：

15.【答案】B 

【解答】解：令，
则，定义域为
即为奇函数，奇函数在上单调递减，
则在上单调递减，
因为时，，，
，
所以此时；
当时，，，
所以；
当时，；
当时，，，，
当时，，，
所以，
所以当时，
由奇函数的性质可知当时，
故选：

16.【答案】A 

【解答】
解：是定义在R上的奇函数，且在区间单调递减，
所以是定义在R上的单调递减函数，
不等式等价为，
即，得即不等式的解集为
故选

17.【答案】1 

【解答】
解：函数是偶函数，
为R上的奇函数，
故也为R上的奇函数，
所以时，，
所以，经检验，满足题意，
故答案为：

18.【答案】1 

【解答】
解：因为为奇函数，定义域为，
所以，
则，
即，
则，
解得
故答案为：

19.【答案】 

【解答】解：是定义在R上的奇函数，
，，
又当时，，
 

故答案为

20.【答案】44 

【解答】
解：是定义在R上的奇函数，

故答案为：

21.【答案】 

【解答】
解：根据题意，因为，且，分别是定义在R上的偶函数和奇函数，
所以，
联立两个式子可得：，则
故答案为

22.【答案】 

【解答】
解：函数，定义域为R，
因为，所以为奇函数，
因为，为R上的增函数，所以为R上的增函数，
因为，所以，
从而，
解得
则关于x的不等式的解集是，
故答案为

23.【答案】 

【解答】
解：函数的图象关于原点对称，
则函数为奇函数，，所以，
当时，函数，满足题意，
函数在R上为增函数，且，
则，即，则，解得
故x的取值范围为
故答案为