高一数学人教A版（2019）必修第一册单元检测卷 第二章 一元二次函数、方程和不等式 A卷 基础夯实

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第二章   一元二次函数、方程和不等式 A卷 基础夯实【满分：120分】一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，，，则(   )A. B. C. D.2.若关于x的不等式有解，则实数a的取值范围是(   )A. B. C. D.3.已知，则的最小值为(   )A.16 B.18 C.20 D.224.关于x的不等式的解集为(   )A.或 B.C.或 D.5.中国南宋著名数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a，b，c，三角形的面积S可由公式求得，其中p为三角形周长的一半.现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为(   )A.6 B. C.12 D.6.已知，则下列不等式一定成立的是(   )A. B. C. D.7.若正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是(   )A.  B.C.  D.8.“”的充分不必要条件是(   )A. B. C. D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.已知，，且，则(   )A.有最大值 B.有最小值C.ab有最大值 D.ab有最小值10.下列命题为真命题的是(   )A.若，，则B.若，则C.若，，则D.若，则11.下列不等式的解集为空集的是(   )A.  B.C.  D.12.受亚洲飞人苏炳添勇夺东京奧运百米决赛第四并破亚洲记录的影响，甲、乙、丙三名短跑运动员同时参加了一次百米赛跑，所用时间分別为，，.甲有一半的时间以速度米/秒奔跑，另一半的时间以速度米/秒奔跑；乙全程以速度米/秒奔跑；丙有一半的路程以速度米/秒奔跑，另一半的路程以速度米/秒奔跑.其中，.下列结论一定成立的是(   )A. B. C. D.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.在R上定义运算，则不等式的解集为_________.14.已知，则的最小值为_________.15.已知，则与的大小关系是__________.16.已知，，且，则的最小值为_________.四、解答题：本题共4题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（1）已知，求证：.（2）已知，，求证：.18.某服装厂为扩大生产增加收益，新引进了一套某种服装的生产设备，用该设备生产制作服装每月的成本t(单位：元)由两部分构成：①固定成本(与生产服装的数量无关)元；②生产所需材料成本为(单位：元)，x为每月生产服装的件数.(1)用该设备生产服装，每月产量x为何值时，平均每件服装的成本最低，每件的最低成本为多少?(2)若每月生产x件服装，每件售价为(单位：元)，假设每件服装都能够售出，则该企业应如何制定计划，才能确保该设备每月的利润不低于4万元?19.已知实数a，b满足，.（1）求实数a，b的取值范围；（2）求的取值范围.20.为发展空间互联网，抢占6G技术制高点，某企业计划加大对空间卫星网络研发的投入，据了解，该企业研发部原有100人，年人均投入万元，现把研发部人员分成两类：技术人员和研发人员，其中技术人员有x名（且），调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入为万元.（1）要使调整后的研发人员的年总投入不低于调整前的100人的年总投入，则调整后的技术人员最多有多少人？（2）是否存在实数m，同时满足两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②调整后研发人员的年总投入始终不低于调整后技术人员的年总投入？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.
答案以及解析1.答案：A解析：，所以.2.答案：C解析：方法一：因为关于x的不等式有解，所以，解得.方法二：因为关于x的不等式有解，所以关于x的不等式有解，所以.3.答案：B解析：方法一：因为，所以，则，当且仅当，即时取等号，故的最小值为18.方法二：因为，所以，则，当且仅当，即时取等号，故的最小值为18.4.答案：D解析：不等式可化为.因为，所以.5.答案：B解析：由题意得，所以此三角形的面积，当且仅当即时取等号.6.答案：D解析：由，令，，则，，，故A错误.当时，，故B错误.当时，，故C错误..因为，所以，，所以，即，所以，故D正确.选D.7.答案：D解析：因为，所以，当且仅当，即，时等号成立，所以.又有解，所以，解得或.故选D.8.答案：C解析：若，，满足，但，推不出，故A不符合题意.若，，满足，但，故B不符合题意.因为，所以，，故不等式两边同乘，得，则是的充分条件；当时，令，，推不出.综上所述，“”是“”的充分不必要条件，故C符合题意.若，，满足，但，故D不符合题意.选C.9.答案：BD解析：由可得.令，，则，当且仅当时取等号.由，解得，故，当且仅当时取等号.故选BD.10.答案：ABC解析：对于A，由题意知且，则，故A为真命题；对于B，因为，所以，，所以，故B为真命题；对于C，由，，得，即，故C为真命题；对于D，由，得，即，故D为假命题.11.答案：CD解析：对于A，解不等式，得，A不满足题意；对于B，由，得，该不等式的解集为R，B不满足题意；对于C，，即，又，所以的解集为空集，C满足题意；对于D，因为，所以的解集为空集，D满足题意.12.答案：AC解析：由题意知，，，.由基本不等式得，即，即，因此，当且仅当时等号全部成立，故A正确，B错误；又由，易知，故C正确；，，取，，此时，故D不一定成立.选AC.13.答案：或解析：解：不等式可化为，解得或.14.答案：解析：，当且仅当，即时等号成立，所以所求的最小值为.15.答案：解析：，，，，.16.答案：4解析：，，.，，当且仅当时取等号，即，或，时，等号成立.17.答案：（1）证明见解析（2）证明见解析解析：（1）因为，所以.（2）要证，只需证，只需证，只需证，即证，这显然成立，所以（，）成立.18.答案：(1)用该设备每月生产2000件服装时，可使得平均每件所需的成本最少，每件最少成本为300元(2)该设备每月至少生产800件产品，才能确保该设备每月利润不低于4万元解析：(1)设平均每件所需的成本费用为y元，则有，当且仅当，即时，等号成立，此时y的最小值是300.因此用该设备每月生产2000件服装时，可使得平均每件所需的成本最少，每件最少成本为300元.(2)设月利润为P(元)，则有，整理得，解得(舍去)或.因此该设备每月至少生产800件产品，才能确保该设备每月利润不低于4万元.19.答案：（1）实数a的取值范围为，实数b的取值范围为（2）的取值范围是解析：（1）由，，两式相加，得，即.由，得.又，两式相加，得，即.所以实数a的取值范围为，实数b的取值范围为.（2）方法一：设，，则，，所以.因为，，所以，，所以，即，所以的取值范围是.方法二：设，则解得.所以.又，，所以，，所以，即，所以的取值范围是.20.答案：（1）调整后的技术人员最多有75人（2）存在实数m满足条件，且实数m的值为7解析：（1）依题意可得调整后研发人员人数为，年人均投入为万元，则，解得，又，，所以调整后的技术人员最多有75人.（2）假设存在实数m满足条件.由条件①，得，解得.又，，所以当时，取得最大值7，所以.由条件②，得，不等式两边同除以ax，得，整理得，因为，当且仅当时等号成立，所以.综上，得.故存在实数m满足条件，且实数m的值为7.