江苏省泰州市泰兴市黄桥初中教育集团2023-2024学年八年级上学期第一次月考数学试卷

2023-2024学年江苏省泰州市泰兴市黄桥初中教育集团八年级（上）第一次月考数学试卷

一、选择题（本大题共6小题，共12.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.书法是我国特有的优秀传统文化，其中篆书具有象形特征，充满美感下列“福”字的四种篆书图案中，可以看作轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.如图，，，那么与全等的理由是(    )

A.
B.
C.
D.

3.已知等腰三角形的两边长是和，则它的周长是(    )

A.  B.  C. 或 D.

4.如图，中，，沿折叠，使点恰好落在边上的点处．若，则等于(    )

A.  B.  C.  D.

5.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为，点、均在格点上，在图中给出的、、、四个格点中，能与点、构成等腰三角形，且面积为的是(    )

A.
B.
C.
D.

6.如图，点是内部一点，点关于、的对称点是、，直线交、于点、，若，且，则的周长是(    )

A.
B.  
C.  
D.  

二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）

7.等腰三角形的一个内角为，则它的底角为______．

8.如图所示，已知是上的一点，，请再添加一个条件：______ ，使得≌．

9.如图，在中，，是的平分线，于点若，则的长度为______．

10.如图，一技术人员用刻度尺单位：测量某三角形部件的尺寸已知，点为边的中点，点、对应的刻度为、，则 ______ ．

11.如图是四种基本尺规作图，其中图是作一个角的平分线；图是作一条线段的垂直平分线；图是过直线外一点作已知直线的垂线；过直线上一点作已知直线的垂线比较这些作图的方法，发现有一个共同点，原图角、线段和直线都是轴对称图形，而所作的图形都是原图形的______ ．

 

12.如图，在中，，，，的垂直平分线分别交，于点、，的垂直平分线分别交，于点、，则的周长为______ ．

13.如图，为等边三角形，动点在边上移动点与、不重合，以为边向右侧作等边，连接，则 ______

14.如图，点为的三个内角的角平分线的交点，，，，将平移使点与点重合，则图中的周长为______ ．

15.如图，中，，，点在边上运动与、不重合，设，将沿翻折至处，与边相交于点若是等腰三角形，则的值为______ ．

16.如图，中，，，，点是边上的动点，连接，以为边在的左下方作等边，连接，则点在运动过程中，线段长度的最小值是______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共58.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.本小题分
如图，的顶点均在网格的格点上，与关于直线对称，点、、的对应点分别是、、．
在图中画出；
点与点关于直线对称，请画出直线；
在上画出一点，使得点到边、边两边距离相等；
在直线上画出一点，使得最小．

18.本小题分
用无刻度的直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹如图，在直线上作点，使．

19.本小题分

如图，点、在上，已知，，说明的理由．

20.本小题分

如图，已知在四边形中，，点是的中点，连接、、若，求证：为等边三角形．

21.本小题分

如图，，为内一点，点、分别在射线、上，且，．
求证：；
试说明：点在的角平分线上．

22.本小题分
如图，是五边形的一边，若垂直平分，垂足为，且______ ，______ ，则______ ．
给出下列信息：平分；；请从中选择适当信息，将对应的序号填到横线上方，使之构成真命题，补全图形，并加以证明．

23.本小题分
定义：用一条直线分割一个三角形，如果能分割出等腰三角形，那么就称这条直线为该三角形的一条等腰分割线如图，中，．

如图，若为的中点，则直线 ______ 的等腰分割线填“是”或“不是”
如图已知的一条等腰分割线交边于点，且，若请求出的度数．
如图，若，，点是边上的一点，如果直线是的等腰分割线，这样的点共有______ 个

24.本小题分
操作与思考：折纸的思考
操作：折出含角的直角三角形．
如图，准备一张正方形纸片．
第一步，对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平如图，第二步，如图，再一次折叠纸片，使点落在上的处，并使折痕经过点，得到折痕通过测量，发现，请你说明理由．

探索：含角的直角三角形的性质．
剪下图中的直角纸片，度量、的长度，发现、的数量关系是．
猜想结论：直角三角形中，角所对直角边等于斜边的一半．
验证：按照图进行折叠：折叠，使与重合，得到折痕，如图请你利用图证明猜想的正确性．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，，选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了利用轴对称设计图案，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．

