江苏省南京市金陵中学仙林分校2023—2024学年八年级上学期10月月考数学试卷

这是一份江苏省南京市金陵中学仙林分校2023—2024学年八年级上学期10月月考数学试卷，共31页。试卷主要包含了如图，平分交于点，于点，于点，如图，于点，于点，等内容，欢迎下载使用。
一．选择题（共8本大题小题，每小题2分，共16分）
1．下列运动图标中，属于轴对称图形的是
A．B．C．D．
2．如图，小明与小敏玩跷跷板游戏，如果跷跷板的支点（即跷跷板的中点）至地面的距离是，当小敏从水平位置下降时，小明离地面的高度是
A．B．C．D．
3．如图，点，，，在同一条直线上，，若，，则的度数为
A．B．C．D．
4．如图，已知，添加下列条件不能判定的是
A．B．C．D．
5．如图，在中，在边上取一点，连接，在边上取一点，连接．若，，则的度数为
A．B．C．D．
6．如图，，点在线段上，，则的度数为
A．B．C．D．
7．如图，平分交于点，于点，于点．若，，，则的长是
A．2B．4C．7D．9
8．如图，点为定角的平分线上的一个定点，且与互补，若在绕点旋转的过程中，其两边分别与、相交于、两点，则以下结论：（1）恒成立；（2）的值不变；（3）四边形的面积不变；（4）的长不变，其中正确的个数为
A．4B．3C．2D．1
二．填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
9．如图，四边形是轴对称图形，直线是它的对称轴，若，，则的大小为 ．
10．如图，于点，于点，．若要用“”判定，则需要添加的条件为 ．
11．王强同学用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板，点在上，点和分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为 ．
12．如图，在中剪去得到四边形，且纸片中的度数为 ．
13．在折纸游戏中，小颖将一张长方形纸片按如图所示方式折叠，、为折痕，点、折叠后的对应点分别为、，若，则的度数为 ．
14．三个全等三角形按如图的形式摆放，则的度数等于 ．
15．现有一块如图所示的草地，经测量，，米，米，米，点是边的中点．小狗汪汪从点出发以2米秒的速度沿向点运动，同时小狗妞妞从点出发沿向点运动．当妞妞的速度为 米秒时，能够在某一时刻使与全等．
16．如图，在中，，中线，则边的取值范围是 ．
17．如图，四边形中，，，，则 ．
18．如图，五边形中，，，，为边的中点，，，则五边形的面积为 ．
三．解答题（本大题共9小题，共64分）
19．（6分）如图，点、在边上，，，．求证：．
20．（6分）如图，、交于点，，，求证：．
21．（6分）如图，在四边形中，，，求证：．
22．（8分）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点、、在小正方形的顶点上．
（1）在图中画出与关于直线成轴对称的△；
（2）的面积是 ．
（3）在直线上找一点，使的长最短．
23．（7分）如图，点在线段上，，，，平分．
求证：于点．
24．（7分）如图，已知中，，，，于．求证：．
25．（8分）已知，分别是的边，上的点．
（1）如图①，，为角平分线上的一点，若，求证：．
（2）如图②，若为外一点，求作点，，使得为锐角，，且．（要求：利用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，写出必要的文字说明）
26．（8分）【问题提出】
数学课上，学习了直角三角形全等的判定方法（即“” 后，我们继续对“两个直角三角形满足一条直角边和周长分别相等”的情形进行研究．
【问题解决】
（1）如图①，在和中，，，和的周长相等．求证：．
（3）下列命题是真命题的有 ．
．斜边和周长分别相等的两个直角三角形全等
．斜边和面积分别相等的两个直角三角形全等
．一个锐角和周长分别相等的两个直角三角形全等
27．（8分）今年中考结束后，我与同学们交流了宁波中考数学卷的压轴题，最后我们一致认为，这道题用了一个简单而重要的数学模型“三垂直型”，其实这种“模型”大家并不陌生．
如图1，且，由点和点向过点的直线作垂线，可以构成如图两个全等三角形；当这条直线绕点旋转到直角内部时，仍然能构造出全等三角形！相信同学们认识了这个“模型”的特点后，一定能解决下面的问题：
（1）如图3，，，若，，（可以借助图中的辅助线，也可以根据自己所悟，另外画辅助线），你得到阴影部分的面积是： ．
（2）如图4，点是的平分线任一点，连接，作交另一边于点，若长是，，则四边形的面积值是： ．
（3）如图5，点是两个等腰直角三角形的公共顶点，连接和，若交于点，延长交于点，试证明．
江苏省南京市金陵中学仙林分校2023~2024学年八年级上学期10月月考数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．下列运动图标中，属于轴对称图形的是
A．B．C．D．
【考点】轴对称图形
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：，，选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．如图，小明与小敏玩跷跷板游戏，如果跷跷板的支点（即跷跷板的中点）至地面的距离是，当小敏从水平位置下降时，小明离地面的高度是
