辽宁省锦州市凌海市2023届九年级上学期期中质量检测数学试卷(含答案)

凌海市2022~2023学年度九年级（上）期中质量检测

数学试卷

注意事项：考生答题时，必须将答案涂（写）在答题卡（纸）上，答案写在卷纸上无效。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题2分，共16分）

1．关于x的方程是一元二次方程，则a满足（    ）

A．       B．       C．       D为任意实数

2．下列命题中，正确的是（    ）

A．菱形的对角线相等                B．平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形

C．正方形的对角线相等且互相垂直    D．矩形的对角线不能相等

3．用配方法解方程，则方程可变形为（    ）

A．    B．     C．   D．

4如图①所示，一张纸片上有一个不规则的图案（图中的小兔子），小雅想了解该图案的面积是多少，她采取了以下的办法：用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地向长方形区域扔小球，并记录小球在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），她将若干次有效试验的结果绘制成了图②所示的折线统计图，由此她估计此不规则图案的面积大约为（    ）

A．        B．       C．        D．

5．下列各选项：①两个边长不等的等边三角形；②两个边长不等的正方形；③两个边长不等的菱形；④两个斜边不等的等腰直角三角形，其中的两个图形一定相似的有（    ）

A．①②        B．①②③        C．①②④       D．①②③④

6．已知，则下列比例式成立的是（    ）

A．        B．      C．      D．

7．如图，在四边形ABCD中，，点P为AB边上一动点，若与是相似三角形，则满足条件的点P共有（    ）

A．4个            B．3个         C．2个        D．1个

8．矩形ABCD中，，E为AB边的中点，P为CD边上的点，且是腰长为5的等腰三角形，则DP的值为（    ）

A．1或4          B．4或         C．1或9       D．1或4或9

二、填空题（每小题3分，共24分）

9．方程的根是____________．

10．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是____________．

11．已知菱形的周长为40，一条对角线长为12，则这个菱形的面积为____________．

12．两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，黄金分割在日常生活中处处可见；例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长米，主持人从舞台一侧B进入，她至少走____________米时恰好站在舞台的黄金分割点上．（结果保留根号）

13．如图，中，，点P为AB边上任一点，过P分别作于E，于F，则线段EF的最小值是____________．

14．某药品经过两次降价，每瓶零售价由168元降为108元，已知两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x，根据题意列方程得____________．

15．如图，点B、C分别在两条直线和上，点A、D是x轴上两点，已知四边形ABCD是正方形，则k的值是____________．

16．如图，n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点分别为边的中点，的面积为，的面积为，的面积为，则__________（用含n的式子表示）

三、解答题：（17小题8分，18小题6分，共14分）

17．（8分）用适当的方法解方程：

（1）        （2）

18．（6分）已知关于x的一元二次方程．

（1）若是这个方程的一个根，求k的值和它的另一根；

（2）对于任意的实数k，判断方程根的情况，并说明理由．

四、解答题（6分）

19．将背面相同，正面分别标有数字1、2、3、4的四张卡片洗匀后，背面朝上放在桌面上，先从中随机的抽取一张卡片（不放回），将该卡片正面上的数字作为十位数字，再随机的抽取一张卡片，将该卡片正面上的数字作为个位数字，则组成的两位数恰好是4的倍数的概率是多少？请用树状图或列表法加以说明．

五、解答题（每小题8分，共16分）

20．（8分）如图，四边形ABCD是矩形，直线m垂直平分线段AC，垂足为O，直线m分别与线段AD、CB的延长线交于点E、F．

（1）与相似吗？为什么？

（2）试判定四边形AFCE的形状，并说明理由．

21．（8分）某商店以40元千克的单价新进一批茶叶，经调查发现，在一段时间内，销售量y（千克）与销售单价x（元千克）之间的函数关系如图所示．

（1）根据图象求y与x的函数关系式；

（2）商店想在销售成本不超过3000元的情况下，使销售利润达到2400元，销售单价应定为多少？

六、解答题（22题8分，23题6分，共14分）

22．（8分）如图，点E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，连接DE，过顶点B作，垂足为E，BF交边DC于点G．

