中考数学二轮复习核心考点专题专题31中考热点新定义问题专项训练含解析答案

这是一份中考数学二轮复习核心考点专题专题31中考热点新定义问题专项训练含解析答案，共41页。试卷主要包含了用“●”“□”定义新运算等内容，欢迎下载使用。

专题31�中考热点新定义问题专项训练
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

评卷人
得分



一、单选题
1．对于实数x，y，我们定义符号max{x，y}的意义：当x≥y时，max{x，y）＝x，当x A． B． C． D．

评卷人
得分



二、填空题
2．用“●”“□”定义新运算：对于数a，b，都有a●b＝a和a□b＝b．例如3●2＝3，3□2＝2，则（2020□2021）●（2021□2020）＝ ．
3．（正多边形的每个内角都相等）如图，在正八边形中，对角线的延长线与边的延长线交于点M，则的大小为 ．

4．对于m，n（n≥m）我们定义运算Anm＝n（n﹣1）（n﹣2）（n﹣3）…（n﹣（m﹣1）），A73＝7×6×5＝210，请你计算A42＝ ．
5．若x是不等于1的实数，我们把称为x的差倒数，如2的差倒数是，﹣1的差倒数为，现已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，依此类推，则的值为 ．
6．若x是不等于1的实数，我们把称为x的差倒数，如2的差倒数是，﹣1的差倒数为，现已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，依此类推，则的值为 ．

评卷人
得分



三、解答题
7．《道德经》中的“道生一，一生二，二生三，三生万物”道出了自然数的特征，在数的学习过程中，我们会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时，我们研究了奇数、偶数、质数、合数等，现在我们来研究另一种特殊的自然数——“纯数”．
定义：对于自然数n，在计算时，各数位都不产生进位，则称这个自然数n为“纯数”．
例如：32是“纯数”，因为计算时，各数位都不产生进位；23不是“纯数”，因为计算时，个位产生了进位．
(1)判断2022是否是“纯数”？请说明理由；
(2)请直接写出2023到2050之间的“纯数”；不大于100的“纯数”的个数为______．
8．对任意一个四位数n，如果千位与十位上的数字之和为9，百位与个位上的数字之和也为9，则称n为“极数”．
(1)请任意写出两个“极数”________，________；
(2)猜想任意一个“极数”是否是99的倍数，请说明理由；
(3)如果一个正整数a是另一个正整数b的平方，则称正整数a是完全平方数．若四位数m为“极数”，记，则满足是完全平方数的所有m的值是________．
9．如果一个三角形有一条边上的高等于这条边的一半，那么我们把这个三角形叫做“半高三角形”．这条高称为“半高”．如图1，对于△ABC，BC边上的高AD等于BC的一半，△ABC就是“半高三角形”．此时，称△ABC是“BC边半高三角形”，AD是“BC边半高”；如图2，对于△EFG，EF边上的高GH等于EF的一半，△EFG就是半高三角形，此时，称△EFG是EF边半高三角形，CH是“EF边半高”．
（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，若△ABC是“BC边半高三角形”，则AC＝ cm；
（2）若一个三角形既是等腰三角形又是半高三角形，且“半高”长为2cm，则该等腰三角形底边长的所有可能值为　　 ．
（3）如图3，平面直角坐标系内，直线y＝x+2与抛物线y＝x2交于R，S两点，点P是抛物线y＝x2.上的一个动点，点Q是坐标系内一点，且使得△RSQ为“RS边半高三角形”当点P介于抛物线上点R与点S之间，且PQ取得最小值时，求点P的坐标．

10．在平面直角坐标系中，对于任意两点，，若点满足，，那么称点T是点A，B的融合点．例如：，，当点满足，时，则点是点A，B的融合点，
(1)已知点，，，请说明其中一个点是另外两个点的融合点．
(2)如图，点，点是直线上任意一点，点是点D，E的融合点．

