广东省珠海市斗门区第一中学2023-2024学年高二数学上学期10月阶段考试题（Word版附解析）

珠海市斗门一中2023-2024学年度第一学期第一阶段考试

高二数学试题

本试卷共6页，22小题，满分150分．考试用时120分钟．

一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，（　　）

A  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用空间向量的线性运算法则求解．

【详解】∵，

∴，

故选：C．

2. 已知向量，，且，则实数（    ）

A.  B. 2 C. 3 D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据向量垂直的坐标表示，列出方程，即可求解.

【详解】由向量，，

因为，可得，解得.

故选：B.

3. 某高中学校开展学生对宿舍管理员满意度的调查活动，已知该校高一年级有学生1100人，高二年级有学生1000人，高三年级有学生900人．现从全校学生中按比例分层抽样的方法抽取60人进行调查，则抽取的高二年级学生人数为（    ）

A. 18 B. 20 C. 22 D. 30

【答案】B

【解析】

【分析】根据已知条件，结合分层抽样的定义域计算方法，即可求解.

【详解】由分层抽样的定义可知，从全校学生中用分层抽样的方法抽取人进行调查，

则抽取高二年级的学生人数为.

故选：B.

4. 已知，，则等于（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据空间向量的坐标运算直接求解即可.

【详解】，.

故选：A.

5. 新高考按照“3+1+2”模式设置，其中“3”为语文、数学、外语3门必考科目，“1”由考生在物理、历史2门科目中选考1门科目，“2”由考生在化学、生物、政治、地理4门科目中选考2门科目，则学生甲选考的科目中包含物理和生物的概率是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意求得所有可能选考的可能性，再求满足题意的可能性，利用古典概型的概率计算公式即可求得结果.

【详解】根据题意，从物理、历史中选择1门，从化学、生物、政治、地理选择2门，

所有的可能有如下12种；

物理，化学，生物；物理，化学，政治；物理，化学，地理；物理，生物，政治；

物理，生物，地理；物理，政治，地理；

历史，化学，生物；历史，化学，政治；历史，化学，地理；历史，生物，政治；

历史，生物，地理；历史，政治，地理；

学生甲选择科目中包含物理和生物，则有如下3种；

物理，化学，生物；物理，生物，政治；物理，生物，地理.

故满足题意的概率.

故选：.

6. 已知三棱锥，点M，N分别为，的中点，且，，，用，，表示，则等于（　　）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】运用向量线性运算即可求得结果．

【详解】因为，，，

所以.

故选：D.

7. 一个公司有8名员工，其中6位员工的月工资分别为6200、6300、6500、7100、7500、7600，另两位员工的月工资数据不清楚，那么8位员工月工资的中位数不可能是（    ）

A. 6800 B. 7000 C. 7200 D. 7400

【答案】D

【解析】

【分析】根据中位数的定义，由已知数据确定中位数的范围，由此判断正确选项.

【详解】∵一个公司有8名员工，其中6名员工的月工资分别为6200，6300，6500，7100，7500，7600，

∴当另外两名员工的工资都小于6300时,中位数为(6300+6500)÷2=6400，

当另外两名员工的工资都大于7500时,中位数为(7100+7500)÷2=7300，

∴8位员工月工资的中位数的取值区间为[6400,7300]，

∴8位员工月工资的中位数不可能是7400.

故选：D.

8. 正方体的棱长为2，若动点在线段上运动，则的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】以为原点，建立空间直角坐标系，求得，，，设，求得，即可求解.

【详解】以为原点，以，，所在的直线为轴、轴和轴，建立空间直角坐标系，

如图所示，则，，，，，

可得，，，

因为点在线段上运动，设，且，

所以，可得，

又因为，所以，即.

故选：A．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的0分．

9. 已知空间向量，则下列说法正确的是（    ）

A.

B. 向量与向量共线

C. 向量关于轴对称的向量为

D. 向量关于平面对称的向量为

【答案】ABC

【解析】

【分析】根据空间向量模的公式，结合共线向量、线对称、面对称的性质逐一判断即可.