A．B．C．D．
【考点】全等三角形的判定与性质
【分析】根据全等三角形的判定和性质即可得到结论．
【解答】解：在与中，
，
，
，
小明离地面的高度是，
故选：．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练使用全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
3．如图，点，，，在同一条直线上，，若，，则的度数为
A．B．C．D．
【考点】全等三角形的性质
【分析】由全等三角形的性质得到，由三角形外角的性质得到．
【解答】解：，
，
．
故选：．
【点评】本题考查全等三角形的性质，三角形外角的性质，关键是由全等三角形的性质得到，由三角形外角的性质即可求解．
4．如图，已知，添加下列条件不能判定的是
A．B．C．D．
【考点】全等三角形的判定
【分析】根据全等三角形的判定方法、、、解决此题．
【解答】解：．添加，根据三角形外角的性质，得，，那么，从而根据判定，故不符合题意．
．添加，根据判定，故不符合题意．
．添加，根据判定，故不符合题意．
．添加，无法判定，故符合题意．
故选：．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解决本题的关键．
5．如图，在中，在边上取一点，连接，在边上取一点，连接．若，，则的度数为
A．B．C．D．
【考点】全等三角形的性质
【分析】根据全等三角形的性质可得，，，进一步可得，，即可求出的度数．
【解答】解：，
，，，
，
，
，
，
，
，
故选：．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
6．如图，，点在线段上，，则的度数为
A．B．C．D．
【考点】全等三角形的性质
【分析】根据全等三角形的性质求解即可．
【解答】解：，
，，
，，
，
，
，
，
故选：．
【点评】此题考查了全等三角形的性质，熟记“全等三角形的对应角相等、对应边相等”是解题的关键．
7．如图，平分交于点，于点，于点．若，，，则的长是
A．2B．4C．7D．9
【考点】角平分线的性质
【分析】求出的值，代入面积公式得出关于的方程，求出即可．
【解答】解：平分，，，
，
，
，
，
，
故选：．
【点评】本题考查了角平分线性质，三角形的面积的应用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．
8．如图，点为定角的平分线上的一个定点，且与互补，若在绕点旋转的过程中，其两边分别与、相交于、两点，则以下结论：（1）恒成立；（2）的值不变；（3）四边形的面积不变；（4）的长不变，其中正确的个数为
A．4B．3C．2D．1
【考点】角平分线的性质；旋转的性质；全等三角形的判定与性质
【分析】作于，于，根据平分可知，结合即可证明．根据图中各角的数量关系可得、，进而还可证明；
利用全等三角形的性质可以得到多组相等的边，由此判断（1）的正误．根据全等三角形的性质得到，据此可得定值，还可判断（3）的正误；
根据图中各线段之间的数量关系，通过等量代换就能确定的值是否为定值，由此判断（2）的正误．类似地，还可分析（4）的正误，进而解答题目．
【解答】解：如图，作于，于．
，
，
，
，
，
平分，于，于，
．
在和中，，
，
．
在和中，，，
，
，，，故（1）正确．
定值，故（3）正确．
定值，故（2）正确．
的长度是变化的，故（4）错误．
综上所述：（1）、（2）、（3）正确，共3个．
故选：．
【点评】本题侧重考查角平分线的题目，需要掌握全等三角形的判定与性质、角平分线的性质等知识，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．
二．填空题（共10小题）
9．如图，四边形是轴对称图形，直线是它的对称轴，若，，则的大小为 ．
【考点】轴对称的性质；轴对称图形
【分析】直接利用轴对称图形的性质得出，，再结合三角形内角的定理得出答案．
【解答】解：四边形是轴对称图形，直线是它的对称轴，
，，
，
的大小为：．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了轴对称图形的性质，正确得出对应角度数是解题关键．
10．如图，于点，于点，．若要用“”判定，则需要添加的条件为 ．
【考点】直角三角形全等的判定
【分析】斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，由此即可得到答案．
【解答】解：添加的条件为，
，
，
于点，于点，
，
在和中，
，
．
故答案为：．
【点评】本题考查直角三角形的判定，关键是掌握直角三角形的判定方法：“”．
11．王强同学用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板，点在上，点和分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为 20 ．
