辽宁省部分高中2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题

这是一份辽宁省部分高中2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题，共14页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容，已知点，，，若A是直线，已知直线等内容，欢迎下载使用。
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．本试卷主要考试内容：人教B版必修第四册第十一章至选择性必修第一册第二章2.2。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．在空间直角坐标系中，点关于xOy平面对称的点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
2．已知平面平面，直线，直线，则a与b的位置关系是（ ）
A．平行B．平行或异面C．异面D．异面或相交
3．已知向量，，若，则（ ）
A．B．4C．或1D．4或
4．已知点，，则经过线段AB的中点，且与直线平行的直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
5．已知某圆锥的一条母线所在的直线与底面所成的角为，则该圆锥的侧面积与底面积之比为（ ）
A．B．C．D．
6．已知点，，，若A是直线：和：的公共点，则直线BC的方程为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，某圆柱的轴截面ABCD是边长为2的正方形，P，Q分别为线段BC，AC上的两个动点，E为上一点，且，则的最小值为（ ）
A．3B．C．D．
8．如图，正方体的棱长为2，E是AB的中点，点M，N分别在直线，CD上，则线段MN的最小值为（ ）
A．1B．C．2D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知直线：，：，则下列结论正确的是（ ）
A．在y轴上的截距为B．在x轴上的截距为
C．若，，则，之间的距离为D．若，则
10．如图，由正四棱锥截去一部分后得到四棱台，，分别为四边形ABCD，的对角线交点，，，，则下列结论正确的是（ ）
A．几何体是三棱柱B．几何体是三棱台
C．四棱台的体积为D．直线与直线所成角的正切值为
11．直线：与：在同一平面直角坐标系内的位置可能是（ ）
A．B．
C．D．
12．已知正方体的棱长为2，P是空间中的一动点，下列结论正确的是（ ）
A．若，则的最小值为
B．若，则平面截正方体所得截面积的最大值为
C．若，则三棱锥的表面积为
D．若，则直线与BP所成角的最小值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．在空间直角坐标系中，向量，是平面的一个法向量，若平面，则______．
14．已知直线经过点，，且的倾斜角与直线：的倾斜角互补，则______．
15．如图，已知二面角的平面角大小为，四边形ABFE，EDCF均是边长为4的正方形，则______．
16．在三棱锥中，，，，三棱锥的各顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
已知为直线上一点，且的斜率为．
（1）求的一般式方程；
（2）若直线经过坐标原点，且，求P到的距离．
18．（12分）
《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑中，平面PBC，平面PAB，D为PC的中点，．
（1）设，，，用，，表示；
（2）若，求．
19．（12分）
如图，已知AB是半圆O的直径，C为上一动点，平面ABC，D为弦AC的中点．
（1）证明：平面PAC．
（2）若，三棱锥的体积为，指出C的位置，并说明理由．
20．（12分）
如图，在直四棱柱中，底面ABCD是菱形，且，E，F，G分别为，AC，的中点，．
（1）求直线与EG所成角的余弦值；
（2）求点到平面EFG的距离．
21．（12分）
已知的三个顶点是，，．
（1）过点B的直线与边AC相交于点D，若的面积是面积的3倍，求直线的方程；
（2）求的角平分线所在直线的方程．
22．（12分）
在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，E是BC的中点，点F在棱AD上，且，，．
（1）若平面平面，证明：平面ABCD．
（2）求平面PEF与平面PCD的夹角的余弦值的最大值．
高二考试数学试卷参考答案
1．A 点关于xOy平面对称的点的坐标为．
2．B 易得a与b的位置关系是平行或异面．
3．C 因为，所以，解得或1．
4．B 线段AB中点的坐标为，过点且与直线平行的直线的方程为．
5．D 由，得，