①试确定y与x的关系式．
②若直线ET交x轴于点H，当为直角时，求直线ET的解析式．
11．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为4，边OA,OC分别在x轴，y轴的正半轴上，把正方形OABC的内部及边上，横、纵坐标均为整数的点称为好点．点P为抛物线的顶点．

（1）当时，求该抛物线下方（包括边界）的好点个数．
（2）当时，求该抛物线上的好点坐标．
（3）若点P在正方形OABC内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在8个好点，求m的取值范围．
12．定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．

(1)如图1，在中，，是的角平分线，，分别是，上的点．
求证：四边形是邻余四边形．
(2)如图2，在的方格纸中，A，B在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形，使是邻余线，E，F在格点上．
(3)如图3，在（1）的条件下，取中点，连接并延长交于点Q，延长交于点．若为的中点，，，求邻余线的长．
13．如果一个四边形的对角线把四边形分成两个三角形，一个是等边三角形，另一个是该对角线所对的角为60°的三角形，我们把这条对角线叫做这个四边形的理想对角线，这个四边形称为理想四边形．

(1)如图1，在中，，E为中点，连接．求证：四边形为理想四边形；
(2)如图2，是等边三角形，若为理想对角线，为使四边形为理想四边形，小明同学给出了他的设计图（见设计后的图），其中圆心角；请你解释他这样设计的合理性．
(3)在（2）的条件下，
①若为直角三角形，，求的长度；
②如图3，若，请直接写出x，y，z之间的数量关系．
14．在平面直角坐标系中，点，若射线上存在点P，使得是以为腰的等腰三角形，就称点P为线段关于射线的等腰点．

（1）如图，，
①若，则线段关于射线的等腰点的坐标是_______；
②若，且线段关于射线的等腰点的纵坐标小于1，求n的取值范围；
（2）若，且射线上只存在一个线段关于射线的等腰点，求t的取值范围．
15．对于平面直角坐标系中的图形和图形，给出如下定义：在图形上存在两点（点可以重合），在图形上存在两点（点可以重合）使得，则称图形和图形满足限距关系．

(1)如图1，点，点在线段上运动（点可以与点重合），连接．
①线段的最小值为______，最大值为______；线段的取值范围是______；
②在点，点中，点______与线段满足限距关系；
(2)在（1）的条件下，如图2，的半径为1，线段与轴、轴正半轴分别交于点，且，若线段与满足限距关系，求点横坐标的取值范围；
(3)的半径为，点是上的两个点，分别以为圆心，2为半径作圆得到和，若对于任意点，和都满足限距关系，直接写出r的取值范围．
16．点，是平面直角坐标系中不同的两个点，且，若存在一个正数k，使点P，Q的坐标满足，则称P，Q为一对“限斜点”，k叫做点P，Q的“限斜系数”，记作，由定义可知，．
例：若，，有，所以点P，Q为一对“限斜点”，且“限斜系数”为．
已知点，，，，

(1)在点A，B，C，D中，找出一对“限斜点”：______，它们的“限斜系数”为______；
(2)若存在点E，使得点E，A是一对“限斜点”，点E，B也是一对“限斜点”，且它们的“限斜系数”均为1．求点E的坐标；
(3)⊙O半径为3，点M为⊙O上一点，满足的所有点T，都与点C是一对“限斜点”，且都满足，直接写出点M的横坐标的取值范围．
17．对于平面直角坐标系中的任意一点P，给出如下定义：经过点P且平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫做点P的“特征线”．
例如：点的特征线是和；

(1)若点D的其中一条特征线是，则在、、三个点中，可能是点D的点有______；
(2)已知点的平行于第二、四象限夹角平分线的特征线与x轴相交于点A，直线 经过点P，且与x轴交于点B．若使的面积不小于6，求k的取值范围；
(3)已知点，，且的半径为1．当与点C的特征线存在交点时，直接写出t的取值范围．
18．已知函数的图象过点，．

