吉林省长春市第二中学2023-2024学年高三数学上学期第二次调研测试试题（Word版附解析）

2024届高三年级第二次调研测试数学学科试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知：，则的充分不必要条件是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】解出的解集，的充分不必要条件是其子集，选出即可.

【详解】解：由得，的充分不必要条件是的子集，C符合，

故选：C.

【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，是基础题.

2. 已知正实数a，b满足，则的最小值是（    ）

A. 8 B. 16 C. 32 D. 36

【答案】B

【解析】

【分析】对利用基本不等式求出且，把展开得到，即可求出最小值.

【详解】因为正实数a，b满足，

所以，即，当且仅当时，即时取等号.

因为，所以，

所以.

故的最小值是16.

故选：B

3. 已知函数的值域为R．则实数a的取值范围是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

当函数的值域为时，命题等价于函数的值域必须包含区间得解

【详解】的值域为R

令，则

的值域必须包含区间

当时，则

当时，符合题意；

当时，不符合题意；

当时，，解得

，即实数的取值范围是

故选：A

【点睛】转化命题的等价命题是解题关键.

4. 已知函数对，，满足，则实数a的取值范围是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】先判断是R上的增函数，列关于实数a的不等式组，即可求得实数a的取值范围.

【详解】由题意，得是R上的增函数，
则，解得，
故选：

5. 已知定义在R上函数满足，且当时，，则（    ）

A.  B.  C.  D. 1

【答案】B

【解析】

【分析】

根据函数满足，得到，再结合，得到，即的周期为4，然后利用周期结合当时，求解.

【详解】因为函数满足，

所以，

又因为，

所以，

所以，

又因为时，，

则，

.

故选：B

【点睛】本题主要考查函数奇偶性和周期性的综合应用，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.

6. 如图，在边长为2的正方形ABCD中，其对称中心O平分线段MN，且，点E为DC的中点，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】利用平面向量线性运算、数量积运算求得正确答案.

【详解】.

.

故选：A

7. 已知函数与函数的图象上至少存在一对关于轴对称的点，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】由题可得在有零点，利用导数研究函数的性质进而可得，即得.

【详解】原问题等价于在有零点，

而，

∴，单调递减， ，单调递增，

又，

由可判断，

因而的值域为，

又有零点，有，

所以.

故选：D.

8. 将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的 倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数 在上没有零点，则 的取值范围是（ ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

根据y=Acos（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，根据定义域求出的范围，再利用余弦函数的图象和性质，求得ω的取值范围．

【详解】函数的图象先向右平移个单位长度，

可得的图象，

再将图象上每个点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)，

得到函数的图象，

∴周期，

若函数在上没有零点，

∴ ，

∴ ，

，解得，

又，解得，

当k=0时，解，

当k=-1时，，可得，

.

故答案为：A.

【点睛】本题考查函数y=Acos（ωx+φ）的图象变换及零点问题，此类问题通常采用数形结合思想，构建不等关系式，求解可得，属于较难题.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 设函数，则下列结论正确的是（    ）

A. 的最小正周期为

B. 的图象关于直线对称

C. 的一个零点为

D. 的最大值为

【答案】ABC

【解析】

【分析】先化简，得到，再根据三角函数的图像和性质对四个选项一一验证.

【详解】函数.

对于A：的最小正周期为.故A正确；

对于B：，所以的图象关于直线对称.故B正确；

对于C：，所以是的一个零点.故C正确；

对于D：函数,所以的最大值为2.故D错误.

故选：ABC

10. 下列说法中错误的为

A. 已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是

B. 向量，不能作为平面内所有向量的一组基底

C. 若，则在方向上的正射影的数量为

D. 三个不共线的向量，，，满足，则是的内心

【答案】AC

【解析】

【分析】对于A，由向量的交角为锐角的等价条件为数量积大于0，且两向量不共线，计算即可；

对于B，由，可知，不能作为平面内所有向量的一组基底；

对于C，利用向量投影的定义即可判断；

对于D，由，点在角的平分线上，同理，点在角的平分线上，点在角的平分线上，进而得出点是的内心.

【详解】对于A，已知，，且与的夹角为锐角，

可得，且与不共线，，

即有，且，

解得且，则实数的取值范围是且，

故A不正确；

对于B，向量，，，

，

向量，不能作为平面内所有向量的一组基底，故B正确；

对于C，若，则在上的投影为，故C错误；

对于D，表示与中角的外角平分线共线的向量，

由，可知垂直于角的外角平分线，

所以，点在角的平分线上，

同理，点在角平分线上，点在角的平分线上，

故点是的内心，D正确.