【考点】全等三角形的应用
【分析】根据题意可得，，，，进而得到，再根据等角的余角相等可得，再证明即可，利用全等三角形的性质进行解答．
【解答】解：由题意得：，，，，
，
，，
，
在和中，
，
；
由题意得：，，
，
答：两堵木墙之间的距离为．
故答案为：20．
【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件．
12．如图，在中剪去得到四边形，且纸片中的度数为 ．
【考点】三角形内角和定理；剪纸问题；多边形内角与外角
【分析】根据多边形的内角和公式求解．
【解答】解：，
，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了剪纸问题，掌握多边形的内角和公式是解题的关键．
13．在折纸游戏中，小颖将一张长方形纸片按如图所示方式折叠，、为折痕，点、折叠后的对应点分别为、，若，则的度数为 ．
【考点】轴对称的性质；角的计算
【分析】利用角的和差以及轴对称的性质计算即可．
【解答】解：，
，
．
故答案为：．
【点评】本题考查了轴对称的性质和角的计算，解题的关键是掌握角的和差计算．
14．三个全等三角形按如图的形式摆放，则的度数等于 ．
【考点】全等图形；全等三角形的性质
【分析】直接利用平角的定义结合三角形内角和定理以及全等三角形的性质得出，，进而得出答案．
【解答】解：如图所示：
由图形可得：，
三个三角形全等，
，
又，
，
的度数是．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了全等三角形的性质以及三角形内角和定理，正确掌握全等三角形的性质是解题关键．
15．现有一块如图所示的草地，经测量，，米，米，米，点是边的中点．小狗汪汪从点出发以2米秒的速度沿向点运动，同时小狗妞妞从点出发沿向点运动．当妞妞的速度为 2或 米秒时，能够在某一时刻使与全等．
【考点】全等三角形的应用
【分析】分两种情况讨论，依据全等三角形的对应边相等，即可得到妞妞的运动速度．
【解答】解：设汪汪运动的时间为秒，则，，
，
①当，时，与全等，
此时，，
解得，
，
此时，妞妞的运动速度为（米秒）；
②当，时，与全等，
此时，，
解得，
妞妞的运动速度为（米秒）；
故答案为：2或．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
16．如图，在中，，中线，则边的取值范围是 ．
【考点】全等三角形的判定与性质；三角形三边关系
【分析】延长到点，使，连接，可证明，可求得，在中可利用三角形三边关系可求得的取值范围，则可求得的取值范围．
【解答】解：延长到点，使，连接，
是的中线，
，
在和中，
，
，
，
在中，，且，
，，
，
故答案为：．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质，构造全等三角形的，把、和转化到一个三角形中是解题的关键．
17．如图，四边形中，，，，则 ．
【考点】全等三角形的判定与性质
【分析】作，使，证明，可得，，根据，可得，设，所以，得，进而可解决问题．
【解答】解：如图，作，使，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是正确作出辅助线得到．
18．如图，五边形中，，，，为边的中点，，，则五边形的面积为 56 ．
【考点】多边形
【分析】由题意可考虑，延长到点，使，连接，，，这样就构成了等腰三角形，求五边形的面积就转化成了等腰三角形的面积，等腰三角形的底，高都已知，所以求解即可．
【解答】解：如图，延长到点，使，连接，，，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
五边形的面积
．
故答案为：56．
【点评】这道题考查的是多边形和等腰三角形的判定和性质，熟记有关定理是解题的基础，巧作辅助线构建等腰三角形是解这道题的关键．
三．解答题（共9小题）
19．如图，点、在边上，，，．
求证：．
【考点】：全等三角形的判定与性质
【分析】由“”可证，可得．
【解答】证明：，
，
．
，
，
在与中，
，
，
．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是本题的关键．
20．如图，、交于点，，，求证：．
【考点】全等三角形的判定与性质
【分析】由“”可证，可得结论．
【解答】证明：，，
又，，
，
，
在和中，
，
，
．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理是本题的关键．
21．如图，在四边形中，，，求证：．
【考点】：全等三角形的判定与性质
【分析】连接，利用证得，得出答案即可．
【解答】证明：如图，
在和中，
．
【点评】此题考查三角形全等的判定与性质，掌握三角形全等的判定的基本方法是解决问题的关键．
22．如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点、、在小正方形的顶点上．
（1）在图中画出与关于直线成轴对称的△；
（2）的面积是 3 ．
（3）在直线上找一点，使的长最短．
【考点】勾股定理；轴对称最短路线问题；作图轴对称变换
