人教版九年级上册22.1.4 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质第2课时当堂检测题

22.1.4　二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质

第2课时　用待定系数法求二次函数解析式

一、选择题

1.(2023湖南常德石门期末)抛物线的对称轴为直线x=3,y的最大值为-5,且与y=x2的图象开口大小相同,则这条抛物线的解析式为              (　　)

A.y=-(x+3)2+5　　　　B.y=-(x-3)2-5

C.y=(x+3)2+5　　　　D.y=(x-3)2-5

2.(2023安徽宣城宣州月考)已知抛物线y=ax2+bx经过点A(-3,-3),且该抛物线的对称轴经过点A,则该抛物线的解析式为              (　　)

A.y=-x2+2x

C.y=x2+2x

3.(2023河北邢台威县月考)已知二次函数的图象经过(0,0),(3,0),(1,-4)三点,则该函数的解析式为              (　　)

A.y=x2-3x　　　　B.y=2x2-3x

C.y=2x2-6x　　　　D.y=x2-6x

4.(2021北京顺义期末)某二次函数的图象如图所示,则这个二次函数的解析式为              (　　)

1. y=x2+2x-3　　　　B.y=x2-2x-3　　　　

C.y=-x2+2x-3　　　　D.y=-x2-2x+3

二、填空题

5.(2023山东济南期末)小聪在画一个二次函数的图象时,列出了下面几组y与x的对应值:

该二次函数的解析式是　　　　　　　　. 

6.(2022山东德州夏津月考)如果抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=-2,开口方向,形状与抛物线y=-x2相同,且过原点,那么该抛物线的解析式为y=　　　　. 

三、解答题

7.(2022河南南阳镇平期末)二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(4,0),B(0,-3),C(-2,0),求它的解析式,并直接写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标.

8.(2023福建福州期末)已知抛物线y=ax2-bx+3经过点A(1,2),B(3,3).

(1)求此抛物线的函数解析式;

(2)判断点C(-2,-1)是否在此抛物线上.

9.(2023河南新乡封丘期末)如图,抛物线y=x2+bx+c经过点A(-1,0),B(3,0).

(1)求抛物线的解析式;

(2)点E(2,m)在抛物线上,P为直线AE下方抛物线上的点,当△AEP的面积最大时,求出点P的坐标.

答案全解全析

1.答案　B　设抛物线的解析式为y=a(x-3)2-5,因为该抛物线与y=x2的图象开口大小相同,而y的最大值为-5,所以a=-,所以这条抛物线的解析式为y=-(x-3)2-5.故选B.

2.答案　D　∵抛物线y=ax2+bx经过点A(-3,-3),且抛物线的对称轴经过点A,∴抛物线的顶点坐标是(-3,-3),∴x2+2x.故选D.

3.答案　C　设这个二次函数的解析式是y=ax(x-3),把(1,-4)代入得-4=-2a,解得a=2,所以该函数的解析式为y=2x(x-3)=2x2-6x.故选C.

4.答案　B　从图象可知,二次函数图象的顶点坐标是(1,-4),与x轴的一个交点坐标是(-1,0),设这个二次函数的解析式是y=a(x-1)2-4,把(-1,0)代入得0=a(-1-1)2-4,解得a=1,所以这个二次函数的解析式为y=(x-1)2-4=x2-2x-3.故选B.

5.答案　y=(x-3)2-4(或y=x2-6x+5)

解析　由表格数据结合二次函数图象的对称性,可得图象顶点为(3,-4),设二次函数的表达式为y=a(x-3)2-4,将(1,0)代入得4a-4=0,解得a=1,∴该二次函数的表达式为y=(x-3)2-4(或y=x2-6x+5).

6.答案　-x2-6x

解析　∵抛物线y=ax2+bx+c的开口方向,形状与抛物线y=-x2相同,∴a=-,∵抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=-2,∴-=-2,即-=-2,解得b=-6,∵抛物线y=ax2+bx+c过原点,∴c=0.∴抛物线y=ax2+bx+c的解析式为y=-x2-6x.

7.解析　将(4,0),(0,-3),(-2,0)代入y=ax2+bx+c,得

∴二次函数的解析式为y=x-3.

∵y=(x-1)2-,

∴抛物线开口向上,对称轴为直线x=1,顶点坐标为.

8.解析　(1)将点A(1,2),B(3,3)代入y=ax2-bx+3,

得

解得

∴抛物线的函数解析式为y=x+3.

(2)当x=-2时,y=2+3+3=8≠-1,

∴点C(-2,-1)不在此抛物线上.

9.解析　(1)把A(-1,0),B(3,0)分别代入y=x2+bx+c,得

解得

∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3.

(2)当x=2时,y=22-2×2-3=-3,∴E(2,-3),

设直线AE的解析式为y=kx+n(k≠0),

把A(-1,0),E(2,-3)分别代入y=kx+n,得

解得

∴直线AE的解析式为y=-x-1.

如图,过点P作PF∥y轴交AE于点F,

设点P的坐标为(t,t2-2t-3),则F(t,-t-1),

∵P为直线AE下方抛物线上的点,∴-1<t<2.

∵S△AEP=S△APF+S△EPF,

∴S△AEP=(yF-yP)·(xE-xA)

=(-t-1-t2+2t+3)×(2+1)

=-t+3

=-(-1<t<2),

∴当t=时,S△AEP取得最大值,

此时点P的坐标为.