(1)直接写出的解析式；
(2)如图，请补全分段函数的图象（不要求列表）．
并回答以下问题：
①写出此分段函数的一条性质：________________________；
②若此分段函数的图象与直线有三个公共点，请结合函数图象直接写出实数的取值范围；
(3)横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记（2）中函数的图象与直线围成的封闭区域（不含边界）为“区域”，请直接写出区域内所有整点的坐标．
19．在平面直角坐标系xOy中，过⊙T（半径为r）外一点P引它的一条切线，切点为Q，若0＜PQ≤2r，则称点P为⊙T的伴随点．
（1）当⊙O的半径为1时，
①在点A（﹣3，0），B（﹣1，），C（2，﹣1）中，⊙O的伴随点是_______；
②点D在直线y＝﹣x+3上，且点D是⊙O的伴随点，求点D的横坐标d的取值范围；
（2）⊙M的圆心为M（m，0），半径为3，直线y＝2x+3与x轴，y轴分别交于点E，F．若线段EF上的所有点都是⊙M的伴随点，直接写出m的取值范围．

20．已知：点为图形上任意一点，点为图形上任意一点，若点与点之间的距离始终满足，则称图形与图形相离．

(1)已知点、、、．
①与直线相离的点是______；
②若直线与相离，求的取值范围；
(2)设直线、直线及直线围成的图形为，正方形的对角线长为，两条对角线分别平行于坐标轴，该正方形对角线的交点坐标为，直接写出正方形与图形相离的的取值范围．

参考答案：
1．C
【分析】令3x=x+2，解得x=1，画出直线y=3x和直线y=x+2的图象即可判断．
【详解】解：令3x=x+2，解得x=1，

直线y=3x和直线y=x+2的图象如图所示，它们的交点坐标为（1，3），由图象可知，x>1时，x+2>3x；
当x>1时，3x>x+2，
故关于x的函数y=max{3x，x+2}的图象是选项C中的图象．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了函数的图象，正确画出函数图象并得出交点坐标是解答本题的关键．
2．2021
【分析】根据新定义运算法则求解即可．
【详解】解：由题意，2020□2021=2021，2021□2020=2020，
∴（2020□2021）●（2021□2020）=2021●2020=2021，
故答案为：2021．
【点睛】本题考查有理数的混合运算，理解新定义运算法则是解答的关键．
3．/22.5度
【分析】根据正求出多边形的内角和公式，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出，计算即可．
【详解】解：∵八边形是正八边形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是正多边形内角和的有关计算，掌握正多边形的内角的求法是解题的关键．
4．12
【分析】根据题中的定义，进行计算即可得到答案.
【详解】解：A42＝4×（4﹣1）＝12，故答案为12．
【点睛】本题考查有理数的乘法，解题的关键是读懂题意，掌握有理数的乘法.
5．
【分析】根据差倒数写出、、、，得到规律即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
，，，，
∴3个数一循环，
，
∴．
故答案为
【点睛】本题考查规律寻找，解题的关键是根据题意求出几个数找到数字规律，根据规律求解．
6．
【分析】根据差倒数写出、、、，得到规律即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
，，，，
∴3个数一循环，
，
∴．
故答案为
【点睛】本题考查规律寻找，解题的关键是根据题意求出几个数找到数字规律，根据规律求解．
7．(1)2022是纯数，理由见解析
(2)2030，2031，2032；13个．

