新高考物理二轮复习精选练习专题23数学方法在物理解题中的应用（含解析）

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2023高考二轮复习二十专题
专题二十三、数学方法在物理解题中的应用
第一部分 织网点睛，纲举目张
高考物理试题的解答离不开数学知识和方法的应用，借助物理知识渗透考查数学能力是高考命题的永恒主题。可以说任何物理试题的求解过程实际上是将物理问题转化为数学问题，经过求解再还原为物理结论的过程。
第二部分 实战训练，高考真题演练
1．（18分）（2022重庆高考）小明设计了一个青蛙捉飞虫的游戏，游戏中蛙和虫都在竖直平面内运动。虫可以从水平x轴上任意位置处由静止开始做匀加速直线运动，每次运动的加速度大小恒为（g为重力加速度），方向均与x轴负方向成斜向上（x轴向右为正）。蛙位于y轴上M点处，，能以不同速率向右或向左水平跳出，蛙运动过程中仅受重力作用。蛙和虫均视为质点，取。
（1）若虫飞出一段时间后，蛙以其最大跳出速率向右水平跳出，在的高度捉住虫时，蛙与虫的水平位移大小之比为，求蛙的最大跳出速率。
（2）若蛙跳出的速率不大于（1）问中的最大跳出速率，蛙跳出时刻不早于虫飞出时刻，虫能被捉住，求虫在x轴上飞出的位置范围。
（3）若虫从某位置飞出后，蛙可选择在某时刻以某速率跳出，捉住虫时蛙与虫的运动时间之比为；蛙也可选择在另一时刻以同一速率跳出，捉住虫时蛙与虫的运动时间之比为。求满足上述条件的虫飞出的所有可能位置及蛙对应的跳出速率。
【参考答案】（1）；（2）；
（3），或，

【名师解析】
（1）虫子做匀减速直线运动，青蛙做平抛运动，x虫==H
=
青蛙做平抛运动，设在空中运动时间为t蛙，由平抛运动规律，
x蛙= vmt蛙，
H-3H/4=
联立解得： ，
（2）设青蛙和虫若同时开始运动的时间均为t，相遇时有
+=H
解得：

则最小位置坐标为 xmin= vmt-=H
而 青蛙和虫不同时出发时需要二者轨迹相切，青蛙的平抛运动有
y=H-，x= vmt

可得轨迹方程 y=H-
虫的轨迹方程 y=（xmax-x）tan37°

两轨迹相交，（xmax-x）tan37°=H-
整理可得-x+x max-H=0
令△=0，即 -4× （x max-H）=0
解得：xmax =2H
虫在x轴上飞出的位置范围为 H ≥x≥2H
（3）设青蛙在空中运动时间为t1，有
+=H
+=H
解得：，
而 +=x1
-=x1
解得：，
而 +=x2
-=x2
解得：，

第三部分 思路归纳，内化方法
物理解题过程中常用的数学方法主要有
1．正弦定理：

在如图甲所示的三角形中，各边和所对应角的正弦之比相等。
即：＝＝
2．余弦定理：在如图甲所示的三角形中，有如下三个表达式：
a2＝b2＋c2－2bc·cos A
b2＝a2＋c2－2ac·cosB
c2＝a2＋b2－2ab·cos C
3．三角形相似法：相似三角形的对应角相等，对应边成比例，如图乙所示，两三角形相似，有：
＝＝

[例3]　表面光滑、半径为R的半球固定在水平地面上，球心O的正上方O′处有一无摩擦定滑轮，轻质细绳两端各系一个可视为质点的小球挂在定滑轮上，如图所示。两小球平衡时，若滑轮两侧细绳的长度分别为L1＝2.4R和L2＝2.5R，这两个小球的质量之比为，小球与半球之间的压力之比为，则以下说法正确的是(　　)
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
[解析]　先以左侧小球为研究对象，分析受力情况：重力m1g、绳子的拉力FT和半球的支持力FN1，作出受力分析图。由平衡条件得知，拉力FT和支持力FN1的合力与重力m1g大小相等、方向相反。设OO′＝h，根据三角形相似得＝＝，解得m1g＝，FN1＝①
同理，以右侧小球为研究对象，得：m2g＝，FN2＝，②
由①②式得＝＝，＝＝。
[答案] BC
4三角函数法
三角函数：y＝acos θ＋bsin θ
y＝acos θ＋bsin θ＝sin(θ＋α)，其中α＝arctan 。
当θ＋α＝90°时，有极大值ymax＝。
[例4]　如图所示是一旅行箱，它既可以在地面上推着行走，也可以在地面上拉着行走。已知该旅行箱的总质量为15 kg，一旅客用斜向上的拉力拉着旅行箱在水平地面上做匀速直线运动，若拉力的最小值为90 N，此时拉力与水平方向间的夹角为θ，重力加速度大小为g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，旅行箱受到地面的阻力与其受到地面的支持力成正比，比值为μ，则(　　)
A．μ＝0.5，θ＝37° B．μ＝0.5，θ＝53°
C．μ＝0.75，θ＝53° D．μ＝0.75，θ＝37°
[解析]　对旅行箱受力分析，如图所示，根据平衡条件，水平方向，有：Fcos θ－Ff＝0，
竖直方向，有：FN＋Fsin θ－G＝0，
其中：Ff＝μFN，故F＝，
令μ＝tan α，则F＝；
当α－θ＝0°时，F有最小值，故F＝Gsin α＝90 N，
故α＝37°，故μ＝tan 37°＝0.75，θ＝37°，故选D。
[答案]　D
5.二次函数法
二次函数：y＝ax2＋bx＋c
当x＝－时，有极值ym＝(若二次项系数a＞0，y有极小值；若a＜0，y有极大值)。
6.数学归纳法
凡涉及数列求解的物理问题都具有过程多、重复性强的特点，但每一个重复过程均不是原来的完全重复，而是一种变化了的重复。随着物理过程的重复，某些物理量逐步发生着前后有联系的变化。该类问题求解的基本思路为：
(1)逐个分析开始的几个物理过程；
(2)利用归纳法从中找出物理量变化的通项公式(这是解题的关键)；
(3)最后分析整个物理过程，应用数列特点和规律求解。
7.数列法
无穷数列的求和，一般是无穷递减数列，有相应的公式可用。
等差：Sn＝＝na1＋d(d为公差)。
等比：Sn＝(q为公比)。
8.图像法
根据题述情景画出相关图像进行定性分析或定量运算。
9.矢量图解法

第四部分 最新模拟集萃，提升应试能力
1. （2023宁夏银川一中第一次月考）如图，悬挂甲物体的细线拴牢在一不可伸长的轻质细绳上O点处；绳的一端通过光滑的定滑轮与物体丙相连，另一端通过光滑定滑轮与物体乙相连。甲、乙两物体质量相等。系统平衡时，O点两侧绳与竖直方向的夹角分别为α和β。若β=55°，则（　　）


A. α>β B. α