2022-2023学年山西省实验中学九年级（上）期中数学试卷及答案

这是一份2022-2023学年山西省实验中学九年级（上）期中数学试卷及答案，共26页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年山西省实验中学九年级（上）期中数学试卷
一、单项选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．（3分）将方程化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1，一次项系数、常数项分别是　　
A．、 B．、10 C．8、 D．8、10
2．（3分）已知线段、、、，如果，那么下列式子中一定正确的是　　
A． B． C． D．
3．（3分）如图，在四边形中，，交于点，再添加什么条件可以判定四边形为矩形　　

A．， B．， C．， D．，
4．（3分）一元二次方程的根的情况是　　
A．有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
5．（3分）下列命题中，真命题是　　
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线互相平分的四边形是平行四边形
D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
6．（3分）根据关于的一元二次方程，可列表如下：

0
0.5
1
1.1
1.2
1.3





0.84
2.29
则方程的正数解满足　　
A． B． C． D．
7．（3分）小明在一次用频率估计概率的实验中，统计了某一结果出现的频率，并绘制了如图所示的统计图，则符合这一结果的实验可能是　　

A．从一个装有2个白球和1个红球的不透明袋子中任意摸出一球（小球除颜色外，完全相同），摸到红球的概率
B．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率
C．从一副去掉大小王的扑克牌，任意抽取一张，抽到黑桃的概率
D．任意买一张电影票，座位号是2的倍数的概率
8．（3分）如图，电路图上有4个开关，，，和1个小灯泡，同时闭合开关，或同时闭合开关，都可以使小灯泡发光．现随机闭合两个开关，小灯泡发光的概率为　　

A． B． C． D．
9．（3分）如图，中，，，．将沿图中的线剪开，下列四种剪开的方法中，剪下的阴影三角形与原三角形相似的是　　
A．①② B．③④ C．①②③④ D．①②④
10．（3分）如图是中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图的示意图，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，恰好拼成一个大正方形．连结并延长交于点．若，，则的长为　　

A． B． C． D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）如图，在中，，点为边的中点，且，则　　度．

12．（3分）一个不透明的箱子中装有15个球，它们除颜色外其余都相同，从箱子中随机摸出一个球，记下颜色并放回．若摸到红球的概率是0.6，则箱子中红球有 　　个．
13．（3分）已知一元二次方程的一根为2，则另一个根为 　　．
14．（3分）如图，乐器上的一根弦，两个端点，固定在乐器板面上，支撑点是靠近点的黄金分割点，则支撑点到端点的距离是 　　．

15．（3分）如图，在平面直角坐标系中放置一菱形，已知，点在轴上，，先将菱形沿轴的正方向无滑动翻转，每次翻转，连续翻转2023次，点的落点依次为，，，，则的坐标为 　　．

三、解答题（本大题共7个小题，共55分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（12分）解下列方程：
（1）；
（2）；
（3）．
17．（6分）如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，在方格纸中．
（1）请在方格纸上建立平面直角坐标系，使，，则点坐标为 　　；
（2）以原点为位似中心，相似比为2，任第一象限内将放大，画出放大后的图形△；
（3）△的面积为 　　．

18．（7分）我们定义：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．
（1）请说明方程是倍根方程；
（2）若是倍根方程，则　　．
（3）若一元二次方程是倍根方程，则，，的等量关系是 　　（直接写出结果）．
19．（7分）在一次数学兴趣小组活动中，小明和小红两位同学设计了如图所示的两个转盘做游戏（每个转盘被分成面积相等的几个扇形，并在每个扇形区域内标上数字）．游戏规则如下：两人分别同时转动甲、乙转盘，转盘停止后，若指针所指区域内两数和小于12，则小明获胜；若指针所指区域内两数和等于12，则为平局；若指针所指区域内两数和大于12，则小红获胜（若指针停在等分线上，重转一次，直到指针指向某一份内为止）．
（1）请用列表或画树状图的方法表示出上述游戏中两数和的所有可能的结果；
（2）分别求出小明和小红获胜的概率．

20．（8分）商场销售某种商品，进价200元，每件售价250元，平均每天售出30件．经调查发现：当商品销售价每降低1元时，平均每天可多售出2件．
（1）当商品售价降价5元时，每天销售量可达到 　　件，每天盈利 　　元；
（2）为了让顾客得到更多的实惠，每件商品降价多少元时，商场通过销售这种商品每天盈利可达到2100元？
（3）在（2）题条件下，降价后每件商品的利润率是 　　．
21．（7分）以四边形的边、为边分别向外侧作等边三角形和，连接、，交点为．