【分析】（1）根据题目中的新定义可以解答本题，注意各数位都不产生进位的自然数才是“纯数”；
（2）根据“纯数”的概念，从2023到2050之间找出“纯数”；根据“纯数”的概念得到不大于100的数个位不超过2，十位不超过3时，才符合“纯数”的定义解答．
【详解】（1）解：2022是“纯数”，理由如下：
∵在计算时，各数位都不产生进位，
∴2022是“纯数”；
（2）解：显然2023、2050都不是“纯数”，因为在通过列竖式进行的运算时要产生进位．
在2023到2050之间的数，只有个位不超过2，十位不超过3时，才符合“纯数”的定义．
所以所求“纯数”为2030，2031，2032；
不大于100的“纯数”的个数有13个，理由如下：
因为个位不超过2，十位不超过3时，才符合“纯数”的定义，
所以不大于100的“纯数”有：0，1，2，10，11，12，20，21，22，30，31，32，100．共13个．
【点睛】本题考查的是整式的加减、有理数的加法、数字的变化，正确理解“纯数”的概念是解题的关键．
8．(1)1287，2376
(2)任意一个“极数”都是99的倍数，理由见解析
(3)1188或2673或4752或7425

【分析】（1）根据“极数”的定义，任意写出两个“极数”即可；
（2）由“极数”的定义可得出，进而可得出任意一个“极数”都是99的倍数；
（3）由（2）可得出，由为完全平方数，可得出，，，，解之可得出，的值，进而可得出的值，即可得出结论．
【详解】（1）解：由“极数”的定义得，1287，2376，
故答案为1287，2376；
（2）解：任意一个“极数”都是99的倍数，理由如下：
设任意一个“极数”为，，且、为整数），
则，
，，且、为整数，
是整数，
任意一个“极数”都是99的倍数．
（3）解：设四位数为，，且、为整数），
四位数为“极数”， ，
．
是完全平方数，，，且、为整数，
，，，，
或或或，
可以为1188或2673或4752或7425．
【点睛】本题考查了完全平方数以及倍数，解题的关键是：（1）根据“极数”的定义，任意写出两个“极数”；（2）根据“极数”的定义，找出；（3）根据是完全平方数，找出的值．
9．（1）2；（2）4或或；（3）（，）
【分析】（1）设AC＝h，则BC＝2AC＝2h，由勾股定理即可求解；
（2）分“半高”是底边上的高、“半高”是腰上的高两种情况，分别求解即可；
（3）当点P介于点R与点S之间时，与RS平行且与抛物线只有一个交点时，PQ取得最小值，进而即可求解．
【详解】解：（1）设AC＝h，则BC＝2AC＝2h，
由勾股定理得：h2＋（2h）2＝102，解得：h＝2，
故答案为2；
（2）①当“半高”是底边上的高时，
如图1，AD是“半高”，AB、AC为等腰三角形的腰，

由题意得：AD＝2，BC＝4；
②当“半高”是腰上的高时，
如下图，底边为BC、“半高”CD为腰上的高，

如图2，当△ABC为锐角三角形时，CD＝2，AB＝AC＝4，
在Rt△ADC中，AD==，
在Rt△BCD中，BC==；
如图3，当△ABC为钝角三角形时，CD＝2，AB＝AC＝4，
同理可得：BC=．
故答案为：4或或；
（3）将抛物线的表达式y=x2与直线方程y=x＋2联立并解得：x=−1或2，
即：点R、S的坐标分别为（−1，1）、（2，4），则RS＝3，
则RS边上的高为：×3=，
则点Q在于RS平行的上下两条直线上，如下图，

设直线RS与y轴交于点N，则N（0，2），过点N作NQ⊥TQ于点Q，则NQ=，则NT=＝3，
∴点T（0，5），
则点Q所在的直线方程为：y＝x＋5，
同理：当点Q所在的直线在直线RS的下方时，y＝x−1，
∴点Q所在的直线方程为：y＝x＋5或y＝x−1；
如图4，当点P介于点R与点S之间时，
设与RS平行且与抛物线只有一个交点的直线方程为：y＝x＋d，
将该方程与抛物线方程联立并整理得：x2−x−d＝0，
∴△＝1＋4d＝0，解得：d＝，
此时，x2−x＋＝0，解得：x＝，
∴点（，），此时，P（）Q取得最小值．
【点睛】本题主要考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、根的判别式、锐角三角函数的定义，画出示意图，分类讨论，是解题的关键．
10．(1)点是点A，B的融合点
(2)①；②

