2022-2023学年山西省临汾市襄汾县九年级（上）期中数学试卷及答案

2022-2023学年山西省临汾市襄汾县九年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）

1．（3分）下列计算正确的是　　

A． B． C． D．

2．（3分）如图，在中，、分别为线段、的中点，设的面积为，的面积为，则　　

A． B． C． D．

3．（3分）如图，是的高．若，，则边的长为　　

A． B． C． D．

4．（3分）小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为，根据题意，下面所列方程正确的是　　

A． B． 

C． D．

5．（3分）一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形．已知，，则房顶离地面的高度为　　

A． B． C． D．

6．（3分）若关于的一元二次方程配方后得到方程，则的值为　　

A． B．0 C．3 D．9

7．（3分）在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，将放大为原来的2倍，则点的对应点的坐标是　　

A． B． 

C．或 D．或

8．（3分）如图，在矩形纸片中，，，将沿折叠到位置，交于点，则的值为　　

A． B． C． D．

9．（3分）关于的一元二次方程无实数解，则的取值范围是　　

A． B． C． D．

10．（3分）大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度为　　

A． B． C． D．

二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）

11．（3分）计算的结果等于 　　．

12．（3分）已知与△相似，且相似比为，则与△的面积比为　　．

13．（3分）已知，则的值为 　　．

14．（3分）已知，是关于的方程的两根，且满足，则的值为　　．

15．（3分）中国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形拼成正方形（如图），并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图”．若“弦图”中小正方形面积与每个直角三角形面积均为1，为直角三角形中的一个锐角，则　　．

三、解答题（本大题共8个小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

16．（10分）计算：

（1）；

（2）．

17．（10分）用适当的方法解一元二次方程．

（1）；

（2）．

18．（9分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中，

（1）画出向上平移6个单位，再向右平移5个单位后的△；

（2）以点为位似中心，将放大为原来的2倍，得到△，请在网格中画出△；

（3）直接写出△的面积，及，的坐标．

19．（8分）用一条长40厘米的绳子围成一个矩形，设其一边长为厘米．

（1）若矩形的面积为96平方厘米，求的值；

（2）矩形的面积是否可以为103平方厘米？如果能，请求的值；如果不能，请说明理由．

20．（8分）如图，中，，交于，

（1）求与周长之比；

（2）如果的面积为，求四边形的面积．

21．（8分）周末，王老师布置了一项综合实践作业，要求利用所学知识测量一栋楼的高度．小希站在自家阳台上，看对面一栋楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为，已知两楼之间的水平距离为，求这栋楼的高度．

