广西壮族自治区南宁市青秀区第二中学2023-2024学年九年级上学期10月月考数学试题

10月份素质提升训练试卷（数学）

（考试时间：120分钟    满分：120分）

注意事项：

1．答题前，考生务必将姓名、座位号、考号填写在试卷和答题卡上。

2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷上作答无效。

第Ⅰ卷

一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．）

1．的化简结果是（    ）

A．2 B． C． D．1

2．七巧板，又称七巧图、智慧板，是中国汉民族的一种古老的传统智力拼图游戏，是古代中国劳动人民的发明，以下拼图是中心对称图形的（不考虑拼接线和颜色）是（    ）

A． B． C． D．

3．将不等式的解集在数轴上表示，正确的是（    ）

A． B． C． D．

4．如图，在中，，的度数是（    ）

（第4题图）

A．36° B．45° C．54° D．72°

5．下列各点在反比例函数的图象上的是（    ）

A． B． C． D．

6．陈芋汐在2023年杭州亚运会女子十米跳台项目中获得了亚军，其中第五轮跳水的7个成绩分别是（单位：分）：9.5，9.0，9.0，9.0，10.0，9.5，9.0，这组数据的众数和中位数分别是（    ）

A．9.0；9.5 B．9.0；9.0 C．9.5；9.5 D．9.5；9.25

7．如图，小红要制作一个母线长为7cm，底面圆半径是6cm的圆锥形小漏斗，若不计损耗，则所需纸板的面积是（    ）

（第7题图）

A． B． C． D．

8．如图，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭，要使凉亭到草坪三个顶点的距离相等，凉亭应选的位置是（    ）

（第8题图）

A．的三条中线的交点 B．三条角平分线的交点

C．三边的垂直平分线的交点 D．三条高所在直线的交点

9．我国古代数学著作《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五，屈绳量之，不足一尺，问木长几何？”大致意思是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺，将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？”，设绳子长x尺，木条长y尺，根据题意所列方程组正确的是（    ）

A． B． C． D．

10．如图，点P是反比例函数的图象上任意一点，过点P作轴，垂足为M，若的面积等于3，则k的值是（    ）

（第10题图）

A．6 B．5 C． D．

11．如图，在平面直角坐标系中，点绕点O逆时针旋转90°后得到的点，绕点O逆时针旋转90°后得到的点，依此类推，坐标是（    ）

（第11题图）

A． B． C． D．

12．如图，在四边形ABCD中，已知，，，则的最小值是（    ）

（第12题图）

A．3 B．6 C． D．

第Ⅱ卷

二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．）

13．若分式有意义，则x的取值范围是______．

14．分解因式：______．

15．某林业局将一种树苗移植成活的情况绘制成如统计图，由此可估计这种树苗移植成活的概率约是______．（结果精确到0.1）

（第15题图）

16．已知点，都在反比例函数的图象上，且，则，的大小关系是______．

17．如图1所示三角形纸片ABC中，，将纸片沿过点B的直线折叠，使点C落到AB边上的E点处，折痕为BD（如图2）．再将纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好与点D重合，折痕为EF（如图3），若，则的周长是______．

（第17题图）

18．如图，以O为圆心，AC为直径的半圆，与PA，PB相切于点A，B，延长AC，PB交于点D，若，，则阴影部分面积是______．

（第18题图）

三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

19．（本题满分6分）计算：．

20．（本题满分6分）解一元二次方程：．

21．（本题满分10分）【操作与探究】小莹在的一边OM上任取一点A，并用尺规作出直线AB，作图痕迹如图所示，请你帮小莹完成下面的操作和探究：

（第21题图）

（1）用尺规在线段OA上取点C，使得，并连接BC；（不用写作法，保留作图痕迹）

（2）若，求的度数．

22．（本题满分10分）面对疫情，同心战“疫”、疫情期间的教学方式主要采取“在线授课”“录播授课+自主学习”“在线答疑”三种形式（“在线授课”“录播授课+自主学习”“在线答疑”分别用字母A、B、C表示），某校为了了解学生的需求，随机对部分学生进行了“你对哪种教学方式最感兴趣”的调查（每人只选其中的一种），并根据调查结果绘制成如图所示的统计图．

（第22题图）

（1）本次调查的人数是______人；

（2）若该校共有720名学生，则全校对教学方式A最感兴趣的学生大约有多少名？

（3）小明和小强参加了此次调查，均选择了其中一种教学方式，请用树状图或列表来表示所有可能的情况，并求小明和小强选择同一种教学方式的概率．

23．（本题满分10分）如图，在矩形ABCD中，BE平分交AD于点E，DF平分交BC于点F，连接EF交BD于点O．

（第23题图）

（1）求证：四边形BEDF为平行四边形；

（2）若，，求矩形ABCD的面积．

24．（本题满分10分）某校在开展数学文化节知识竞赛中，对优秀选手予以评奖，并颁发奖品，奖品有甲、乙、丙三种类型．已知1个甲种奖品的价格是1个丙种奖品价格的2倍，1个乙种奖品的价格比1个甲种奖品的价格少20元．若用120元单独去购买某一种奖品时，甲种奖品的数量与丙种奖品的数量之和是乙种奖品数量的2倍．