设该圆锥的母线长为l，则底面半径，
则该圆锥的侧面积与底面积之比为．
6．B 由点在：上可知，，
同理，故点与均满足方程，
因此直线BC的方程为．
7．C 如图，连接EC，将沿直线BC旋转到的位置，
且在AB的延长线上．易得，，，
则，当时，最小，最小值为．
8．B 建立如图所示的空间直角坐标系，则，，．
设，，则．
．
当时，MN取得最小值，最小值为．
9．ACD 易得在y轴上的截距为，在x轴上的截距为6，A正确，B错误．
若，，，之间的距离为，C正确．若，则，D正确．
10．BCD 在几何体中，没有任何两个平面平行，A错误．
将四棱台沿轴截面分成两部分，
其中之一是三棱台，B正确．
四棱台的体积为，C正确．
连接，作，垂足为E．为直线与直线所成的角，
，D正确．
11．BC 对于A选项，两条直线的斜率和截距均大于0，且其中一条直线的斜率和截距均大于另一条直线的斜率和截距，不符合题意，A不正确．对于B选项，当时，符合题意，B正确．
对于C选项，当或时，符合题意，C正确．对于D选项，其中一条直线斜率不存在，不符合题意，D不正确．
12．ABD 对于A选项，在AB上取点H（图略），使得，
在CD上取点K，使得，则由，
得，即，故P是线段HK上一点．
将平面沿HK展开至与平面AHKD共面，此时，
当，P，D三点共线时，取得最小值，A正确．
对于B选项，由，可知P是线段BD上一点．
连接AC并与BD交于点Z（图略）．
当P与D重合时，平面与平面重合，不符合题意．
当P在线段DZ（不含点D）上时，平面截正方体所得截面为三角形，
且当P与Z重合时，截面面积最大，最大值为．
当P在线段BZ（不含点B，Z）上时，延长AP并与BC交于点W，
作并与交于点R，则截面为等腰梯形，
设，则，．
梯形的高，
面积为．
当P与B重合时，截面为矩形，面积为．
故平面截正方体所得截面积的最大值为，B正确．
对于C选项，因为，所以P为的中点，三棱锥的表面积为
，C不正确．
对于D选项，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，则，，．
因为，所以，所以直线与BP所成角的最小值为，D正确．
13．8 由题意得，则，得．
14．0 由题意得的斜率为2，则的斜率为，得，即．
15． 因为，
所以．
又二面角的平面角大小为，四边形ABFE，EDCF均为边长为4的正方形，
所以，，
，所以，则．
16． 由，，，
根据余弦定理可得，则，，
则三棱锥外接球的直径为，
故三棱锥外接球的表面积为．
17．解：（1）的方程为，即．
（2）由题意得的斜率为，则的方程为，即．
故P到的距离为．
18．解：（1）连接BD，PE（图略）．．
因为D为PC的中点，，所以，
所以．
（2）因为，
所以
．
因为平面PBC，平面PAB，所以，，．
又，所以，即．
19．（1）证明：∵AB是半圆O的直径，C为半圆O上的一动点，∴．
∵平面ABC，∴．
∵PA，平面PAC，，∴平面PAC．
∵O，D分别为AB，AC的中点，∴，∴平面PAC．
（2）解：如图，连接OC，由（1）可得，
则，
得．∴或，
∴C为上更靠近A或更靠近B的三等分点．
20．解：（1）连接BD．因为底面ABCD是菱形，所以．
因为F，G分别为AC，的中点，所以，则平面ABCD．
以F为坐标原点，FA，FB，FG所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
由，，得，，，，
则，．
，
故直线与EG所成角的余弦值为．
（2）由（1）知．设平面EFG的法向量为，
则．
令，得．
点到平面EFG的距离为．
21．解：（1）设，则，．
因为的面积是面积的3倍，所以，
则解得
故直线的方程为，即．
（2）显然，的斜率存在且不为零，设的方程为，
则过点B且与垂直的直线l的方程为．
设点B关于直线l对称的点为，因为直线AC的方程为，
所以
整理得．
因为，所以，解得或．
又，，所以，
故直线的方程为，即．
22．（1）证明：因为底面ABCD是正方形，所以．
因为平面PAB，平面PAB，所以平面PAB．
又因为平面平面，所以．
因为平面ABCD，平面ABCD，所以平面ABCD．
（2）解：由题意可得，．
因为底面ABCD是正方形，所以．
又因为，所以平面PAB．
因为，所以平面PAB，．
．
．
以A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x，y轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
点P到y，z轴所在平面的距离为，
点P到x，y轴所在平面的距离为．
，，，，设．
，，设平面PCD的法向量为，
则即取，可得．
，，设平面PEF的法向量为，
则即取，可得．
设平面PEF与平面PCD的夹角为，
则，
令，则
．
当时，取得最小值，最小值为，
所以的最大值为，此时，．
故平面PEF与平面PCD的夹角的余弦值的最大值为．