（参考数据：，，

22．（10分）定义：关于的一元二次方程（其中，，是常数，且是关于的一元二次方程（其中，，是常数，且的“友好”方程．例如：是的“友好”方程．

（1）【概念感知】

的“友好”方程是 　　；

（2）【问题探究】

若关于的一元二次方程（其中，，是常数，且的一个解为3，请判断是否为该方程的“友好”方程的一个解？若是，请证明；若不是，请说明理由．

（3）【拓展提升】

关于的一元二次方程（其中，，是常数，且的解为，，，，且，也是其“友好”方程的解，求，之间的数量关系．

23．（12分）【基础巩固】

（1）如图1，在中，，，分别为，，上的点，，，交于点，求证：．

【尝试应用】

（2）如图2，在（1）的条件下，连结，．若，，，求的值．

【拓展提高】

（3）如图3，在中，，与交于点，为上一点，交于点，交于点．若，平分，，求的长．

2022-2023学年山西省临汾市襄汾县九年级（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）

1．（3分）下列计算正确的是　　

A． B． C． D．

【分析】直接利用二次根式的性质分别判断得出答案．

【解答】解：、，故此选项错误；

、，故此选项错误；

、，正确；

、，故此选项错误；

故选：．

2．（3分）如图，在中，、分别为线段、的中点，设的面积为，的面积为，则　　

A． B． C． D．

【答案】

【分析】根据三角形的中位线定理，相似三角形的面积比等于相似比的平方解答即可．

【解答】解：在中，、分别为线段、的中点，

为的中位线，

，，

，

，

，

即，

故选：．

3．（3分）如图，是的高．若，，则边的长为　　

A． B． C． D．

【答案】

【分析】利用三角函数求出，在中，利用勾股定理可得的长．

【解答】解：，

，

，

，

，

在中，由勾股定理得，

，

故选：．

4．（3分）小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为，根据题意，下面所列方程正确的是　　

A． B． 

C． D．

【答案】

【分析】设该快递店揽件日平均增长率为，关系式为：第三天揽件数第一天揽件数揽件日平均增长率），把相关数值代入即可．

【解答】解：设该快递店揽件日平均增长率为，

根据题意，可列方程：，

故选：．

5．（3分）一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形．已知，，则房顶离地面的高度为　　

A． B． C． D．

【答案】

【分析】过点作于点，利用直角三角形的边角关系定理求得，．用即可表示出房顶离地面的高度．

【解答】解：过点作于点，如图，

它是一个轴对称图形，

，

，

，

在中，

，

．

房顶离地面的高度，

故选：．

6．（3分）若关于的一元二次方程配方后得到方程，则的值为　　

A． B．0 C．3 D．9

【答案】

【分析】把常数项移项后，在左右两边同时加上一次项系数6的一半的平方得，可得，解方程即可得的值．

【解答】解：，

，

，

．

，

，解得，

故选：．

7．（3分）在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，将放大为原来的2倍，则点的对应点的坐标是　　

A． B． 

C．或 D．或

【答案】

【分析】根据位似变换的性质解答即可．

【解答】解：原点为位似中心，将放大为原来的2倍，点的坐标为，

点的对应点的坐标为或，，即或，

故选：．

8．（3分）如图，在矩形纸片中，，，将沿折叠到位置，交于点，则的值为　　

A． B． C． D．

【答案】

【分析】利用矩形和折叠的性质可得，设，则，，在中利用勾股定理列方程，即可求出的值，进而可得．

【解答】解：四边形是矩形，

，，，，

，

由折叠的性质可得，

，

，

设，则，，

在中，，

，

，

故选：．

9．（3分）关于的一元二次方程无实数解，则的取值范围是　　

A． B． C． D．

【答案】

【分析】根据一元二次方程判别式得到△，然后求出不等式的解集即可．

【解答】解：关于的一元二次方程无实数解，

△，

解得：，

故选：．

10．（3分）大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度为　　

A． B． C． D．

【答案】

【分析】先利用黄金分割的定义求出，再计算即可得到的长度．

【解答】解：为的黄金分割点，的长度为，

，

，

故选：．

二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）

11．（3分）计算的结果等于 　18　．

【答案】18．

【分析】根据平方差公式即可求出答案．

【解答】解：原式

，

故答案为：18．

12．（3分）已知与△相似，且相似比为，则与△的面积比为　　．

【分析】直接利用相似三角形的性质得出面积比等于相似比的平方，进而得出答案．

【解答】解：与△相似，且相似比为，

与△的面积比为：．

故答案为：．

13．（3分）已知，则的值为 　　．

【答案】．

【分析】根据二次根式有意义的条件可求出与的值，然后代入原式即可求出答案．

【解答】解：由题意可知：且，

，

，

原式

．

14．（3分）已知，是关于的方程的两根，且满足，则的值为　7　．

【分析】由根与系数的关系可得，，结合可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．

【解答】解：、是方程的两个根，

，．

，

．

故答案为：7．

15．（3分）中国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形拼成正方形（如图），并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图”．若“弦图”中小正方形面积与每个直角三角形面积均为1，为直角三角形中的一个锐角，则　2　．

【答案】2．

【分析】根据题意和题目中的数据，可以先求出大正方形的面积，然后设出小直角三角形的两条直角边，再根据勾股定理和两直角边的关系可求得直角三角形的两条直角边的长，然后即可求得的值．