（1）求甲、乙、丙三种奖品的单价分别是多少元？

（2）该校计划：购买甲、乙、丙三种奖品共300个，其中购买丙种奖品的数量是甲种奖品数量的3倍，且丙种奖品的数量不少于甲、乙两种奖品的数量之和．求该校完成购买计划最多要花费多少元？

25．（本题满分10分）【综合与实践】在《车轮为什么是圆的》课题学习中，小青将车轮设计成半径为2的正n多边形，在水平地面上模拟行驶．以为例，如图1，车轮转动一次（以一个顶点为支点旋转），车轮中心的轨迹是BD，点C为中心轨迹最高点（即的中点），转动一次前后中心的连线是BD（水平线），如图2，d为点C到BD的距离（即CE的长）、当n取4，5，6时，车轮中心的轨迹分别如图3、图4、图5．

依此类推，当n取不同的值时，分别计算出d的值（结果精确到0.001）．具体数据如下表：

请你协助小青完成以下任务．

（1）求当时，d为何值？（参考数据：）

（2）根据表格数据，d随n的变化情况为________；当车轮设计成圆形时，________．这样车辆行驶平稳、没有颠簸感．所以，将车轮设计成圆形．

（3）若路面如图6形状，可看成由半径为2的一些等弧首尾连结而成，若长为，为确保车轮平稳滚动，则该车轮应设计成边数为几的正多边形？

26．（本题满分10分）如图，抛物线：与x轴交于，两点，与y轴交于点C．

（第26题图）

（1）求抛物线的解析式；

（2）若P是抛物线上的任意一点（不与点C重合），假设点P的横坐标为m，抛物线上点C与点P之间的部分（包含端点）记为图象G．当时，图象G的最大值与最小值的差为多少？

（3）将线段AB先向左平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到线段MN，若抛物线：与线段MN只有一个交点，结合函数图象，直接写出n的取值范围．

10月份素质提升训练试卷（数学）

参考答案

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂上．）

1-5：ADDCB 6-10：BBCAC 11、12：AD

二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．）

13．；14．；15．0.9；16．；17．13；18．（或）

三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

19．（本题满分6分）解：原式

20．（本题满分6分）解：

或      ，

21．（本题满分10分）解：（1）如图所示，线段BC即为所求；

（2）∵，    ∴

由作图痕迹可知：    ∴     ∴

22．（本题满分10分）解：（1）180；

（2）（名）

答：全校对教学方式A最感兴趣的学生大约有320名．

（3）小明和小强从中选择一种教学方式的所有可能情况如树状图所示：

由树状图可得：共有9种等可能结果，其中小明和小强选择同一种教学方式（记为事件G）有3种结果，则．

答：小明和小强选择同一种教学方式的概率为．

23．（本题满分10分）（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴，      ∴

∵BE平分，DF平分

∴，

∴    ∴

∴四边形BEDF为平行四边形

（2）解：由（1）可得：四边形BEDF为平行四边形

∵    ∴平行四边形BEDF为菱形

∴，

由（1）可得：    ∴

∵四边形ABCD是矩形，∴即

在中，，

∴    ∴，

∴

∴．

24．（本题满分10分）解：（1）设1个丙种奖品的价格为x元，则1个甲种奖品的价格为2x元，1个乙种奖品的价格为元，

依题意得：，解得：，

检验：当时，

∴是原方程的解，且符合题意，∴．

答：1个甲种奖品的价格为60元，1个乙种奖品的价格为40元，1个丙种奖品的价格为30元．

（2）设购买甲种奖品m个，则购买丙种奖品3m个，乙种奖品个，

依题意得：，∴．

设该校购买奖品的总费用为w元，则．

∵，∴w随m的增大而减小，

∴当时，w取得最大值，最大值为．

答：该校完成购买计划最多要花费11500元．

25．（本题满分10分）解：（1）当时，

∵点C为的中点    ∴

∵     ∴，

∴为等腰直角三角形

在中，    ∴

∴    ∴

（2）d随n的增大而减小；0

（3）设对应的圆心角为

∵长为    ∴即

∴即该车轮应设计成边数为36的正多边形．

26．（本题满分10分）解：（1）将，代入，

∴，解得，

∴抛物线的解析式为；

（2）在中，令，则，∴，

在中，令，则，∴，

∵，∴抛物线的对称轴为直线，

又∵，抛物线开口向下，∴当时，y随x的增大而减小，

∵，∴当时，图象G取得最小值，最小值为；

当时，图象G取得最大值，最大值为5；

∴图象G的最大值与最小值的差为．

（3）或