【分析】（1）由题中融合点的定义即可求得答案；
（2）①由题中融合点的定义可得；.
②当时，画出图形，由融合点的定义求得点、坐标，进而求出解析式．
【详解】（1）解：，，
∴点是点A，B的融合点．
（2）解：①由融合点定义知，得，
又∵，得．
∴，化简得．
②当时，如图所示，则点T为，

由点是点,的融合点，可得点，
此时设直线的方程为，则，解之得，
∴，
直线ET的解析式为．
【点睛】本题是一次函数综合运用题，涉及到勾股定理的运用，此类新定义题目，通常按照题设顺序，逐次求解，解决本题关键是搞清楚新定义．
11．（1）好点有：，，，和，共5个；（2），和；（3）.
【分析】（1）如图1中，当m＝0时，二次函数的表达式y＝﹣x2+2，画出函数图象，利用图象法解决问题即可；（2）如图2中，当m＝3时，二次函数解析式为y＝﹣（x﹣3）2+5，如图2，结合图象即可解决问题；（3）如图3中，抛物线的顶点P（m，m+2），推出抛物线的顶点P在直线y＝x+2上，由点P在正方形内部，则0＜m＜2，如图3中，E（2，1），F（2，2），观察图象可知，当点P在正方形OABC内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在8个好点时，抛物线与线段EF有交点（点F除外），求出抛物线经过点E或点F时Dm的值，即可判断．
【详解】解：（1）当时，二次函数的表达式为
画出函数图像（图1）

图1
当时，；当时，
抛物线经过点和
好点有：，，，和，共5个
（2）当时，二次函数的表达式为
画出函数图像（图2）

图2
当时，；当时，；当时，
该抛物线上存在好点，坐标分别是，和
（3）抛物线顶点P的坐标为
点P支直线上
由于点P在正方形内部，则
如图3，点，

图3
当顶点P支正方形OABC内，且好点恰好存在8个时，抛物线与线段EF有交点（点F除外）
当抛物线经过点时，
解得：，（舍去）
当抛物线经过点时，
解得：，（舍去）
当时，顶点P在正方形OABC内，恰好存在8个好点
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了正方形的性质，二次函数的性质，好点的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会正确画出图象，利用图象法解决问题，学会利用特殊点解决问题．
12．(1)见解析
(2)见解析
(3)

【分析】（1）由等腰三角形的“三线合一“性质可得，则可得与互余，即与互余，从而可得答案；
（2）画出图形即可．
（3）先由等腰三角形的“三线合一“性质可得、，再判定，从而列出比例式，将已知线段的长代入即可得解．
【详解】（1）解：，是的角平分线，
，
，
，
与互余，
四边形是邻余四边形；
（2）解：如图所示（答案不唯一），

四边形为所求；
（3）解：，是的角平分线，
，
，
，
，
，点是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了四边形的新定义，综合考查了等腰三角形的“三线合一“性质、相似三角形的判定与性质等知识点，读懂定义并明确相关性质及定理是解题的关键．
13．(1)见解析
(2)见解析
(3)①AC的值为或3；②

【分析】（1）先根据三角形内角和定理求出，，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到进而证明是等边三角形，即可证明四边形为理想四边形；
（2）由圆周角定理进行求解即可；
（2）①当时，如图3中，先求出，得到，；再由等边三角形的性质得到，，即可证明，则由勾股定理可得；同理当时，如图4中，同法可得；②如图5中，以为边作等边，连接，作交的延长线于F．由等边三角形的性质得到，，证明，得到，求出，得到．．在中，由勾股定理得，则，
整理得：．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵E为中点，
∴，
∴是等边三角形，
∴四边形为理想四边形；
（2）解：∵圆心角，
∴当点C在上，由圆周角定理得，
∴四边形为理想四边形；
（3）解：①当时，如图3中，
∵，
∴，
∴，
∴；
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴；