（1）当四边形为正方形时（如图，和的数量关系是 　　；
（2）当四边形为矩形时（如图，和具有怎样的数量关系？请加以证明；
（3）四边形由正方形到矩形到一般平行四边形的变化过程中（如图，则的度数是 　　．（直接写出结果）

22．（8分）从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．
（1）如图1，在中，为角平分线，，，求证：为的完美分割线．
（2）在中，，是的完美分割线，且为等腰三角形，求的度数．
（3）如图2，中，，，是的完美分割线，且是以为底边的等腰三角形，求完美分割线的长．


2022-2023学年山西省实验中学九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．（3分）将方程化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1，一次项系数、常数项分别是　　
A．、 B．、10 C．8、 D．8、10
【答案】
【分析】先化成一元二次方程的一般形式，再根据方程的特点得出一次项系数和常数项即可．
【解答】解：，
，
所以一次项系数、常数项分别为、，
故选：．
2．（3分）已知线段、、、，如果，那么下列式子中一定正确的是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据内项之积等于外项之积即可判断．
【解答】解：，
，
故选：．
3．（3分）如图，在四边形中，，交于点，再添加什么条件可以判定四边形为矩形　　

A．， B．， C．， D．，
【答案】
【分析】先证四边形是平行四边形，再由矩形的判定定理即可得出结论．
【解答】解：再添加条件为，可以判定四边形为矩形，理由如下：
，，
四边形是平行四边形，
又，
平行四边形是矩形，
故选：．
4．（3分）一元二次方程的根的情况是　　
A．有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
【答案】
【分析】先把方程化为一般式，再计算出根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况．
【解答】解：方程化为一般式为，
△，
方程有两个相等的实数根．
故选：．
5．（3分）下列命题中，真命题是　　
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线互相平分的四边形是平行四边形
D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
【答案】
【分析】、根据矩形的定义作出判断；
、根据菱形的性质作出判断；
、根据平行四边形的判定定理作出判断；
、根据正方形的判定定理作出判断．
【解答】解：、两条对角线相等且相互平分的四边形为矩形；故本选项错误；
、对角线互相垂直的平行四边形是菱形；故本选项错误；
、对角线互相平分的四边形是平行四边形；故本选项正确；
、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；故本选项错误；
故选：．
6．（3分）根据关于的一元二次方程，可列表如下：

0
0.5
1
1.1
1.2
1.3





0.84
2.29
则方程的正数解满足　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据二次函数的增减性可得答案．
【解答】解：由时，，时，，
由函数的增减性，得
的正数解满足，
故选：．
7．（3分）小明在一次用频率估计概率的实验中，统计了某一结果出现的频率，并绘制了如图所示的统计图，则符合这一结果的实验可能是　　

A．从一个装有2个白球和1个红球的不透明袋子中任意摸出一球（小球除颜色外，完全相同），摸到红球的概率
B．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率
C．从一副去掉大小王的扑克牌，任意抽取一张，抽到黑桃的概率
D．任意买一张电影票，座位号是2的倍数的概率
【答案】
【分析】根据统计图可知，试验结果在附近波动，即其概率，计算四个选项的概率，约为者即为正确答案．
【解答】解：、从一个装有2个白球和1个红球的不透明袋子中任意摸出一球（小球除颜色外，完全相同），摸到红球的概率为，故此选项符合题意；
、掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为，故此选项不符合题意；
、从一副去掉大小王的扑克牌，任意抽取一张，抽到黑桃的概率；故此选项不符合题意；
、任意买一张电影票，座位号是2的倍数的概率不确定，故此选项不符合题意；
故选：．
8．（3分）如图，电路图上有4个开关，，，和1个小灯泡，同时闭合开关，或同时闭合开关，都可以使小灯泡发光．现随机闭合两个开关，小灯泡发光的概率为　　

A． B． C． D．
【答案】
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小灯泡发光的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：画树状图得：

共有12种等可能的结果，现任意闭合其中两个开关，则小灯泡发光的有4种情况，
小灯泡发光的概率为；
故选：．
9．（3分）如图，中，，，．将沿图中的线剪开，下列四种剪开的方法中，剪下的阴影三角形与原三角形相似的是　　
A．①② B．③④ C．①②③④ D．①②④
【答案】
【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．
【解答】解：①阴影部分的三角形与原三角形有两个角对应相等，故两三角形相似；
②阴影部分的三角形与原三角形有两个角对应相等，故两三角形相似；
③两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似；
④两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似．
故选：．
10．（3分）如图是中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图的示意图，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，恰好拼成一个大正方形．连结并延长交于点．若，，则的长为　　