【解答】解：由已知可得，

大正方形的面积为，

设直角三角形的长直角边为，短直角边为，

则，，

解得，或，（不合题意，舍去），

，

故答案为：2．

三、解答题（本大题共8个小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

16．（10分）计算：

（1）；

（2）．

【答案】（1）1；

（2）42．

【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；

（2）先计算二次根式的乘法，再算加减法，即可解答．

【解答】解：（1）

；

（2）

．

17．（10分）用适当的方法解一元二次方程．

（1）；

（2）．

【答案】（1），；

（2），．

【分析】（1）先移项得到，再利用因式分解法把方程转化为或，然后解一次方程即可；

（2）先把方程化为一般式，再计算出根的判别式的值，然后利用求根公式得到方程的解．

【解答】解：（1），

，

，

或，

所以，；

（2），

，

，，，

△，

，

所以，．

18．（9分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中，

（1）画出向上平移6个单位，再向右平移5个单位后的△；

（2）以点为位似中心，将放大为原来的2倍，得到△，请在网格中画出△；

（3）直接写出△的面积，及，的坐标．

【答案】（1）（2）见解答；

（3）9；；．

【分析】（1）利用点平移的坐标变换规律写出、、的坐标，然后描点即可；

（2）延长到使，延长到使，从而得到△；

（3）利用三角形面积公式△的面积，然后利用（1）、（2）中所画图形写出，的坐标．

【解答】解：（1）如图，△为所作；

（2）如图，△为所作；

（3）△的面积；

的坐标为；的坐标为．

19．（8分）用一条长40厘米的绳子围成一个矩形，设其一边长为厘米．

（1）若矩形的面积为96平方厘米，求的值；

（2）矩形的面积是否可以为103平方厘米？如果能，请求的值；如果不能，请说明理由．

【答案】（1）8或12；

（2）矩形的面积不能为103平方厘米，理由见解析．

【分析】（1）根据矩形的面积为96平方厘米列出方程，求出方程的解即可；

（2）假设矩形的面积可以为103平方厘米，得出方程，再判断方程是否有解即可．

【解答】解：（1）根据题意得：，

解得：或12，

答：的值为8或12；

（2）矩形的面积不能为103平方厘米，理由如下：

假设矩形的面积可以为103平方厘米，

则，

整理得：，

△，

此方程无解，

矩形的面积不能为103平方厘米．

20．（8分）如图，中，，交于，

（1）求与周长之比；

（2）如果的面积为，求四边形的面积．

【分析】（1）根据两对应角相等，两三角形是相似三角形，可判断与是相似三角形，根据相似三角形的周长比等于相似比即可求解；

（2）根据，于是得到，，求得，于是得到．

【解答】解：（1）四边形是平行四边形，

，，

，，

，

，

，

，

；

（2），

，

，

的面积为，

，

，

．

21．（8分）周末，王老师布置了一项综合实践作业，要求利用所学知识测量一栋楼的高度．小希站在自家阳台上，看对面一栋楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为，已知两楼之间的水平距离为，求这栋楼的高度．

（参考数据：，，

【答案】．

【分析】通过作垂线构造直角三角形，在两个直角三角形中，由锐角三角函数的定义进行计算即可．

【解答】解：如图，过点作于，则，

在中，，，

，

在中，，，

，

，

答：这栋楼的高度大约为．

22．（10分）定义：关于的一元二次方程（其中，，是常数，且是关于的一元二次方程（其中，，是常数，且的“友好”方程．例如：是的“友好”方程．

（1）【概念感知】

的“友好”方程是 　　；

（2）【问题探究】

若关于的一元二次方程（其中，，是常数，且的一个解为3，请判断是否为该方程的“友好”方程的一个解？若是，请证明；若不是，请说明理由．

（3）【拓展提升】

关于的一元二次方程（其中，，是常数，且的解为，，，，且，也是其“友好”方程的解，求，之间的数量关系．

【答案】（1）；

（2）是；

（3）．

【分析】（1）根据“友好”方程的定义求解；

（2）先把代入方程得到，再写出关于的一元二次方程的“友好”方程为，再把代入得，然后根据一元二次方程解的定义可判断是方程的一个解；

（3）利用根与系数的关系得到，，则，从而得到，之间的数量关系．

【解答】解：（1）的“友好”方程是；

故答案为：；

（2）是．

理由如下：

把代入方程得，

即，

关于的一元二次方程的“友好”方程为，

把代入得，

即，

所以是方程的一个解；

（3）方程的解为，，

，

，是方程的解，

，

，

解得，

即，之间的数量关系为．

23．（12分）【基础巩固】

（1）如图1，在中，，，分别为，，上的点，，，交于点，求证：．

【尝试应用】

（2）如图2，在（1）的条件下，连结，．若，，，求的值．

【拓展提高】

（3）如图3，在中，，与交于点，为上一点，交于点，交于点．若，平分，，求的长．

【答案】（1）证明见解答过程；

（2）；

（3）．

【分析】（1）证明，，根据相似三角形的性质得到，进而证明结论；

（2）根据线段垂直平分线的性质求出，根据相似三角形的性质计算，得到答案；

（3）延长交于，连接，过点作于，根据直角三角形的性质求出，求出，根据直角三角形的性质、勾股定理计算即可．

【解答】（1）证明：，

，，

，，

，

，

；

（2）解：，，

，

，

，

；

（3）解：延长交于，连接，过点作于，

四边形为平行四边形，

，，

，

，

，

，

在中，，

，

平分，

，

，，

，

，

，

，

，

，

．

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