当时，如图4中，同法可得；
综上所述，的值为或；

②如图5中，结论：，理由如下：
以为边作等边，连接，作交的延长线于F．
∵都是等边三角形，
∴，，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．．
在中，由勾股定理得，
∴，
整理得：．

【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质，圆周角定理，全等三角形的性质与判定等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
14．（1）①；②；（2）或或或
【分析】（1）①根据线段AB关于射线OC的等腰点的定义可知OP=AB=2，由此即可求解问题；②如图2中，当OP=AB时，作PH⊥x轴于点H，求出点P的横坐标，利用图象法即可求解问题；
（2）如图3-1中，作CH⊥y轴于点H，分别以点A、B为圆心，AB为半径作⊙A，⊙B，首先证明∠COH=30°，则由题意可推出射线OC与⊙A，⊙B只有一个交点，求出几种特殊位置t的值，利用数形结合思想解决问题即可．
【详解】解：（1）①由题意可得：点，如图所示：

∵点P为线段AB关于射线OC的等腰点，
∴OP=AB=2，
∴；
故答案为；
②如图，当OP=AB时，作PH⊥x轴于点H，

在Rt△POH中，PH=1，OP=AB=2，
∴，
故若n＜0，且线段AB关于射线OC的等腰点的纵坐标小于1时，；
（2）如图，作CH⊥y轴于点H，分别以点A、B为圆心，AB为半径作⊙A，⊙B，

如图，当⊙B与OC相切于点P时，连接BP，

∴OP⊥BP，
∴∠BPO=90°，
当时，，
故，由勾股定理可得，
∴∠COH=30°，
∴∠POB=60°，
∵BP=2，
∴，
故，
如图，当⊙A与OC相切于点P时，连接AP，

同理可得，
当⊙A经过原点时，此时OA=2，即t=2，观察图形可知，满足条件的t的值为；
综上所述，满足条件t的值为或或或．
【点睛】本题主要考查三角形综合题，等腰三角形的判定和性质，三角函数及切线的性质定理，熟练掌握三角形综合题，等腰三角形的判定和性质，三角函数及切线的性质定理是解题的关键．
15．(1)①，，；②O和D
(2)点F横坐标的取值范围是：
(3)r的取值范围为

【分析】（1）①通过直线外一点到直线的距离垂线段最短判断即可；②根据题意定义的限距关系判断即可；
（2）分类讨论，①当在圆内时；②当与圆有交点时；③当在圆外并且没有交点时，结合各个情况找出圆上的点与线段的最短距离与最长距离，结合新定义的限距关系关系式来求取值范围即可；
（3）取极限状态即和在的两端时，找出此时最大距离和最短距离结合限距关系的关系式求取值范围即可．
【详解】（1）①如图1中，

∵点，
，
，
当时，的值最小，当与重合时，的值最大是，
中，，即的最小值是；
如图2，当时，的值最小，

中， ，
，
，
，
，
，
当与重合时，的值最大，的最大值是2，
∴线段的取值范围是：；
故答案为：，，；
②根据限距关系的定义可知，线段上存在两点，满足，如图3，

故点与线段满足限距关系；
根据限距关系的定义可知，线段上存在两点，满足，如图3，

故点与线段满足限距关系；
故答案为：和；
（2）∵点，
∴设直线的解析式为：，
，解得： ，
∴直线的解析式为：，
∵，
∴设的解析式为：，
，
，
当时，如图5，线段在内部，与无公共点，

此时上的点到线段的最小距离为，最大距离为，
∵线段与满足限距关系，
，
解得，
∴；
当时，线段与有公共点，线段与满足限距关系，
当时，如图6，线段在的外部，与没有公共点，