2.【答案】 

【解析】解：在与中，
≌
故选：．
已知，，且公共边，故与全等
本题考查全等三角形的判定，解题的关键是注意是两个三角形的公共边，本题属于基础题型．

3.【答案】 

【解析】解：当三边是，，时，，不符合三角形的三边关系，应舍去；
当三边是，，时，符合三角形的三边关系，此时周长是．
故选B．
题目给出等腰三角形有两条边长为和，而没有明确腰是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．

4.【答案】 

【解析】解：因为，，
所以，
由折叠可知，，
所以，
故选：．
求出，即可解决问题．
本题考查三角形内角和定理，翻折变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．

5.【答案】 

【解析】解：根据图形可知，是等腰三角形，
则，
．
故选：．
先判断等腰三角形，然后计算等腰三角形的面积，进而作出判断．
本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的性质和三角形的面积是解决问题的关键．

6.【答案】 

【解析】解：连接，

点关于、的对称点是、，
，，，，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
的周长是．
故选：．
利用轴对称的性质得出，，得出是等边三角形，进而求出的周长即可．
本题考查了轴对称的性质，等边三角形的判定，熟练掌握轴对称的性质求出的两边相等且有一个角是是解题的关键．

7.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查的是等腰三角形的性质，解答此类问题时往往用到三角形的内角和是这一隐藏条件．由于等腰三角形的一个内角为，这个角只能是顶角，再根据三角形内角和求解即可．当内角为锐角时，注意要分情况讨论．
【解答】
解：等腰三角形的一个内角为，
角为这个等腰三角形的顶角，
它的底角，
故答案为：．

8.【答案】或或答案不唯一 

【解析】【分析】
本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是本题的关键．利用全等三角形的判定定理解决问题即可．
【解答】
解：若添加，
在和中
所以≌；
若添加，
在和中
所以≌；
若添加，可得，
在和中
所以≌；
故答案为或或答案不唯一．

9.【答案】 

【解析】解：是的平分线，，，
，
故答案为：．
根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等解答即可．
本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．

10.【答案】 

【解析】解：由图可得，
，，点为线段的中点，
，
故答案为：．
根据图形和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可以计算出的长．
本题考查直角三角形斜边上的中线，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

11.【答案】对称轴 

【解析】解：原图角、线段和直线都是轴对称图形，所作的图形都是原图形的对称轴．
故答案为：对称轴．
根据原图角、线段和直线都是轴对称图形，所作的图形都是原图形的对称轴即可解答．
本题考查了作图复杂作图，轴对称图形，解决本题的关键是掌握角平分线的作法，线段垂直平分线的作法，

12.【答案】 

【解析】解：是线段的垂直平分线，
，
同理，，
的周长，
故答案为：．
根据线段垂直平分线的性质得到，，根据三角形的周长公式计算即可．
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．

13.【答案】 

【解析】解：是等边三角形，
，，
是等边三角形，
，，
，
在与中，
，
≌，
，，
，
故答案为：．
由“”可证≌，可得，，可得．
本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，证明≌是本题的关键．

14.【答案】 

【解析】解：如图，连接，，
点为的三个内角的角平分线的交点，
，，
由平移的性质可知，，，
，，
，，
的周长为
，
故答案为：．
根据角平分线的定义、平行线的性质以及等腰三角形的判断课得出，，再根据三角形周长定义进行计算即可．
本题考查平移的性质，掌握角平分线的定义，平行线的性质以及等腰三角形的判定是正确解答的前提．

15.【答案】或 

【解析】解：将沿翻折至处，
，，，
，，
当，则，
，
，
当，则，
，
，
故答案为：或．
由折叠的性质可求，，，分两种情况讨论，由等腰三角形的性质列出等式，即可求解．
本题考查了翻折变换，等腰三角形的性质，折叠的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．

16.【答案】 

【解析】解：如图，取的中点，连接，则，

，，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
当时，的值最小，
在中，，，
，
的最小值为，
故答案为：．
取的中点，连接，由“”可证≌，推出，推出当时，的值最小．
本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，含度角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题．