A． B． C． D．
【答案】
【分析】由大正方形是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，在直角三角形中使用勾股定理可求出，过点作于点，由三角形为等腰直角三角形可证得三角形也为等腰直角三角形，设，则，由，可解得．进而可得．
【解答】解：由图可知，，，
大正方形是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，
故，设，
则在中，有，
即，解得：，（舍去）．
过点作于点，如图所示．
四边形为正方形，为对角线，
为等腰直角三角形，
，
故为等腰直角三角形．
设，则，
，
解得：．
．
故选：．

二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）如图，在中，，点为边的中点，且，则　65　度．

【答案】65．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质得出，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：在中，，点为边的中点，
，
，
，
故答案为：65．
12．（3分）一个不透明的箱子中装有15个球，它们除颜色外其余都相同，从箱子中随机摸出一个球，记下颜色并放回．若摸到红球的概率是0.6，则箱子中红球有 　9　个．
【答案】9．
【分析】利用概率公式列式计算即可．
【解答】解：设有红球个，
根据题意得：，
解得：．
故箱子中红球有9个．
故答案为：9．
13．（3分）已知一元二次方程的一根为2，则另一个根为 　3　．
【答案】3．
【分析】利用根与系数的关系求出两根之和，根据一根为2，确定出另一个根即可．
【解答】解：设另一根为，
一元二次方程的一根为2，
，
解得：，
故另一根为3．
故答案为：3．
14．（3分）如图，乐器上的一根弦，两个端点，固定在乐器板面上，支撑点是靠近点的黄金分割点，则支撑点到端点的距离是 　　．

【答案】．
【分析】根据黄金分割的概念和黄金比值求出，进而得出答案．
【解答】解：点是靠近点的黄金分割点，
，
，
故答案为：．
15．（3分）如图，在平面直角坐标系中放置一菱形，已知，点在轴上，，先将菱形沿轴的正方向无滑动翻转，每次翻转，连续翻转2023次，点的落点依次为，，，，则的坐标为 　，　．

【答案】，．
【分析】连接，根据条件可以求出，画出第5次、第6次、第7次翻转后的图形，容易发现规律：每翻转6次，图形向右平移4．由于，因此点向右平移1348（即即可到达点，根据点的坐标就可求出点的坐标．
【解答】解：连接，如图所示，

四边形是菱形，
．
，
是等边三角形．
．
．
，
．
画出第5次、第6次、第7次翻转后的图形，如图所示．
由图可知：每翻转6次，图形向右平移4．
，
点向右平移1348（即到点．
的坐标为，，
的坐标为，，
的坐标为，．
故答案为：，．
三、解答题（本大题共7个小题，共55分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（12分）解下列方程：
（1）；
（2）；
（3）．
【答案】（1）；
（2）；
（3），．
【分析】（1）方程利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解；
（2）利用配方法求出解即可；
（3）利用因式分解法求出解即可．
【解答】解：（1），
或，
；
（2），
，
，即，
，
；
（3），
，
，
或，
，．
17．（6分）如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，在方格纸中．
（1）请在方格纸上建立平面直角坐标系，使，，则点坐标为 　　；
（2）以原点为位似中心，相似比为2，任第一象限内将放大，画出放大后的图形△；
（3）△的面积为 　　．

【答案】（1）；
（2）见解答；
（3）16．
【分析】（1）点的坐标为所以原点的坐标就在点左2个格，下3个格的点上．由此建立直角坐标系，得出点坐标；
（2）连接，，，并延长到，，，使，，的长度是，，的2倍．然后顺次连接三点；
（3）从网格上可看出三角形的底和高，利用三角形的面积公式计算．
【解答】解：（1）如图所示：建立半面直角坐标系，；

（2）如图所示：△即为所求；

（3）．

故答案为：（1）；（3）16．
18．（7分）我们定义：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．
（1）请说明方程是倍根方程；
（2）若是倍根方程，则　或　．
（3）若一元二次方程是倍根方程，则，，的等量关系是 　　（直接写出结果）．
【答案】（1）说明过程见解答；
（2）或；
（3）．
【分析】（1）利用因式分解法，可求出方程的两根为，，由，可得出方程是倍根方程；
（2）利用因式分解法，可求出方程的两根为，，结合是倍根方程，即可求出的值；
（3）根据倍根方程的定义，可设方程的两根分别为，，利用根与系数的关系，可得出，，由，可得出，将代入中，可得出．
【解答】解：（1），即，
或，
解得：，，
，
方程是倍根方程；
（2），
，，
又是倍根方程，
或，
或．
故答案为：或；
（3）一元二次方程是倍根方程，
设方程的两根分别为，，
根据题意得：，，
，
，
．
故答案为：．
19．（7分）在一次数学兴趣小组活动中，小明和小红两位同学设计了如图所示的两个转盘做游戏（每个转盘被分成面积相等的几个扇形，并在每个扇形区域内标上数字）．游戏规则如下：两人分别同时转动甲、乙转盘，转盘停止后，若指针所指区域内两数和小于12，则小明获胜；若指针所指区域内两数和等于12，则为平局；若指针所指区域内两数和大于12，则小红获胜（若指针停在等分线上，重转一次，直到指针指向某一份内为止）．
（1）请用列表或画树状图的方法表示出上述游戏中两数和的所有可能的结果；
（2）分别求出小明和小红获胜的概率．