此时上的点到线段的最小距离为，最大距离为，
∵线段与满足限距关系，
，
而总成立，
∴时，线段 与满足限距关系，
综上所述，点F横坐标的取值范围是：b；
（3）如图3﹣1中，不妨设，的圆心在轴上位于轴的两侧，

两圆的距离的最小值为，最大值为，
∵和都满足限距关系，
，
解得
故的取值范围为．
【点睛】本题主要考查一次函数与圆的综合问题以及新定义问题，含角的直角三角形的性质，熟练掌握一次函数性质与含角的直角三角形的性质以及充分理解新定义的意义是解决本题的关键．
16．(1)A、C或A、D，2或；
(2)或；
(3)；

【分析】（1）根据定义通过计算求解即可得到答案；
（2）设，由根据“限斜点”定义列方程求解即可得到答案；
（3）由题意可知C点在直线上，T点在以M为圆心1为半径的圆上，M点在以O为圆心3为半径的圆上，则T点在以O为圆心2为半径的圆上或以O为圆心4为半径的圆上，当T点在直线上时，，再由，可知T点在直线的上方，直线的上方，半径为2的圆和半径为4的圆构成的圆环内部；
【详解】（1）解：， ，
有|，
∴A、C为一对“限斜点”，且“限斜点系数”为2；
，，
有，
∴A、D“限斜点”，且“限斜点系数”为，
故答案为：A、C或A、D，2或；
（2）解：设，
∵点E，A是一对“限斜点”，点E，B也是一对“限斜点”，
∴，，
∴，
解得，
∴，
∴或；
（3）解：∵，
∴C点在直线上，
∵，
∴T点在以M为圆心1为半径的圆上，
∵M点在以O为圆心3为半径的圆上，
∴T的轨迹是半径为2的圆和半径为4的圆构成的圆环，
当T点在直线上时，设，
∴，
∴，
∵，
∴T点在直线的上方，直线的上方，半径为2的圆和半径为4的圆构成的圆环内部，如图所示，
∴；

【点睛】本题考查圆的综合应用，解题的关键是弄清楚新定义，熟练掌握圆与直线的关系，绝对值方程的解法，数形结合．
17．(1)
(2)且
(3)

【分析】（1）画出图形，根据点的特征线的定义解决问题即可；
（2）过点P平行于第二四象限角平分线的特征线的解析式为，求出的面积为6时点B的坐标，再利用待定系数法求直线的解析式，结合图形即可解决问题；
（3）如图3中，由题意点C的特征线的解析式为或，设当与直线相切于点M时，当与直线相切于点N时，分别求出，，结合图象即可解决问题．
【详解】（1）如图1中，观察图象可知，点的特征线是，

故答案为：；
（2）如图2中，

设过点P平行于第二四象限角平分线的特征线的解析式为，
，
∴，
∴过点P平行于第二四象限角平分线的特征线的解析式为，
∴，
当的面积为6时，，
∴，
∴或，
当经过，时，
，解得，
当直线经过，时，
，解得，
观察图形可知满足条件的k的值为且；
（3）如图3中，由题意点C的特征线的解析式为或，

当与直线相切于点M时，连接，
在中，
∵，，
∴，
∴，
∴，此时，
当与直线相切于点N时，同理可得，此时，
结合图象可知满足条件的t的值为：．
【点睛】本题属于圆综合题，考查了直线与圆的位置关系，一次函数的性质、三角形的面积、点P的“特征线”的定义，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会用特殊位置解决问题．
18．(1)抛物线的解析式为；
(2)①当时，函数值y随着x的增大而增大；②当时，此分段函数的图象与直线有三个公共点；
(3)区域内所有整点的坐标为，，．

【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）①结合图象即可求解；
②分别两个抛物线的顶点坐标，观察图象即可求解；
（3）画出图象，观察图象即可求解．
【详解】（1）解：∵函数的图象过点，．
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：补全分段函数的图象如图所示，
，
①此分段函数的一条性质：当时，函数值y随着x的增大而增大；
②函数，顶点坐标为，
函数，顶点坐标为，
∴当时，此分段函数的图象与直线有三个公共点；
（3）解：如图，