17.【答案】解：如图，即为所求；
如图，直线即为所求；
如图点即为所求；
如图，点即为所求． 

【解析】根据轴对称的性质即可在图中画出；
根据轴对称的性质利用点与点关于直线对称，即可画出直线；
根据网格即可在上画出一点，使得点到边、边两边距离相等；
连接交直线上于点，即可使最小．
本题考查了作图轴对称变换，角平分线的性质，熟练掌握轴对称变换的性质是解题的关键．

18.【答案】解：如图，点，即为所求． 

【解析】以点为圆心，长为半径作圆交延长线于点，连接，再以点为圆心，长为半径画弧交延长线于点，根据等腰三角形的性质可得．
本题考查了作图复杂作图，等腰三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法．

19.【答案】证明：，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
全等三角形的对应边相等． 

【解析】证明≌，得出即可．
本题主要考查了全等三角形的判定及性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．

20.【答案】证明：，点是的中点，
，，
，
，，
，，
，，
，
为等边三角形． 

【解析】根据直角三角形的性质推出，根据等腰三角形的性质及三角形外角性质推出，根据“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”即可得解．
此题考查了等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定、直角三角形斜边上的中线的性质，熟记等腰三角形的判定与性质是解题的关键．

21.【答案】证明：如图，过点分别作于点，于点，

，于点，于点，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
；
解：≌，
，
于点，于点，
点在的角平分线上． 

【解析】过点分别作于点，于点，根据四边形内角和定理推出，进而得到，利用证明≌，根据全等三角形的性质即可得解；
根据全等三角形的性质得出，根据角平分线的判定定理即可得解．
此题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定定理，熟记全等三角形的判定与性质，角平分线的判定定理是解题的关键．

22.【答案】     

【解析】证明：根据题意补全图形如图所示：

垂直平分，
，线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，
在与中，
，
≌，
，
在与中，
，
≌，
，
又，
，
即，
平分．
故答案为：．
根据题意补全图形，连接、，根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等可得出，在求证三角形全等得出角相等，求得，进而得出结论平分．
本题主要考查了线段垂直平分线的性质以及三角形全等的判定，熟练掌握线段垂直平分线的性质是本题的解题关键．

23.【答案】是   

【解析】解：是，理由如下：
为直角三角形，且，点为的中点，
，
和均为等腰三角形，
直线是的等腰分割线．
故答案为：是．
为直角三角形，且，，
，
，
，
．
为直角三角形，且，，，
由勾股定理得：，
点是边上的一点，直线是的等腰分割线，
有以下四种情况：
当点时的中点时，，如图：

和均为等腰三角形，
直线是的等腰分割线；
以点为圆心，以为半径画弧交于点，
作直线，如图：

则直线是的等腰分割线；
以点为圆心，以为半径画弧交于点，
作直线，如图：

则直线是的等腰分割线；
以点为圆心，以为半径画弧交于点，
作直线，如图：

则直线是的等腰分割线．
综上所述：符合条件的点共有个．
故答案为：．
根据直角三角形斜边中线的性质得，进而得和均为等腰三角形，据此可得出答案；
先根据直角三角形的两个锐角互余得，再根据得，然后根据可得出答案；
先由勾股定理求出，分四种情况进行讨论：当点时的中点时，，
点符合要求；以点为圆心，以为半径画弧交于点，点符合要求；以点为圆心，以为半径画弧交于点，点符合要求；以点为圆心，以为半径画弧交于点，点符合要求．另外，由于，因此以点为圆心，为半径画弧与没有交点，综上所述即可得出答案．
此题主要考查了直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，理解题意，熟练掌握直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半是解答此题的关键，分类讨论是解答此题的难点，漏解是解答此题的易错点．

24.【答案】操作：解：，理由如下：
如图，连接，

由折叠的性质得：，，垂直平分，
，
，
是等边三角形，
，
；
探索：证明：由题意得：，，
，
由折叠的性质得：，，，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
又，，
． 

【解析】操作：连接，由折叠的性质得，，垂直平分，再由垂直平分线的性质得，推出是等边三角形，得出，即可得出结论；
探索：由折叠的性质得，，，再证≌，得出，即可得出结论．
本题是四边形综合题，考查了折叠的性质、垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握折叠的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键．