（1）求证：；

（2）连接CF，求证：．

23．（6分）如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为．

（1）画出绕点A顺时针旋转后得到的；

（2）的面积是____________（直接填结果）；

（3）在网格内以原点O为位似中心，画出将三条边放大为原来的2倍后的．

七、（本大题共10分）

24．（10分）在一张长方形纸片ABCD中，，现将这张纸片按下列图示方法折叠，请解决下列问题．

（1）如图①，折痕为DE，点A的对应点F在CD上，那么折痕DE的长为____________（直接填结果）；

（2）如图②，H，C分别为BC，AD的中点，A的对应点F在HG上，折痕为DE，求重叠部分的面积；

（3）如图③，在图②中，把长方形ABCD沿着HG剪开，变成两张长方形纸片，将两张纸片任意叠合后，判断重叠四边形的形状，并证明；

（4）在（3）中，重叠四边形的周长是否存在最大值或最小值？如果存在，直接写结果；如果不存在，试简要说明理由．

凌海市2022——2023学年度上学期期中考试试题

九年级数学参考答案

一、选择题（本大题共8个小题，每小题2分，共16分）

1．C   2．C   3．A   4．C   5．C   6．B   7．B   8．D

二、填空题（每小题3分，共24分）

9．x1=0 x2=3

10．m≤2且m≠0

11．96

12．

13．4．8（或）

14．168（1-x）2=108

15．

16．

三、解答题：（17小题8分，18小题6分，共14分）

17．用适当的方法解方程：（8分）

（1）2x2+x﹣3=0          

解：a=2 b=1 c=-3

b2-4ac=25＞0

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分

（2）（x-3）2=2x（3-x）

解：移项，（x-3）2+2x（x-3）=0

（x-3）（x-3+2x）=0

X-3=0或3x-3=0

∴X1=3 x2=1．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分

18．解：x=1是关于x的一元二次方程x2﹣（k+2）x+2k=0的一个根，

∴1﹣（k+2）×1+2k=0

∴k=1，

∴原方程为x2﹣3x+2=0，

解得x1=1，x2=2，

即：k=1，方程的另一根为x=2．        ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分

（2）∵方程x2﹣（k+2）x+2k=0，

∴△=（k+2）2﹣4×2k=k2﹣4k+4=（k﹣2）2≥0，

∴对于任意的实数k，方程有两个实数根．     ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

四、解答题（6分）

19．解：画树状图得： 

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分

∵共有12种等可能的结果，组成的两位数恰好是4的倍数的有3种情况，即12，24，32，

∴组成的两位数恰好是4的倍数的概率是．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

五、解答题（每小题8分，共16分）

20．请按步骤酌情给分每个小题3分共6分

解：（1），理由如下：

在矩形ABCD中：

直线垂直平分线段AC，

又，

；

（2）四边形AFCE为菱形，理由如下：

，

则，

AC与EF互相垂直平分则四边形AFCE为菱形。

21．解：（1）设y与x的函数关系式为y=kx+b，

将（40，160），（120，0）代入，

得，解得，

所以y与x的函数关系式为y=﹣2x+240．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分

（2）由题意得（x﹣40）（﹣2x+240）=2400，

整理得，x2﹣160x+6000=0，

解得x1=60，x2=100．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

当x=60时，销售单价为60元，销售量为120千克，则成本价为40×120=4800（元），超过了3000元，不合题意，舍去；

当x=100时，销售单价为100元，销售量为40千克，则成本价为40×40=1600（元），低于3000元，符合题意．

所以销售单价为100元．

答：销售单价应定为100元．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分

六、解答题（22题8分，23题6分，共14分）

22．证明：（1）∵四边形ABCD是正方形∴∠BCD＝∠ADC＝90°，AB＝BC，∵BF⊥DE，∴∠GFD＝90°，∴∠BCD＝∠GFD，∵∠BGC＝∠FGD，∴△BGC∽△DGF，∴，∴DG·BC＝DF·BG，∵AB＝BC，∴DG·AB＝DF·BG．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分

（2）连接BD，CF，∵△BGC∽△DGF，，∴，又∵∠BGD＝∠CGF，∴△BGD∽△CGF，∴∠BDG＝∠CFG，∵四边形ABCD是正方形，BD是对角线，∴∠BDG＝∠ADC＝45°，∴∠CFB＝45°

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分

23．（1）画出△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△A1B1C1．．．．．．2分

（2）△ABC的面积是3．（直接填结果）．．．．．．．．．4分

（3）在网格内以原点O为位似中心，画出将△A1B1C1三条边放大为原来的2倍后的△A2B2C2．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

七、（本大题共10分）

24．解：（1）∵四边形ADFE是正方形，

（cm）         ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分

（2）∵由折叠可知，

∴在Rt△DGF中，∠GFD=30°，∠GDF=60°，

∵∠GDE=∠EDF，

∴∠EDA=30°．

∴在Rt△ADE中，，

．

．

．             ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分

（3）重叠四边形MNPQ的形状是菱形；如图1，

证明：因纸片都是矩形，则重叠四边形的对边互相平行，则四边形MNPQ是平行四边形．

如图1，过Q作QL⊥NP于点L，QK⊥NM于点K，

又∵QL=QK，

∴SMNPQ=PN•QL=MN•QK．

∴MN=NP，

∴四边形MNPQ的形状是菱形．

．          ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分

（4）当矩形纸片互相垂直时，这个菱形的周长最短是40 cm．

最大的菱形如图2所示放置时，重叠部分的菱形周长最大．

设GK=x，则HK=25﹣x．

在Rt△KHB中，x2=（25﹣x）2+102，

解得x=14.5．

则菱形的最大周长为58 cm．

∴周长最短是40 cm 最大周长为58 cm  ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分