观察图象，区域内所有整点的坐标为，，．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；能够准确画出函数的图象，通过观察图象获取性质是解题的关键．
19．（1）①B，C；②1≤d≤2；（2）﹣6≤m＜﹣或﹣＜m≤3﹣．
【分析】（1）①画出图形，求出切线长，根据⊙O的伴随点的定义判断即可．
②如图，设点D的坐标为（d，﹣d+3），构建方程求出两种特殊位置时点D的坐标即可解决问题．
（2）求出几种特殊位置时m的值即可判断．①如图，设FT是⊙M的切线，当FT＝6时，线段EF上的所有点都是⊙M的伴随点．②如图，设ET是⊙M的切线，连接MT，则∠MTE＝90°．③如图，当⊙M在直线EF的右侧与EF相切时，设切点为T，连接MT．分别求出m的值，结合图形即可得出结论．
【详解】（1）①如图，
∵A（0，﹣3），B（﹣1，），C（2，﹣1），⊙O的半径为1，
∴切线AG的长＝＝2＞2，
切线BN的长＝2，
切线CM的长＝2，
∴点B，C是⊙T的伴随点，
故答案为：B，C

②如图，设点D的坐标为（d，﹣d+3），
当过点D的切线长为2r＝2时，
OD＝＝，
∴d2+（﹣d+3）2＝5，
解得：d1＝2，d2＝1．
结合图象可知，点D的横坐标d的取值范围是1≤d≤2．

（2）∵直线y＝2x+3与x轴，y轴分别交于点E，F．
∴x=0时，y=3，y=0时，x=，
∴E（﹣，0），F（0，3）．
①如图，设FT是⊙M的切线，当FT＝6时，线段EF上的所有点都是⊙M的伴随点，此时m＝6．

观察图象可知：当﹣6≤m＜﹣时，线段EF上的所有点都是⊙M的伴随点．
②如图，设ET是⊙M的切线，连接MT，则∠MTE＝90°

当ET＝6时，EM＝＝＝3，此时m＝3﹣，
③如图，当⊙M在直线EF的右侧与EF相切时，设切点为T，连接MT．
∵E（﹣，0），F（0，3），
∴OE＝，OF＝3，
∴EF＝＝，
∵EF是切线，
∴EF⊥MT，
∴∠MTE＝∠EOF＝90°，
∵∠MET＝∠FEO，
∴△MTE∽△FOE，
∴＝，
∴，
∴EM＝，
此时m＝﹣，
结合图象可知，当﹣＜m≤3﹣时，线段EF上的所有点都是⊙M的伴随点，

综上所述，m的取值范围是﹣6≤m＜﹣或﹣＜m≤3﹣．
【点睛】本题属于圆综合题，考查了圆的伴随点的定义，切线的性质，相似三角形得判定与性质及勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，学会利用特殊位置解决问题，属于中考压轴题．
20．(1)①，；②的取值范围是或
(2)正方形T与图形W相离的t的取值范围是或或

【分析】（1）①将，，，四个点的坐标代入直线计算即可判断．
②根据直线经过点，和点计算的值即可得出答案．
（）先画出图形，再分三种情形，观察图象得出经过特殊位置的的坐标，即可得出答案．
【详解】（1）解：①点，
当时，，
点不在直线上，
同理，点不在直线上，点，点在直线上，
与直线相离的点是，；
故答案为：，；
②当直线过点时，
．
．
当直线过点时，
．
．
的取值范围是或．
（2）如图所示，

正方形与图形相离的的取值范围是或或．
【点睛】本题考查了一次函数综合题，涉及一次函数的性质，正方形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊位置解决数学问题，学会用分类讨论的思想思考问题．