故选：AC.

【点睛】本题考查了平面向量的运算和有关概念，具体包括向量数量积的夹角公式、向量共线的坐标表示和向量投影的定义等知识，属于中档题.

11. 在现代社会中，信号处理是非常关键的技术，我们通过每天都在使用的电话或者互联网就能感受到，而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数．的图象就可以近似的模拟某种信号的波形，则下列说法正确的是（    ）

A. 函数为周期函数，且最小正周期为

B. 函数为偶函数

C. 函数的图象关于直线对称

D. 函数的导函数的最大值为7

【答案】CD

【解析】

【分析】利用周期的定义可判断A选项的正误；利用奇偶性的定义可判断B选项的正误；利用函数的对称性可判断C选项的正误；求得函数的导数，求出的最大值，可判断D选项的正误.

【详解】对于选项A：因为

，

即，可知函数的最小正周期不为，故A错误；

对于选项B：因为为奇函数，所以，

所以也是奇函数，故B错误；

对于选项C：因为

，

即，所以函数的图像关于直线对称，故C正确；

对于选项D：因为，

所以，

因为的取值范围均为，

可知，当时，，

所以的最大值为7，所以D正确．

故选：CD．

12. 设函数，已知在有且仅有5个零点，则（   ）

A. 在有且仅有3个极大值点

B. 在有且仅有2个极小值点

C. 在单调递增

D. ω的取值范围是

【答案】ACD

【解析】

【分析】由在有且仅有5个零点，可得可求出的范围，然后逐个分析判断即可.

【详解】因为在有且仅有5个零点，如图所示，

所以，所以，所以D正确，

对于AB，由函数在上的图象可知，在有且仅有3个极大值点，有3个或2个极小值点，所以A正确，B错误，

对于C，当时，，

因为，所以，所以，

所以在单调递增，所以C正确，

故选：ACD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 若函数在区间D上是凸函数，则对于区间D内的任意，，…，都有，若函数在区间上是凸函数，则在△中，的最大值是______.

【答案】##

【解析】

【分析】根据题设凸函数的性质可得即可求最大值，注意等号成立条件.

【详解】由题设知：，

∴，当且仅当时等号成立.

故答案为：.

14. 在中，内角，，的对边分别为，，，已知，且的面积为，则边的值为________．

【答案】

【解析】

【分析】根据同角三角函数的基本关系以及正弦，余弦定理求得角的值，再利用正弦定理可得，结合的面积求出边的值.

【详解】解：，

，

即，

由正弦定理角化边得，

，

由正弦定理，

即，

化简得，

又的面积为

解得

故答案为：.

15. 如图，在中，，，P为CD上一点，且满足，若的面积为，则的最小值为__________.

【答案】

【解析】

【分析】

用表示，利用这两者共线可求，求出后利用基本不等式可求其最小值.

【详解】因为，故，所以，

而，

因为与为非零共线向量，故存在实数，使得，

故，

所以，所以，

由的面积为可得，故，

所以，

当且仅当时等号成立.

故，

故答案：.

【点睛】思路点睛：与三角形有关的向量问题，如果知道边与夹角的关系，则可以考虑用已知的边所在的向量作为基底向量，其余的向量可以用基地向量来表示，此时模长的计算、向量的数量积等都可以通过基底向量来计算.

16. 若函数的图象经过点和，且当时，恒成立，则实数a的取值范围是______.

【答案】

【解析】

【分析】先根据将转化为来表示，由此化简的解析式，对进行分类讨论，根据恒成立列不等式来求得的取值范围.

【详解】因为经过点和，所以，，可得，故

.

因为，所以，所以，

当时，，可得，

所以，要使恒成立，

只要，即，又，从而；

当时，；

当时，，所以，

所以，要使恒成立，

只要，解得，又，从而.

综上所述，a的取值范围为.

故答案为：

【点睛】求解不等式恒成立的问题，主要解题思路是转化为求函数的最值来进行求解，如本题中恒成立，就转化为的值域，也即三角函数的值域来进行求解.

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 已知函数在处的切线为.

（1）求实数的值；

（2）求的单调区间.