【分析】（1）直接利用对称点的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）利用割补法即可得出答案；
（3）利用轴对称求最短路线的方法得出答案．
【解答】解：（1）如图，根据题意，可得：
点、、关于直线对称的点分别为点、、，连接、、，
则△即为所作．
（2）．
故答案为：3．
（3）如图，连接交直线于点，连接，
点和点关于直线对称，
直线垂直平分，
，
，
这时的长最短，
点即为所求．
【点评】本题考查作图—轴对称变换，轴对称—最短路线．解题的关键是根据轴对称的定义作出变换后的对应点及割补法求三角形的面积．
23．如图，点在线段上，，，，平分．
求证：于点．
【考点】全等三角形的判定与性质
【分析】根据平行线性质得出，根据证，推出，根据等腰三角形的三线合一定理推出即可．
【解答】证明：，
，
在和中
，
，
，
平分，
．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，等腰三角形的性质等知识点，关键是求出，主要考查了学生运用定理进行推理的能力．
24．如图，已知中，，，，于．求证：．
【考点】全等三角形的判定与性质
【分析】延长、交于，根据角边角定理，证明，进而得到的关系．再证明，根据角边角定理证明，得到，至此问题得解．
【解答】证明：如图，延长、交于．
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
．
【点评】本题考查全等三角形的判定与性质．解决本题主要是恰当添加辅助线，构造全等三角形，将所求问题转化为全等三角形内边间的关系来解决．
25．已知，分别是的边，上的点．
（1）如图①，，为角平分线上的一点，若，求证：．
（2）如图②，若为外一点，求作点，，使得为锐角，，且．（要求：利用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，写出必要的文字说明）
【考点】全等三角形的判定与性质；作图—复杂作图；角平分线的性质；等腰直角三角形
【分析】（1）如果1中，过点作于点，于点，证明，推出；
（2）如图2中，过点作于点，作的角平分线交于点，连接，过点作，交于点．
【解答】
（1）证明：如果1中，过点作于点，于点，
平分，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：图形如图2所示：
【点评】本题考查作图复杂作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
26．【问题提出】
数学课上，学习了直角三角形全等的判定方法（即“” 后，我们继续对“两个直角三角形满足一条直角边和周长分别相等”的情形进行研究．
【问题解决】
（1）如图①，在和中，，，和的周长相等．求证：．
（2）下列命题是真命题的有 ．
．斜边和周长分别相等的两个直角三角形全等
．斜边和面积分别相等的两个直角三角形全等
．一个锐角和周长分别相等的两个直角三角形全等
【考点】三角形综合题
【分析】（1）根据勾股定理和直角三角形全等的判定可得结论；
（2）根据三角形全等的判定方法一一判断即可．
【解答】解：（1）如图，在和中，分别延长，至，，使得，，连接，，
，且和的周长相等，
，
，，
，
，
，
，
，，
，，
，，
，
，，
；
（2）．斜边和周长分别相等的两个直角三角形全等，正确；
．斜边和面积分别相等的两个直角三角形全等，错误；
．一个锐角和周长分别相等的两个直角三角形全等，正确；
故答案为：，．
【点评】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题．
27．今年中考结束后，我与同学们交流了宁波中考数学卷的压轴题，最后我们一致认为，这道题用了一个简单而重要的数学模型“三垂直型”，其实这种“模型”大家并不陌生．
如图1，且，由点和点向过点的直线作垂线，可以构成如图两个全等三角形；当这条直线绕点旋转到直角内部时，仍然能构造出全等三角形！相信同学们认识了这个“模型”的特点后，一定能解决下面的问题：
（1）如图3，，，若，，（可以借助图中的辅助线，也可以根据自己所悟，另外画辅助线），你得到阴影部分的面积是： 4 ．
（2）如图4，点是的平分线任一点，连接，作交另一边于点，若长是，，则四边形的面积值是： ．
（3）如图5，点是两个等腰直角三角形的公共顶点，连接和，若交于点，延长交于点，试证明．
【考点】全等三角形的判定与性质
【分析】（1）求出，推出，求出即可；
（2）证，推出，得出正方形，求出长，求出四边形面积正方形面积即可；
（3）求出，根据全等即可得出答案．
【解答】
解：（1）过作于，过作于，
则，
，
，
，
，
在和中
，
，
阴影部分的面积是，
故答案为：4；
（2）过作于，于，
则，，
四边形是矩形，
平分，，，
，
四边形是正方形，
，
，，
，
在和中
，
，
故答案为：16；
（3）证明：过作于，过作于，
，
，，
，
在和△中
△，
，
同理，
，
，，
，
在△和中
△，
．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，难度偏大．