【分析】（1）根据题意列出表格，得出游戏中两数和的所有可能的结果数；
（2）根据（1）得出两数和共有的情况数和其中和小于12的情况、和大于12的情况数，再根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）根据题意列表如下：

6
7
8
9
3
9
10
11
12
4
10
11
12
13
5
11
12
13
14
可见，两数和共有12种等可能结果；

（2）由（1）可知，两数和共有12种等可能的情况，其中和小于12的情况有6种，和大于12的情况有3种，
小明获胜的概率为；
小红获胜的概率为．
20．（8分）商场销售某种商品，进价200元，每件售价250元，平均每天售出30件．经调查发现：当商品销售价每降低1元时，平均每天可多售出2件．
（1）当商品售价降价5元时，每天销售量可达到 　40　件，每天盈利 　　元；
（2）为了让顾客得到更多的实惠，每件商品降价多少元时，商场通过销售这种商品每天盈利可达到2100元？
（3）在（2）题条件下，降价后每件商品的利润率是 　　．
【答案】（1）40；1800；
（2）20元；
（3）．
【分析】（1）利用每天的销售量每件商品降低的价钱，可求出每天的销售量；利用每天销售该商品获得的总利润每件的销售利润每天的销售量，可求出每天盈利金额；
（2）设每件商品降价元，则每件的销售利润为元，平均每天可售出件，利用每天销售该商品获得的总利润每件的销售利润每天的销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合要让顾客得到更多的实惠，可得出每件商品应降价20元；
（3）利用利润率，即可求出结论．
【解答】解：（1）

（件，


（元，
当商品售价降价5元时，每天销售量可达到40件，每天盈利1800元．
故答案为：40；1800．
（2）设每件商品降价元，则每件的销售利润为元，平均每天可售出件，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，，
又要让顾客得到更多的实惠，
．
答：每件商品应降价20元．
（3），
在（2）题条件下，降价后每件商品的利润率是．
故答案为：．
21．（7分）以四边形的边、为边分别向外侧作等边三角形和，连接、，交点为．

（1）当四边形为正方形时（如图，和的数量关系是 　相等　；
（2）当四边形为矩形时（如图，和具有怎样的数量关系？请加以证明；
（3）四边形由正方形到矩形到一般平行四边形的变化过程中（如图，则的度数是 　　．（直接写出结果）

【答案】（1）相等；理由见解析部分；
（2）．证明见解析部分；
（3）．理由见解析部分．
【分析】（1）结论：．证明即可．
（2）结论：．证明即可．
（3）结论：不发生变化．利用全等三角形的性质以及三角形的内角和定理解决问题即可．
【解答】解：（1）结论：．
理由：如图①中，

四边形是正方形，
，
，都是等边三角形，
，，，
，
，
，
．

（2）结论：．
理由：如图②中，

为等边三角形，
，，
为等边三角形，
，，
，即，
，
．

（3）结论：不发生变化．
理由：如图③中，

为等边三角形，
，
，均为等边三角形，
，，，，
，
，
，
．
22．（8分）从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．
（1）如图1，在中，为角平分线，，，求证：为的完美分割线．
（2）在中，，是的完美分割线，且为等腰三角形，求的度数．
（3）如图2，中，，，是的完美分割线，且是以为底边的等腰三角形，求完美分割线的长．

【分析】（1）根据完美分割线的定义只要证明①不是等腰三角形，②是等腰三角形，③即可．
（2）分三种情形讨论即可①如图2，当时，②如图3中，当时，③如图4中，当时，分别求出即可．
（3）设，利用，得，列出方程即可解决问题．
【解答】解：（1）如图1中，，，
，
不是等腰三角形，
平分，
，
，
为等腰三角形，
，，
，
是的完美分割线．
（2）①当时，如图2，，
，
，
．
②当时，如图3中，，
，
，
．
③当时，如图4中，，
，
，
，矛盾，舍弃．
或．
（3）由已知，
，
，设，
，
，
，
，
，
．




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