【详解】A：因为，所以本选项说法正确；

B：因为，所以向量与向量共线，因此本选项说法正确；

C：设的起点为坐标原点，所以该向量的终点为，

因为点关于轴对称的点的坐标为，

所以向量关于轴对称的向量为，因此本选项说法正确；

D：设的起点为坐标原点，所以该向量的终点为，

因为点关于平面对称点的坐标为，

所以向量关于平面对称的向量为，

故选：ABC

10. 给出下列命题，其中正确的命题是（    ）

A. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线

B. 若对空间中任意一点，有，则四点共面

C. 两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线

D. 已知向量，则在上的投影向量为

【答案】CD

【解析】

【分析】根据已知得出，即可判断A项；根据空间向量的有关定义及其结论，可判断B、C项；根据投影向量的概念，即可得出D项.

【详解】对于A项，由已知可得，所以或，故A项错误；

对于B项，因为，所以四点不共面，故B项错误；

对于C项，根据空间向量基底的概念，可知C项正确；

对于D项，因为，，

所以，在上的投影向量为，故D项正确.

故选：CD.

11. 从高一某班抽三名学生(抽到男女同学的可能性相同)参加数学竞赛，记事件A为“三名学生都是女生”，事件B为“三名学生都是男生”，事件C为“三名学生至少有一名是男生”，事件D为“三名学生不都是女生”，则以下正确的是（　　）

A.  B. 事件A与事件B互斥

C.  D. 事件A与事件C对立

【答案】ABD

【解析】

【分析】由独立乘法公式求，根据事件的描述，结合互斥、对立事件的概念判断B、C、D即可.

【详解】由所抽学生为女生的概率均为，则，A正确；

两事件不可能同时发生，为互斥事件，B正确；

事件包含：三名学生有一名男生、三名学生有两名男生、三名学生都是男生，其对立事件为，D正确；

事件包含：三名学生都是男生、三名学生有一名男生、三名学生有两名男生，与事件含义相同，故，C错误；

故选：ABD

12. 为了养成良好的运动习惯，某人记录了自己一周内每天的运动时长（单位：分钟），分别为53，57，45，61，79，49，，若这组数据的第80百分位数与第60百分位数的差为3，则的值可能为（    ）

A. 58 B. 59 C. 62 D. 64

【答案】AD

【解析】

【分析】先对数据从小到大排序，分，，三种情况，舍去不合要求的情况，列出方程，求出答案,

【详解】将已知的6个数从小到大排序为45，49，53，57，61，79．

若，则这组数据的第80百分位数与第60百分位数分别为61和57，

他们的差为4，不符合条件；

若，则这组数据的第80百分位数与第60百分位数分别为79和61，

它们的差为18，不符合条件；

若，则这组数据的第80百分位数与第60百分位数分别为x和61（或61和x），

则，解得或

故选：AD.

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．

13. 已知，，若，则______．

【答案】

【解析】

【分析】根据空间向量共线的坐标表示，列出方程，即可求解.

【详解】由向量，，

因为，可得，解得.

故答案为：.

14. 在已知四面体中，已知，，两两垂直，且，，，若是的重心，则______．

【答案】

【解析】

【分析】根据三角形重心的性质和向量的线性运算，得到，结合向量的数量积的运算公式，即可求解.

【详解】如图所示，取的中点，根据三角形重心的性质，可得，

根据向量的运算法则，可得 ，

所以

，所以，即.

故答案为：.

15. 社会实践课上，老师让甲、乙两同学独立地完成某项任务，已知两人能完成该项任务的概率分别为，则此项任务被甲、乙两人中至少一人完成的概率为______．

【答案】

【解析】

【分析】根据两人是否完成任务之间是相互独立，结合独立事件和对立事件的概率计算公式，即可求解.

【详解】由题意知，两人能完成该项任务的概率分别为，且两人是否完成任务是相互独立的，

可得两人都未完成任务的概率为,

则此项任务被甲、乙两人中至少一人完成的概率为.

故答案为：.

16. 已知是空间单位向量，，若空间向量满足，，则最大值是_______.

【答案】

【解析】

【分析】由列方程，利用已知条件化简，结合基本不等式求得的最大值.

