广东省佛山市南海区狮山石门高级中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题

这是一份广东省佛山市南海区狮山石门高级中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题，共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
石门高级中学2023-2024学年度第一学期高二级数学科第一次统测试题（全卷共4页，供高二年级1--20班使用）  命题人：任顺选一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1. 的值为（    ）A.    B.    C.    D. 2.若，则（    ）A.    B.    C.    D. 3.已知向量，满足，，，则（    ）A.2   B.-2   C.1   D.-14.如图，三棱柱中，侧棱底面，底面三角形是正三角形，是中点，则下列叙述正确的是（    ）A. 与是异面直线      B. 平面C. ，为异面直线，且  D. 平面5.已知甲、乙两组数据（已按从小到大的顺序排列）：甲组：27，28，39，40，，50；乙组：24，，34，43，48，52；若这两组数据的第30百分位数、第80百分位数分别相等，则等于（    ）A.    B.    C.    D. 6.为了解疫情防控延迟开学期间全市中小学线上教学的主要开展形式，某课题组面向全市各学校开展了一次随机调查，并绘制得到如下统计图.经分析统计图表，采用“直播+录播”方式进行线上教学的学校占比约为（    ）A.22.5%   B.27.5%   C.32.5%   D.37.5%7.在如图所示的电路图中，开关，，闭合与断开的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率是（    ）A.    B.    C.    D. 8.已知正四面体的棱长为，点，分别是，的中点，则的值为（    ）A.    B.    C.    D. 二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.下列说法正确的有（    ）A.设，是两个虚数，若和均为实数，则，是共轭复数B.设，是两个虚数，若，则与互为共轭复数C.设，是两个虚数，若与是共轭复数，则和均是实数D.设，是两个虚数，若，则与互为共轭复数10.已知、、为空间中三条不同的直线；、、为空间中三个不同的平面，则下列说法中正确的有（    ）A.若，，则B.若，，，则C.若，，分别与、所成的角相等，则D.若，，，若，则、、交于同一点11.已知甲罐中有四个相同的小球，标号为1，2，3，4；乙罐中有三个相同的小球，标号为1，2，3.从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件 “抽取的两个小球标号之和大于5”，事件 “抽取的两个小球标号之积小于6”，则（    ）A.事件发生的概率为   B.事件发生的概率为C.事件，是互斥事件   D.事件，相互独立12.对于任意非零向量，，以下说法错误的有（    ）A.已知向量，，若，则为钝角B.若，则C.若空间四个点，，，，，则，，三点共线D.若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知力，，满足，且，则_________.14.已知，，则在上的投影向量为_________（用坐标表示）.15.我校高一、高二、高三共有学生1800名，为了了解同学们对“智慧课堂”的意见，计划采用分层随机抽样的方法，从这1800名学生中抽取一个容量为36的样本.若从高一、高二、高三抽取的人数恰好是从小到大排列的连续偶数，则我校高三年级的学生人数为__________.16.已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，且球的表面积为，，平面，，则三棱锥的体积为_________.四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.（本小题12.0分）已知的内角，，所对的边分别为，，，向量，且.（1）求角的大小；（2）若，，求面积.18.（本小题12.0分）已知函数.（1）求的单调递增区间；（2）将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，求在区间内的值域.19.（本小题12.0分如图，在四棱锥，四边形正方形，平面.，，点是的中点.（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离.20.（本小题12.0分）文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，得到如图所示的频率分布直方图.（1）求频率分布直方图中的值；（2）求样本成绩的第75百分位数；（3）已知落在的平均成绩是54，方差是7，落在的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差.21.（本小题12.0分）进行垃圾分类收集可以减少垃圾处理量和处理设备，降低处理成本，减少土地资源的消耗，具有社会、经济、生态等多方面的效益，是关乎生态文明建设全局的大事.为了普及垃圾分类知识，某学校举行了垃圾分类知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为，乙同学答对每题的概率都为，且在考试中每人各超答题结果互不影响.已知每题甲，乙同时答对的概率为，恰有一人答对的概率为.（1）求和的值；（2）试求两人共答对3道题的概率.22.（本小题12.0分）在如图所示的多面体中，平面，平面，，且，是的中点.（I）求证：；（Ⅱ）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值；（Ⅲ）在棱上是否存在一点，使得直线与平面所成的角为60°.若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由.石门高级中学2023-2024学年度第一学期高二级数学科第一次统测试题答案（全卷共4页，供高二年级1—20班使用）  命题人：任顺选一、单选题1.B  2.D  3.A  4.C  5.A  6.B  7.B  8.C二、多选题9.ABC  10.BD  11.ABC  12.ABD三、填空题13.   14.   15.700  16.3四、解答题17.解：（1）∵，，由正弦定理得，.∵，∴，又，所以.（2）由余弦定理得，即，，所以.18.解：（1）因为，令，解得，则的单调递增区间是 ；（2）由（1）可得.因为，所以，所以，所以，即在区间内的值域为.19.【答案】解：（1）证明：连接交于点，连接，∵底面为正方形，∴为中点，∵点是的中点，∴，∵平面，平面，∴平面.（2）解：因为平面，平面，所以，又为正方形，又，平面，所以平面，平面，所以，又点是的中点，，，所以，，，，所以，设点到平面的距离为，则，即，即，解得，即点到平面的距离为.20.【答案】解：（1）∵每组小矩形的面积之和为1，∴，∴.（2）成绩落在内的频率为，落在内的频率为，设第75百分位数为，由，得，故第75百分位数为84.（3）由图可知，成绩在的市民人数为100×0.1=10，成绩在的市民人数为100×0.2=20，故.设成绩在中10人的分数分别为；成绩在中20人的分数分别为，，，即，，∴，所以两组市民成绩的总平均数是62，总方差是37.21.【答案】解：（1）设{甲同学答对第一题}，{乙同学答对第一题]，则，，设{（甲、乙二人均答对第一题}，{甲、乙二人恰有一人答对第一题），则，，∵二人答题互不影响，且每人各题答题结果互不影响，∴与相互独立，与相互互斥，∴，，由题意得：，解得或，∵，∴，.（2）设{甲同学答对了道题}，{乙同学答对了道题}，，由题意得：，，，，设{甲乙二人共答对3道题}，则，∴，∴甲乙两人共答对3道题的概率为.22.【答案】（I）证明：∵，是的中点∴，又平面，平面，则.∵，平面，∴平面，∵平面，∴，（Ⅱ）以为原点，分别以，为，轴，如图建立坐标系，，，，，，，，，，设平面的一个法向量，则，即，取，，，所以.设平面的一个法向量，则，即，取，，，所以，所以，所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值；（Ⅲ）假设在棱上是否存在一点，使得直线与平面所成的角为60°，设且，，∴，∴，，；若直线与平面所成的角为60°，则，解得：，所以符合条件的点存在，为棱的中点.