【答案】（1）（2）减区间为增区间为

【解析】

【分析】（1）求出函数的导数，计算f′（1），f（1）可求出a，b的值；（2）求出函数的解析式，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；

【详解】（1）依题意可得：

又函数在处的切线为，

解得：

（2）由（1）可得：f'（x）＝1+lnx，

当时，f'（x）≤0，f（x）单调递减；

当时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，

∴的单调减区间为的单调增区间为.

【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，属于基础题．

18. 已知函数的最小正周期为.

（Ⅰ）求函数的单调递减区间；

（Ⅱ）若，求取值的集合.

【答案】（1）函数 的单调递减区间为；（2）取值的集合为.

【解析】

【详解】试题分析：（Ⅰ）根据二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和的正弦公式化简，利用正弦函数的单调性解不等式即可求得函数的单调递减区间；（Ⅱ），即 ，由正弦函数的性质得，化简后，写成集合形式即可.

试题解析：（Ⅰ）

，

因为周期为，所以，故， 

由，得，

函数 的单调递减区间为，

（Ⅱ），即 ，

由正弦函数得性质得，

解得所以，

则取值的集合为.

19. 如图，洪泽湖湿地为拓展旅游业务，现准备在湿地内建造一个观景台P，已知射线AB，AC为湿地两边夹角为120°的公路（长度均超过2千米），在两条公路AB，AC上分别设立游客接送点M，N，从观景台P到M，N建造两条观光线路PM，PN，测得千米，千米．

（1）求线段MN的长度；

（2）若，求两条观光线路PM与PN之和的最大值．

【答案】（1）千米   

（2）千米

【解析】

【分析】（1）在中，利用余弦定理运算求解；

（2）在中，利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换可得，进而可得结果.

【小问1详解】

在中，由余弦定理得，，

即，可得，

所以线段MN的长度千米．

【小问2详解】

设，因为，所以，

在中，由正弦定理得，

因为＝，

所以，

因此

＝，

因为，所以，

所以当，即时，取到最大值千米．

20. 已知函数有两个极值点，.

（1）求的取值范围；

（2）证明：.

【答案】（1）   

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）求导，将问题转化为在上有两个实数根，，根据二次方程根的分布即可求解，

（2）结合，代入化简式子，将问题转化，利用导数即可求解.

【小问1详解】

,

有两个极值点，，则在上有两个实数根，，

所以在上有两个实数根，，

则解得，

故的取值范围为，

【小问2详解】

由（1）知，且，

，

令，，

令在上恒成立，

所以在单调递减，故，

因此在单调递减，故，

故，得证.

【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题：

1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；

2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；

3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；

4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.

21. 设函数.

（Ⅰ）当，时，恒成立，求的范围；

（Ⅱ）若在处的切线为，且方程恰有两解，求实数的取值范围.

【答案】（I）（II）

【解析】

【详解】试题分析：（1）将参数值代入得到函数表达式，研究函数的单调性求得函数最值，使得最小值大于等于0即可；（2）根据切线得到，，方程有两解，可得，所以有两解，令，研究这个函数的单调性和图像，使得常函数y=m，和有两个交点即可.

解析：

由，

当时，得.

当时，，且当时，，此时.

所以，即在上单调递增，

所以，

由恒成立，得，所以.

（2）由得

，且.

由题意得，所以.

又在切线上.

所以.所以.

所以.

即方程有两解，可得，所以.

令，则，

当时，，所以在上是减函数.

当时，，所以在上是减函数.

所以.

又当时，；且有.

数形结合易知：.

点睛：本题中涉及根据函数零点求参数取值，是高考经常涉及的重点问题，（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解；（2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，如果涉及由几个零点时，还需考虑函数的图象与参数的交点个数；（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.

22. 已知函数，.

（1）求证：在上单调递增；

（2）当时，恒成立，求的取值范围.

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）求出函数的导数，判断导数在的取值范围，从而证明的单调性；

（2）由题意可得，分离参数得到 ，求出导数，判断其单调区间，找出最小值即可.

小问1详解】

，，，

由，有，，则，又，

则.

当时，，，所以 

所以当时，，综上，在上单调递增.

【小问2详解】

.化简得.

当时，，所以，

设，

设，.

，，，

在上单调递增，

又由，所以当时，，，

在上单调递减；

当时，，，在上单调递增，

所以，

故.

【点睛】思路点睛：不等式恒成立问题

在定义域内，若恒成立，即；

在定义域内，若恒成立，即.