【详解】依题意是空间单位向量，

且，

，，

，

，

当且仅当时等号成立，

所以，

所以.

故答案为：

四、解答题：本大题共6小题，第17题满分10分，其余各题每小题满分12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 从2名男生（记为,）和2名女生（记为,）这4人中一次性选取2名学生参加象棋比赛（每人被选到的可能性相同）.

（1）请写出该试验的样本空间;

（2）设事件为“选到1名男生和1名女生”,求事件发生的概率;

（3）若2名男生,所处年级分别为高一、高二,2名女生,所处年级分别为高一、高二,设事件为“选出的2人来自不同年级且至少有1名女生”,求事件发生的概率.

【答案】（1）   

（2）   

（3）

【解析】

【分析】(1)根据题意把所有的可能结果列出即可;

(2) 由(1)知在所有得可能结果中数出事件发生的结果,求出概率即可;

(3) 由(1)知在所有得可能结果中数出事件发生的结果,求出概率即可.

【小问1详解】

解:由题知,样本空间为;

【小问2详解】

由(1)知,所有的可能结果数为6个,其中满足事件得结果数有4个,

故;

【小问3详解】

由(1)知,所有的可能结果数为6个,其中满足事件得结果数有3个,

故.

18. 已知四棱锥中，底面为矩形，且，，若平面，，分别是线段，的中点．

（1）证明：；

（2）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，确定点的位置：若不存在，说明理由；

【答案】(1)见解析 （2）存在，

【解析】

【分析】（1）利用线面垂直的判定定理，先证明平面，即可得出结论；

（2）过点作，交于点，则平面，且，再过点作交于点，则平面且，从而平面平面，即可得出结论．

【详解】（1）证明：连接，则，，

，，，

平面，，，平面，

平面，；

（2）解：过点作，交于点，则平面，且．

再过点作交于点，则平面且，

平面平面．平面，平面．

∴存在点满足，使得平面．

【点睛】本题考查线面垂直，线面平行，考查学生分析解决问题的能力，正确运用线面垂直，线面平行的判定定理是关键．

19. 现有两种投资方案，一年后投资盈亏的情况如下表：

投资股市：

购买基金：

（1）当时，求的值；

（2）已知甲、乙两人分别选择了“投资股市”和“购买基金”进行投资，如果一年后他们中至少有一人获利的概率大于，求的取值范围．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据随机事件概率的性质，由可得出答案；

（2）先设出各个事件后得出，由题意得，且，从而解出p的取值范围。

【小问1详解】

解∵“购买基金”的投资结果只有“获利”“不赔不赚”“亏损”三种，且三种投资结果相互独立，∴．

又，∴．

【小问2详解】

记事件为“甲投资股市且获利”，事件为“乙购买基金且获利”，事件为“一年后甲、乙两人中至少有一人获利”，则，且，相互独立．

由题意可知，．

∴．

∵，∴．

又，，∴．

∴．

20. 俄罗斯与乌克兰的军事冲突导致石油、天然气价格飙升.燃油价格问题是人们关心的热点问题，某网站为此进行了调查，现从参与者中随机选出100人作为样本，并将这100人按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示：

（1）求样本中数据落在的频率；

（2）求样本数据的第50百分位数；

（3）若将频率视为概率，现在要从和两组中用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行座谈，求抽取的2人中至少有1人的年龄在这一组的概率.

【答案】（1）0.4    （2）52.5   

（3）

【解析】

【小问1详解】

由频率分布直方图可得：组距为10，所以：

，

得：，故样本中数据落在的频率为：.

【小问2详解】

设第50百分位数为，易得位于50和60之间，

则有：

解得：.

【小问3详解】

分组人数为：人；

分组人数为：人，

利用分层抽样的方法易得：

分组抽人，

分组抽人，

从这6人中随机抽取2人进行座谈，抽取的2人中至少有1人的年龄在分组，即：

2人中有1人的年龄在分组，另1人的年龄在分组；2人的年龄都在分组，

故抽取的2人中至少有1人的年龄在这一组的概率为：.